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수리가형문제(2017-09-30 / 485.3KB / 79회)수리가형해설(2017-09-30 / 1.54MB / 68회)수리나형문제(2017-09-30 / 527.7KB / 80회)수리나형해설(2017-09-30 / 1.30MB / 97회)1 8 2011학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 (가형) 성명 수험번호 3 1 제 2 교시 ◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오. ◦ 문제지에 성명과 수험번호를 정확히 써 넣으시오. ◦ 답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확 히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시 하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고 하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다. ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1. , log 일 때, 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 행렬 에 대하여 행렬 의 모든 성분 의 합은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 정적분 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 의 전개식에서 의 계수는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2 수리 영역 (가형) 고 3 2 8 5. 표는 연비가 kmL인 자동차 와 연비가 kmL인 자 동차 의 연료량에 따른 주행거리를 나타낸 것이다. 연료량L 주행거리(km) 자동차 자동차 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 다음은 , 일 때, 와 의 값을 구하는 식을 행렬로 나타낸 것이다. 이때, 두 상수 , 에 대하여 의 값은? (단, 연비는 L의 연료로 달릴 수 있는 거리를 수치로 나타낸 것이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 행렬 으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선 위의 모든 점이 점 로 옮겨진다. 이때, 상수 의 곱 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 자연수 에 대하여 집합 를 log log ≤ ≤ 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] <보 기> ㄱ. ∈ ㄴ. ㄷ. ∩≠ 를 만족하는 서로 다른 자연수 , 이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 8. 그림과 같이 AB BC 인 직사각형 ABCD 에서 선분 CD 를 로 내분하는 점을 P, 선분 AD 의 중점을 Q 라 하자. ∠BPQ 일 때, cos 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수리 영역 (가형) 3 3 8 9. 에서 정의된 함수 sin 의 역함수를 라 할 때, ′ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 그림은 닫힌 구간 에서 정의된 함수 의 그래프이다. 닫힌 구간 에서 정의된 함수 가 을 만족할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. lim → 가 존재한다. ㄴ. lim→ ∘ ㄷ. 열린 구간 에서 함수 의 불연속인 점은 개다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 11. 두 점 P , Q 에 대하여 P Q를 P Q 라 정의하자. 두 점 A 과 P 에 대하여 A P 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 곡선 과 축 및 두 직선 , 으로 둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수리 영역 (가형) 고 3 4 8 13. 도체가 전하를 저장할 수 있는 능력을 정전용량이라 한다. 원통도체에서 안쪽 원통의 반지름의 길이 와 바깥쪽 원통의 반지름의 길이 에 대하여 정전용량 는 log log (단, 는 상수, 의 단위는 ) 이라 한다. 일 때의 정전용량 과 일 때의 정전용량 에 대하여 log 을 만족시키는 자연수 의 최솟값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 곡선 위의 점 P 에서의 접선을 이라 하자. 이때, 곡선 과 축, 접선 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 15. 집합 을 는 인 실수 라 하자. ∈ 인 에 대하여 네 점 , , , 를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 일 때, ㄴ. ∈ 이면 (단, 는 양의 실수) ㄷ. 에 대하여 ∈ 이면 (단, 은 실수) ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 그림과 같이 중심이 A 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 P과 축 위의 점 Q은 다음 규칙을 만족한다. ㈎ 점 P은 원점이고, 점 P은 제 사분면의 점이다. ㈏ 호 PP의 길이를 이라 할 때, 이다. ㈐ 점 Q은 점 B 와 점 P을 이은 직선이 축과 만나는 점이다. Q 이고 ∞ 일 때, 상수 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수리 영역 (가형) 5 5 8 17. 에 대한 방정식 가 서로 다른 두 실근 를 갖도록 하는 상수 에 대하여 ≤ 를 만족시키는 의 최댓값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 위에 한 점 A가 있다. AP AQ AR 이 되는 원 위의 두 점을 P , Q, 지름 AB 위의 점을 R 라 하자. ∠PAQ 에 대하여 사각형 APRQ의 넓이 를 라 할 때, lim → tan 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 19. 수열 이 ⋯ (단, ⋯) 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 에 대하여 ⋯⋯ (★) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (ⅰ) 일 때, (좌변) (가) (우변) (가) 이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) 일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 이다. 일 때, (★)이 성립함을 보이자. (나) 그러므로 일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 (★)이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6 수리 영역 (가형) 고 3 6 8 20. lim→∞ 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 21. 반지름의 길이가 인 원 이 있다. 그림과 같이 원 에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 , , 의 중심을 지나는 원을 라 하자. 원 에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 , , 의 중심을 지나는 원을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 그린 원 의 둘레의 길이를 이라 할 때, ∞ 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 단답형(22 ~ 30) 22. 분수방정식 의 근을 라 할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. 정팔각형의 꼭짓점 중 임의의 세 점을 택하여 만든 삼각형이 직각삼각형일 때, 그 삼각형이 이등변삼각형일 확률을 라 하 자. 이때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연 수이다.) [3점] 24. 한 변의 길이가 인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하 면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수리 영역 (가형) 7 7 8 25. 그림과 같이 포물선 의 초점을 F 라 하고, FA 을 만족하는 포물선 위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나 는 점을 B 라 하자. 삼각형 ABF 의 넓이가 일 때, 의 값 을 구하시오. (단, 이다.) [4점] 26. 좌표평면 위의 점 를 축에 대하여 대칭이동시키는 일차변환을 , 원점을 중심으로 만큼 회전이동시키는 일차변환을 라 하자. 합성변환 를 ∘ ∘ 라 할 때, 합성변환 에 의하여 점 가 옮겨지는 점은 이다. 이때, 의 값을 구하시오. (단, , ∘ 이다.) [4점] 27. 집합 에서 집합 로의 함수 중 다음 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하시오. [3점] ㈎ ㈏ 집합 의 임의의 두 원소 , 에 대하여 이면 ≤ 28. 순서대로 읽은 수와 거꾸로 읽은 수가 일치하는 자연수를 대칭수라 한다. 예를 들어 은 대칭수이고, 은 대칭수가 아니다. 과 만을 이용하여 자리 대칭수를 만들 때, 사용된 의 개수가 의 개수보다 많은 자리 대칭수의 개수를 이라 하자. 이때, ∞ 의 값을 구하시오. [4점] 8 수리 영역 (가형) 고 3 8 8 29. 그림과 같이 선분 AB를 한 변으로 하는 정각형을 차례로 그린다. 등차수열에 대하여 선분 AB의 양 끝점에 각각 , 를 대응시키고, 정삼각형의 꼭짓점 중 점 A, B를 제외 한 꼭짓점에 , 정사각형의 꼭짓점 중 점 A, B를 제외한 두 꼭짓점에 , 를 대응시킨다. 이와 같은 과정을 계속하여 정 각형의 꼭짓점 중 점 A, B를 제외한 꼭짓점에 시계방향으로 를 대응시키자. , 일 때，어두운 부분에 배열된 숫자들 중 정십오각형의 꼭짓점 에 대응되는 수를 구하시오. [4점] 30. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 내부의 점 P, Q 는 PA PC , QB QD 를 만족하며 움직인다. 점 P, Q 가 나타내는 곡선과 정사각형으로 둘러싸인 어두운 부분을 직선 BD 를 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피가 이다. 이때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 정수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 1 8 2011학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 (나형) 성명 수험번호 3 1 제 2 교시 ◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오. ◦ 문제지에 성명과 수험번호를 정확히 써 넣으시오. ◦ 답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확 히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시 하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고 하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다. ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1. , log 일 때, 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 행렬 에 대하여 행렬 의 모든 성분 의 합은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 함수 에 대하여 lim→ 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 연결 관계가 다음 행렬로 나타내어지는 그래프의 변의 개수는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2 수리 영역 (나형) 고 3 2 8 5. 표는 연비가 kmL인 자동차 와 연비가 kmL인 자 동차 의 연료량에 따른 주행거리를 나타낸 것이다. 연료량L 주행거리(km) 자동차 자동차 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 다음은 , 일 때, 와 의 값을 구하는 식을 행렬로 나타낸 것이다. 이때, 두 상수 , 에 대하여 의 값은? (단, 연비는 L의 연료로 달릴 수 있는 거리를 수치로 나타낸 것이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 그림과 같이 직선 와 수직으로 만나는 평행한 두 직선 , 이 있다. 두 직선 , 이 함수 log , 의 그래프와 만나는 교점을 A, B, C, D라 하자. 일 때, 사각형 ABCD 의 넓이는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 자연수 에 대하여 집합 를 log log ≤ ≤ 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] <보 기> ㄱ. ∈ ㄴ. ㄷ. ∩≠ 를 만족하는 서로 다른 자연수 , 이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 8. 함수 의 최솟값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수리 영역 (나형) 3 3 8 9. 어느 건물의 실내온도 ℃를 유지하기 위한 시간당 전력소비량 을 라 하자. 실내온도를 ℃ 내릴 때마다 그 온도를 유지하기 위한 시간당 전력소비량은 일정한 비율로 증가한다. 실내온도 ℃를 유지하기 위한 시간당 전력소비량이 일 때, 실내온 도 ℃를 유지하기 위한 시간당 전력소비량은 의 몇 배인가? (단, log , log 로 계산하고, 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림한다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 그림은 삼차함수 의 도함수 ′ 의 그래프이다. 함수 에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점] <보 기> ㄱ. 함수 는 에서 감소상태에 있다. ㄴ. 함수 는 에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. 함수 의 그래프는 축과 오직 한 점에서 만난다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 11. 두 점 P , Q 에 대하여 P Q를 P Q 라 정의하자. 두 점 A 과 P 에 대하여 A P 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 수열 이 , ⋯을 만족할 때, ∞ log log 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수리 영역 (나형) 고 3 4 8 13. 도체가 전하를 저장할 수 있는 능력을 정전용량이라 한다. 원통도체에서 안쪽 원통의 반지름의 길이 와 바깥쪽 원통의 반지름의 길이 에 대하여 정전용량 는 log log (단, 는 상수, 의 단위는 ) 이라 한다. 일 때의 정전용량 과 일 때의 정전용량 에 대하여 log 을 만족시키는 자연수 의 최솟값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 함수 ∞ ≥ 에 대하여 lim → 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 15. 집합 을 는 인 실수 라 하자. ∈ 인 에 대하여 네 점 , , , 를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 일 때, ㄴ. ∈ 이면 (단, 는 양의 실수) ㄷ. 에 대하여 ∈ 이면 (단, 은 실수) ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 그림과 같이 중심이 A 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 P과 축 위의 점 Q은 다음 규칙을 만족한다. ㈎ 점 P은 원점이고, 점 P은 제 사분면의 점이다. ㈏ 호 PP의 길이를 이라 할 때, 이다. ㈐ 점 Q은 점 B 와 점 P을 이은 직선이 축과 만나는 점이다. Q 이고 ∞ 일 때, 상수 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수리 영역 (나형) 5 5 8 17. 이상의 자연수 에 대하여 곡선 와 직선 의 두 교점을 A , B이라 하고 선분 AB의 길이를 이라 할 때, lim→∞ 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 자연수 에 대하여 집합 log log 는 자연수라 할 때, 의 모든 원소의 곱은? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 19. 수열 이 ⋯ (단, ⋯) 을 만족할 때, 다음은 모든 자연수 에 대하여 ⋯⋯ (★) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (ⅰ) 일 때, (좌변) (가) (우변) (가) 이므로 (★)이 성립한다. (ⅱ) 일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 이다. 일 때, (★)이 성립함을 보이자. (나) 그러므로 일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 에 대하여 (★)이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6 수리 영역 (나형) 고 3 6 8 20. 그림과 같이 일차함수 의 그래프와 최고차항의 계수가 인 사차함수 의 그래프는 좌표가 , 인 두 점에 서 접한다. 함수 라 할 때, 함수 의 극 댓값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 21. 반지름의 길이가 인 원 이 있다. 그림과 같이 원 에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 , , 의 중심을 지나는 원을 라 하자. 원 에 내접하고 서로 외접하게 그린 반지름의 길이가 같은 세 원 , , 의 중심을 지나는 원을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 그린 원 의 둘레의 길이를 이라 할 때, ∞ 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 단답형(22 ~ 30) 22. 함수 ≠ 가 에서 연속이 되도록 하는 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [3점] 23. lim→∞ 의 값을 구하시오. [3점] 24. 한 변의 길이가 인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하 면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수리 영역 (나형) 7 7 8 25. 최고차항의 계수가 1인 다항함수 가 ′ 을 만족할 때, 의 값을 구 하시오. [3점] 26. 그림과 같이 네 점 , , , 를 꼭짓점으로 하는 직사각형 내부가 곡선 에 의하여 나누어지는 두 부분을 , , 직선 에 의하여 나누어지는 두 부분을 , 라 하자. 영역 의 넓이와 영역 의 넓이가 같을 때, 의 값을 구하시오. [4점] 27. 원점 O를 출발하여 수직선 위를 초 동안 움직이는 점 P 의 초 후의 속도 가 ≤ ≤ ≤ ≤ 일 때, 선분 OP의 길이의 최댓값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 점 A 는 두 직선 과 의 교점이다. 자연수 에 대하여 위에 AB 인 점을 B , 위에 AC 인 점을 C이라 하자. 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 이라 할 때, 를 만족 하는 의 최솟값을 구하시오. (단, B , C은 제 사분면의 점 이다.) [4점] 8 수리 영역 (나형) 고 3 8 8 29. 그림과 같이 선분 AB를 한 변으로 하는 정각형을 차례로 그린다. 등차수열에 대하여 선분 AB의 양 끝점에 각각 , 를 대응시키고, 정삼각형의 꼭짓점 중 점 A, B를 제외 한 꼭짓점에 , 정사각형의 꼭짓점 중 점 A, B를 제외한 두 꼭짓점에 , 를 대응시킨다. 이와 같은 과정을 계속하여 정 각형의 꼭짓점 중 점 A, B를 제외한 꼭짓점에 시계방향으로 를 대응시키자. , 일 때，어두운 부분에 배열된 숫자들 중 정십오각형의 꼭짓점 에 대응되는 수를 구하시오. [4점] 30. [그림1]은 무대 디자이너 길섭이가 야외공연 무대디자인 공모 전에 출품한 작품이다. [그림1]의 중앙무대를 확대하면 [그림2] 와 같고, 중앙 무대를 디자인하는 과정은 다음과 같다. ⑴ 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD를 그리고 각 변의 중점을 각각 E, F, G , H라 한다. ⑵ 변 BC를 좌표평면 위의 축과 평행하게 놓고 두 점 B, C를 지나며 점 H를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프와 두 점 A, D를 지나며 점 F를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프를 그린다. ⑶ 변 AB를 좌표평면 위의 축과 평행하게 놓고 ⑵와 같은 방 법으로 세 점 A, B, G 를 지나는 이차함수와 세 점 C, D, E를 지나는 이차함수의 그래프를 추가로 그린다. [그림1] [그림2] [그림2]의 어두운 부분의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 정수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.
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