2011 10월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2011학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수리 영역(나 형) 1 제 2 교시 1. log log   의 값은? [2점] ①  ②   ③  ④   ⑤  2. 두 행렬  ,  에 대하여         ,          일 때, 행렬   의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  ,  가 서로 독립이고 P    , P∪     일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수리 영역(나 형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12  P  ≤ ≤          5. 함수      ≥       가 모든 실수 에 대하여 미분가능하도록 하는 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 어느 양식장의 물고기의 무게는 평균  g, 표준편차  g인 정 규분포를 따른다고 한다. 이 양 식장에서 임의로 선택한 물고기 한 마리의 무게가  g 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 이차함수   에서 두 상수 , 가 다음 조 건을 만족시킨다. (가)      (나)     이때, 세 정적분      ,     ,      의 값의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [3점] ①      ②      ③      ④      ⑤      수리 영역(나 형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 주머니 속에 개의 흰 바둑돌과 개의 검은 바둑돌이 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 바둑돌을 동시에 꺼낼 때, 개 모 두 검은 바둑돌일 확률이   이다. 이때, 자연수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수    ,   sin  가 있다. 이때, 합성함수 ∘ 의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 두 이차정사각행렬   에 대하여 옳은 것만을 <보기>에 서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고,  는 영행 렬이다.) [3점] < 보 기 > ㄱ.    이면     이다. ㄴ.    이면    이다. ㄷ.     이면   이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수리 영역(나 형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열에서 제항은 자리의 수이다. 이때, 자연수 의 값은? (단, log  으로 계산 한다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 다음은 모든 자연수 에 대하여 등식                ⋯⋯ ㉠  이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1)  일 때, (좌변)   , (우변)  이므로 ㉠이 성립 한다. (2)  일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면                  이다.   일 때 ㉠이 성립함을 보이자.                     ⋯    ․      가 ‧              나            그러므로  일 때도 ㉠이 성립한다.  따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ㉠이 성립한다.  위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나)에 알맞은 식 을 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(나 형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 상수함수가 아닌 다항함수 가 모든 실수 에 대하여       을 만족시킬 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림은 열린 구간  에서 정의된 두 함수   ,    의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고 른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. lim →   ㄴ. lim →    ㄷ. lim →     ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수리 영역(나 형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 함수    의 그래프 위의 점 P 과 함수    의 그래프 위의 점 Q   에 대하여    가 성립한다. 그림과 같이 두 점 P, Q를 지나고 축, 축과 평행한 직선을 그려 만들어지는 직사각형의 넓이의 최솟값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 그림과 같이 중심이 A 이고 반지름의 길이가 인 원에 외접하고 축에 접하는 원의 중심을 P  라 하자. 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, lim →∞ PA  PH 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(나 형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 삼차함수     에 대하여  lim →∞               의 값은? [4점] ①    ②    ③  ④   ⑤   18. 다음은 개의 꼭짓점 A, B, C, D, E, F로 이루어진 그래프 를 나타내는 행렬이다. A B C D E F ABCDEF            이 그래프에 대한 옳은 설명만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. 두 꼭짓점 A와 F를 연결하는 변이 존재한다. ㄴ. 모든 꼭짓점에는 개 이상의 변이 연결되어 있다. ㄷ. 꼭짓점 B에서 출발하여 두 개의 변을 지나 꼭짓점 E로 가는 경로가 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수리 영역(나 형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다. 점 P는 점 A 를 출발하여 시각  에서의 속도가    이고, 점 Q는 점 B를 출발하여 시각  에서의 속도가 이다. 두 점 P Q가 동시에 출발한 후 번 만나도록 하는 정수 의 값은? (단, ≠) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같은 두 개의 도로망이 있다.  이차정사각행렬  의  성분   (   ,    )를    P지점에서 도로망을 따라 Q지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수   로 정의하자.  다음 중 R지점에서 도로망을 따라 S지점까지 최단 거리로 가 는 방법의 수와 같은 것은? (단, 모든 도로는 서로 평행하거나 수직이다.) [4점] ① 행렬 의  성분 ② 행렬  의  성분 ③ 행렬  의  성분 ④ 행렬 의  성분과  성분의 곱 ⑤ 행렬 의  성분과  성분의 곱 수리 영역(나 형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 이 있다. 꼭짓점 A을 중심으로 하고 반지름의 길이가    AB인 원이 삼각형 ABC과 만나는 점을 각각 P, Q이라 하고 삼각형 ABC의 내부에 있는 호 PQ을 이등분하는 점을 A라 하자. 점 A를 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 B, C가 변 BC 위에 있는 정삼각형 ABC를 그린다.  꼭짓점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가   A B인 원이 삼각형 ABC와 만나는 점을 각각 P, Q라 하고 삼각형 ABC의 내부에 있는 호 PQ를 이등분하는 점을 A이라 하 자. 점 A을 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 B, C이 변 BC 위에 있는 정삼각형 ABC을 그린다.  이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 호 PQ의 길이를  이라 할 때,     ∞ 의 값은? [4점] ①   ②    ③   ④    ⑤   단답형 22.   의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 23. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열   이            를 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [3점] 수리 영역(나 형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 곡선      위의 점  에서의 접선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를  라 할 때,  의 값을 구하시오. [3점] 25. 어떤 음원에서 나오는 음향출력이  W일 때, 음향파워레벨   dB는 다음과 같이 계산한다.     log     (단, 은 기준 음향출력을 나타내는 상수이다.)  일반적인 대화에서 나오는 음향출력이    W일 때, 음향파워 레벨은 dB이라고 한다. 비행기 엔진 소리에서 나오는 음향 출력이  W일 때, 음향파워레벨은  dB이다. 이때, 의 값 을 구하시오. [3점] 26. 에 대한 로그방정식 log log log log  log   이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 양수 의 값의 범위가   일 때,     의 값을 구하시오. [4점] 수리 영역(나 형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 축구공, 농구공, 배구공 중에서 개의 공을 선택하는 방법의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 공은 개 이상씩 있고, 같은 종 류의 공은 서로 구별하지 않는다.) [3점] 28. 연속확률변수  가 갖는 값의 범위가 ≤≤ 이고 확률밀도 함수의 그래프는 그림과 같다. 확률변수  의 평균이 E     일 때,  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소 인 자연수이다.) [4점] 수리 영역(나 형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 행렬         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합을  이라 하자. 이때,      을 만족시키는  이하의 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점] 30. 수열  이   ,    ( , , , …)  를 만족시키고, 수열   의 첫째항부터 제항까지의 합을   이라 하자.             일 때,  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 2011학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수리 영역(가 형) 1 제 2 교시 1. log log   의 값은? [2점] ①  ②   ③  ④   ⑤  2. lim →   sinsin 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. cos   일 때, cos 의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4. 함수 의 도함수가 ′  sin일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12  P  ≤ ≤          5. 곡선     과 축이 만나는 점에서의 접선의 기울기는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 어느 양식장의 물고기의 무게는 평균  g, 표준편차  g인 정 규분포를 따른다고 한다. 이 양 식장에서 임의로 선택한 물고기 한 마리의 무게가  g 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 남학생 명과 여학생 명에게 봄과 가을 중에서 언제 수 학여행을 가고 싶은 지 하나만 선택하도록 하였더니, 남학생의 와 여학생의 가 봄을 선택하였다. 이 명의 학생 중 에서 임의로 한 명을 뽑았더니 봄을 선택한 학생이었을 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 그림은 역함수가 존재하는 함수   의 그래프와 직선   를 나타낸 것이다. ≤≤에서 부등식      ≤ 을 만족시키는 모든 정수 의 개수는? (단,    는 의 역함수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 직선   에 대한 대칭변환 와 원점을 중심으로  만큼 회전하는 회전변환  가 있다. 행렬       에 대하여 ∘∘  가 성립하도록 상수  의 값을 정할 때,  tan 의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  10. 두 이차정사각행렬   에 대하여 옳은 것만을 <보기>에 서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고,  는 영행 렬이다.) [3점] < 보 기 > ㄱ.    이면     이다. ㄴ.    이면    이다. ㄷ.     이면   이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 좌표공간의 세 점 A  , B  , C  과  평면 위의 점 P 에 대하여   PA PB PC 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 다음은 모든 자연수 에 대하여 등식                ⋯⋯ ㉠  이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1)  일 때, (좌변)   , (우변)  이므로 ㉠이 성립 한다. (2)  일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면                  이다.   일 때 ㉠이 성립함을 보이자.                     ⋯    ․      가 ‧              나            그러므로  일 때도 ㉠이 성립한다.  따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ㉠이 성립한다.  위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나)에 알맞은 식 을 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 좌표공간에서 점 A  를 축에 대하여 대칭이동한 점 을 B 라 하고, 점 A를 평면에 대하여 대칭이동한 점을 C 라 하자. 세 점 A , B , C 를 지나는 원의 반지름의 길이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림은 열린 구간  에서 정의된 두 함수   ,    의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고 른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. lim  →      ㄴ. lim →    ㄷ. 함수 는   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 함수    의 그래프 위의 점 P 과 함수    의 그래프 위의 점 Q   에 대하여    가 성립한다. 그림과 같이 두 점 P, Q를 지나고 축, 축과 평행한 직선을 그려 만들어지는 직사각형의 넓이의 최솟값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 한 변의 길이가 인 정육각형 ABCDEF와 쌍곡선  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 쌍곡선  의 초점은 점 A와 점 D이다. (나) 쌍곡선  의 점근선은 직선 BE와 직선 CF이다.  쌍곡선  와 변 AB가 만나는 점을 P라 할 때,  DP   AP의 값은? [3점] ①   ②  ③  ④  ⑤  수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수      이   에서 극값을 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 자연로그의 밑이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.      ㄴ. 곡선   의 변곡점이 존재한다. ㄷ. 함수 는   에서 최솟값을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 좌표공간에서 중심이 원점이고 직선      와 서로 다른 두 점 A , B에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 두 벡터  AP,  AB에 대하여  AP∙ AB   AB  이 성립 할 때, 점 P가 나타내는 도형의 길이는? [4점] ①  ②  ③   ④   ⑤  수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 원점 O 와 점 A    에 대하여 선분 OA와 곡 선   log   ≤≤를 축의 둘레로 회전시켜 만든 회 전체 모양의 그릇이 있다.  이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초  cm 의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가  cm초가 되는 순간 의 수면의 높이는  cm이다. 의 값은? (단, 좌표축의 눈금 단 위는 cm이다.) [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   20. 그림과 같은 두 개의 도로망이 있다.  이차정사각행렬  의  성분   (   ,    )를    P지점에서 도로망을 따라 Q지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수   로 정의하자.  다음 중 R지점에서 도로망을 따라 S지점까지 최단 거리로 가 는 방법의 수와 같은 것은? (단, 모든 도로는 서로 평행하거나 수직이다.) [4점] ① 행렬 의  성분 ② 행렬  의  성분 ③ 행렬  의  성분 ④ 행렬 의  성분과  성분의 곱 ⑤ 행렬 의  성분과  성분의 곱 수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 이 있다. 꼭짓점 A을 중심으로 하고 반지름의 길이가    AB인 원이 삼각형 ABC과 만나는 점을 각각 P, Q이라 하고 삼각형 ABC의 내부에 있는 호 PQ을 이등분하는 점을 A라 하자. 점 A를 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 B, C가 변 BC 위에 있는 정삼각형 ABC를 그린다.  꼭짓점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가   A B인 원이 삼각형 ABC와 만나는 점을 각각 P, Q라 하고 삼각형 ABC의 내부에 있는 호 PQ를 이등분하는 점을 A이라 하 자. 점 A을 꼭짓점으로 하고 나머지 두 꼭짓점 B, C이 변 BC 위에 있는 정삼각형 ABC을 그린다.  이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 호 PQ의 길이를  이라 할 때,     ∞ 의 값은? [4점] ①   ②    ③   ④    ⑤   단답형 22. 무리방정식    의 실근을 구하시오. [3점] 23. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열   이            를 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [3점] 수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 명의 학생에게 자루의 연필 모두를 나누어 주는 방법 중에 서 연필을 한 자루도 받지 못하는 학생이 생기는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필은 서로 구별하지 않는다.) [3점] 25. 어떤 음원에서 나오는 음향출력이  W일 때, 음향파워레벨   dB는 다음과 같이 계산한다.     log     (단, 은 기준 음향출력을 나타내는 상수이다.)  일반적인 대화에서 나오는 음향출력이    W일 때, 음향파워 레벨은 dB이라고 한다. 비행기 엔진 소리에서 나오는 음향 출력이  W일 때, 음향파워레벨은  dB이다. 이때, 의 값 을 구하시오. [3점] 26. 행렬       가 나타내는 일차변환 에 의하여 서로 수직인 두 직선 , ′이 각각 두 직선   ,   로 옮겨지도록 하 는 실수 의 값을 구하시오. [4점] 수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수      ,    sin cos  에 대하여 합성함수 ∘ 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하 시오. [4점] 28. 양수 에 대하여 연속확률변수  가 갖는 값의 범위가 ≤≤ 이고 확률밀도함수는     이다. 확률변수  의 평균이 E  ln일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 자연로그의 밑이고, 와 는 자연수이다.) [4점] 수리 영역(가 형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 그림과 같이 삼차함수    의 그래프가 축과 만나는 점을 A라 하고, 점 A 를 지나고 축에 수직인 직선을  이라 하자. 또, 곡선   와 축 및 직선   (    )로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 하고, 곡선   와 직선  및 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자. 이때,  가 되도록 하는 상수 에 대하여 의 값을 구하시오. [4점] 30. 정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M, N이라 하자. 직선 BM과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.