2011 9월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 2012학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 수리 영역(나 형) 5지선다형 1. log log   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →∞     의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   3. 행렬         에 대하여 행렬   의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  ,  가 서로 독립이고 P    , P∪    일 때, P∩의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   제 2 교시 12 수리 영역(나 형) 2 12 5. 방정식     의 모든 실근의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 확률변수  의 확률분포표가 다음과 같다.   계 P        E  일 때, 의 값은? (단, 와 는 상수이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7. 특정 환경의 어느 웹사이트에서 한 메뉴 안에 선택할 수 있는 항목이 개 있는 경우, 항목을 개 선택하는 데 걸리는 시간  (초)가 다음 식을 만족시킨다.     log  메뉴가 여러 개인 경우, 모든 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간은 각 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 시간을 모두 더하여 구한다. 예를 들어, 메뉴가 개이고 각 메뉴 안에 항목이 개씩 있는 경우, 모든 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간은    log  초이다. 메뉴가 개이고 각 메뉴 안에 항목이 개씩 있을 때, 모든 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간이 초 이하가 되도록 하는 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(나 형) 3 3 12 8. 등비수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합  에 대하여     일 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각  , 인 마름모 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의   을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에 있는 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 개 그린다. 새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의   을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을  라 하자. 그림  에 있는 작은 두 마름모에 긴 대각선의 양 끝점으로부터 그 대각선과 원의 두 교점 중 가까운 점까지의 선분을 각각 긴 대각선으로 하고, 마름모의 이웃하는 두 변 위에 짧은 대각선의 양 끝점이 놓이도록 마름모를 개 그린다. 새로 그려진 각 마름모에서, 두 대각선의 교점을 중심으로 하고 짧은 대각선의 길이의   을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 방법으로 번째 얻은 그림  에 있는 모든 원의 넓이의 합을  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤   4 수리 영역(나 형) 4 12 10. 곡선    와 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   11. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →        lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(나 형) 5 5 12 12. 주사위를 개 던져서 나오는 눈의 수가 의 약수이면 동전을 개 동시에 던지고, 의 약수가 아니면 동전을 개 동시에 던진다. 개의 주사위를 번 던진 후 그 결과에 따라 동전을 던질 때, 앞면이 나오는 동전의 개수가 일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   13. 모든 다항함수 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.        ㄴ.           ㄷ.          ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 6 수리 영역(나 형) 6 12 14. 행렬         와 이차정사각행렬  가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬  의  성분과  성분의 합은? [4점] (가)          이다. (나)    이고,    이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  15. 점  에서 곡선    에 그은 접선이 축과 만나는 점의 좌표를  이라 할 때, 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수리 영역(나 형) 7 7 12 16. 어느 공장에서 생산되는 제품 A의 무게는 정규분포 N 을 따르고, 제품 B의 무게는 정규분포 N 를 따른다. 이 공장에서 생산된 제품 A와 제품 B에서 임의로 제품을 개씩 선택할 때, 선택된 제품 A의 무게가  이상일 확률과 선택된 제품 B의 무게가  이하일 확률이 같다.    의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   17. 양수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 의 값의 곱은? [4점] (가) 의 값은 정수이다. (나)     ①  ②   ③   ④  ⑤   8 수리 영역(나 형) 8 12 18. 함수      의 역함수가 존재하도록 하는 상수 의 최댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  19. 수열 은   이고,        ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정의 일부이다. 모든 자연수 에 대하여     ×           이다. 수열 을   ,      ≥ ⋯⋯ (*) 이라 하면, ⋮         이다. 즉, 은 등차수열이므로 (*)에 의하여   (가) 이고,   (나) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(나 형) 9 9 12 20. 함수    에 대하여 함수 를    ≤     이라 하자. 함수    이   에서 연속일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  21. 같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체 A, B가 있다. 그림은 시각  ≤≤에서 물체 A의 속도 와 물체 B의 속도 를 나타낸 것이다.       이고 ≤≤일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.   일 때, 물체 A는 물체 B보다 높은 위치에 있다. ㄴ.    일 때, 물체 A와 물체 B의 높이의 차가 최대이다. ㄷ.    일 때, 물체 A와 물체 B는 같은 높이에 있다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 10 수리 영역(나 형) 10 12 단답형 22. lim →      의 값을 구하시오. [3점] 23. 등차수열 이   이고,    일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 24. 이차정사각행렬  의  성분  와 이차정사각행렬  의  성분  를 각각    ,    (    ,    ) 라 할 때, 행렬  의  성분을 구하시오. [3점] 25. 수열 과 이 lim →∞    , lim →∞     을 만족시킬 때, lim →∞   의 값을 구하시오. (단,  ≠) [3점] 수리 영역(나 형) 11 11 12 26. 함수   에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 27. 다항식   의 전개식에서  의 계수와  의 계수가 같을 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 양수이다.) [4점] 28. 첫째항이 이고 공비가   인 등비수열 에 대하여 수열 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가)    (나) ≥일 때,   은 점 P     을 지나고 기울기가  인 직선과 곡선    의 교점 중에서 P이 아닌 점의 좌표이다. lim →∞  의 값을 구하시오. [4점] 12 수리 영역(나 형) 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.  P ≤ ≤        29. 어느 학교 학생들의 통학 시간은 평균이 분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다. 이 학교 학생들을 대상으로 명을 임의추출하여 조사한 통학 시간의 표본평균을   라 하자. P ≤   ≤   일 때, 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. [4점] 30. 자연수 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를  이라 하자. (가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고, 두 대각선의 교점은   이다. (나) 정사각형과 그 내부에 있는 점   중에서 가 자연수이고,     을 만족시키는 점은 개뿐이다. 예를 들어   이다.      의 값을 구하시오. [4점] 1 12 2012학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 수리 영역(가 형) 5지선다형 1. log log   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 벡터     ,     가 서로 수직일 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 행렬         에 대하여 행렬   의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  ,  가 서로 독립이고 P∪    , P     일 때, P의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   제 2 교시 12 수리 영역(가 형) 2 12 5. 좌표평면에서 두 직선    ,   가 이루는 예각의 크기를  라 할 때, tan 의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④  ⑤   6. 그림과 같이 최대 개의 용기를 넣을 수 있는 원형의 실험 기구가 있다. 서로 다른 개의 용기 A, B, C, D, E, F를 이 실험 기구에 모두 넣을 때, A와 B가 이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 특정 환경의 어느 웹사이트에서 한 메뉴 안에 선택할 수 있는 항목이 개 있는 경우, 항목을 개 선택하는 데 걸리는 시간  (초)가 다음 식을 만족시킨다.     log  메뉴가 여러 개인 경우, 모든 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간은 각 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 시간을 모두 더하여 구한다. 예를 들어, 메뉴가 개이고 각 메뉴 안에 항목이 개씩 있는 경우, 모든 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간은    log  초이다. 메뉴가 개이고 각 메뉴 안에 항목이 개씩 있을 때, 모든 메뉴에서 항목을 개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간이 초 이하가 되도록 하는 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(가 형) 3 3 12 8. 좌표평면에서 두 일차변환  ,  를 나타내는 행렬이 각각       ,       일 때, 합성변환 ∘ 에 의하여 점  이 옮겨지는 점의 좌표는? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 함수 가             ≠     이다. 가   에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  10. 남학생 수와 여학생 수의 비가   인 어느 고등학교에서 전체 학생의 %가 K자격증을 가지고 있고, 나머지 %는 가지고 있지 않다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 K자격증을 가지고 있는 남학생일 확률이   이다. 이 학교의 학생 중에서 임의로 선택한 학생이 K자격증을 가지고 있지 않을 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  4 수리 영역(가 형) 4 12 11. 정의역이 ∣≤≤인 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →    lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 대칭축이   인 이차함수   의 그래프가 그림과 같다. 방정식   의 모든 실근의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(가 형) 5 5 12 13. 두 초점이 F, F′이고, 장축의 길이가  , 단축의 길이가 인 타원이 있다. 중심이 F이고 점 F′을 지나는 원과 이 타원의 두 교점 중 한 점을 P라 하자. 삼각형 PFF′의 넓이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 행렬         와 이차정사각행렬  가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬  의  성분과  성분의 합은? [4점] (가)          이다. (나)    이고,    이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수리 영역(가 형) 6 12 15. 그림은 AC AE BE이고 ∠DAC  ∠CAB  °인 사면체의 전개도이다. 이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점 D, E, F가 합쳐지는 점을 P라 하자. 사면체 PABC에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. CP  BP ㄴ. 직선 AB와 직선 CP는 꼬인 위치에 있다. ㄷ. 선분 AB의 중점을 M이라 할 때, 직선 PM과 직선 BC는 서로 수직이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 그림과 같이 곡선   sin ≤≤   에 대하여 이 곡선과 축, 직선   로 둘러싸인 영역을  , 이 곡선과 직선    , 직선     로 둘러싸인 영역을  라 하자.  의 넓이와  의 넓이가 같을 때, 상수 의 값은? (단, ≤≤   ) [4점] ①       ②   ③       ④       ⑤      수리 영역(가 형) 7 7 12 17. 어느 지역 학생들의 일 인터넷 사용시간 는 평균이 분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다. 이 지역 학생들을 대상으로 명을 임의추출하여 조사한 일 인터넷 사용시간의 표본평균을   라 하자. 함수  ,  를    P ≤     P≥  라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.      ㄴ.      ㄷ.      ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 좌표공간에 두 점 A  , B  이 있고, 평면 위에 원    이 있다. 이 원 위의 점      을 지나고  축에 평행한 직선이 직선 AB와 만날 때, 의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    8 수리 영역(가 형) 8 12 19. 수열 은   이고,        ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정의 일부이다. 모든 자연수 에 대하여     ×           이다. 수열 을   ,      ≥ ⋯⋯ (*) 이라 하면, ⋮         이다. 즉, 은 등차수열이므로 (*)에 의하여   (가) 이고,   (나) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 구간         에서 연속인 함수 가 다음 조건을 만족시킬 때,    의 값은? [4점] (가)       (나) cos    sin    (단, ≤≤   ) ①   ②   ③   ④   ⑤  수리 영역(가 형) 9 9 12 21. 삼차함수   가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식   이 서로 다른 세 실근 ,  , 를 갖는다. (나)   일 때 극값 을 갖는다. (다)    를 로 나눈 몫을 , 나머지를 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.    는 방정식   의 근이다. ㄴ.    ㄷ.  ′   ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 함수   ln에 대하여 ′     일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3점] 23. 연속확률변수  의 확률밀도함수가    ≤≤ 이다. E    일 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [3점] 10 수리 영역(가 형) 10 12 24. 분수부등식        ≤  을 만족시키는 모든 자연수 의 합을 구하시오. [3점] 25. 수열 과 이 lim →∞    , lim →∞     을 만족시킬 때, lim →∞   의 값을 구하시오. (단,  ≠) [3점] 26. 쌍곡선        위의 점  에서의 접선이 타원      의 넓이를 이등분할 때,    의 값을 구하시오. [4점] 수리 영역(가 형) 11 11 12 27. 평면에 있는 사각형 ABCD가  AB   AD   ,  BC   CD   DB 를 만족시킨다. ∠DAB  라 할 때, 사각형 ABCD의 넓이가 최대가 되도록 하는  에 대하여 sin  의 값을 구하시오. [4점] 28. 첫째항이 이고 공비가   인 등비수열 에 대하여 수열 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가)    (나) ≥일 때,   은 점 P     을 지나고 기울기가  인 직선과 곡선    의 교점 중에서 P이 아닌 점의 좌표이다. lim →∞  의 값을 구하시오. [4점] 12 수리 영역(가 형) 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 그림과 같이 평면  위에 점 A가 있고 로부터의 거리가 각각 , 인 두 점 B, C가 있다. 선분 AC를   로 내분하는 점 P에 대하여 BP 이다. 삼각형 ABC의 넓이가 일 때, 삼각형 ABC의 평면  위로의 정사영의 넓이를  라 하자.  의 값을 구하시오. [4점] 30. 자연수 에 대하여 좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를  이라 하자. (가) 정사각형의 각 변은 좌표축에 평행하고, 두 대각선의 교점은   이다. (나) 정사각형과 그 내부에 있는 점   중에서 가 자연수이고,     을 만족시키는 점은 개뿐이다. 예를 들어   이다.      의 값을 구하시오. [4점]