2015 7월 학력평가 수학 문제 해설

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수학B형해설(2017-10-05 / 286.2KB / 64회)

고 3 수학 영역 (A형) 1  1 12 2015학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (A형) 1 5지선다형 1. loglog  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건 , 에 대하여 P    , P∩    일 때, P의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  2 수학 영역 (A형) 고 3 2 12 5. 두 수열 , 에 대하여 lim→∞   , lim→∞    이 성립할 때, lim→∞ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이     일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수    의 그래프가 그림과 같다.        O    lim →    lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (A형) 3  3 12 8.   에 대한 연립일차방정식                이   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 곱은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 다항식  의 전개식에서 의 계수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 함수    의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   4 수학 영역 (A형) 고 3 4 12 11. 지수부등식  ‧   ≤  을 만족시키는 모든 정수  의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 삼차방정식      이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (A형) 5  5 12 [13~14] 두 함수   과         에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.        O  13. 직선   와 함수    의 그래프가 만나는 두 점을 A, B라 하고, 함수    의 꼭짓점을 C라 하자. 세 점 A, B, C의  좌표가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 의 값은? (단, A는 제사분면 위의 점이다.) [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤  14. 곡선    위의 점 P   에서의 접선을 이라 하자. 직선 에 곡선   가 접할 때의 접점을 Q, 곡선   와 축이 만나는 두 점을 각각 R, S라 할 때, 삼각형 QRS의 넓이는? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  6 수학 영역 (A형) 고 3 6 12 15. 다항함수  가 모든 실수 에 대하여        을 만족시킬 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 총 공기흡인량이  m 이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가  ㎎일 때의 공기 중 먼지 농도  ㎍m 는 다음 식을 만족시킨다고 한다. log   log log  ( ) A 지역에서 총 공기흡인량이 이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 일 때의 공기 중 먼지 농도를  A, B 지역에서 총 공기흡인량이   이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가   일 때의 공기 중 먼지 농도를  B라 하자.  A   B 를 만족시키는 상수 의 값은? (단,   ) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (A형) 7  7 12 17. 모든 항이 양수인 수열 은     이고      ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.  주어진 식의 양변을 로 나누면           이다.      이라 하면      가 이고,     이다.   이므로    나    나  이다. 그러므로    나   (≥) 이다. 위의 (가)에 알맞은 값을 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 두 이차정사각행렬  , 가    ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점]  <보 기> ㄱ.    ㄴ.   ㄷ.  의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 8 수학 영역 (A형) 고 3 8 12 19. 이 아닌 실수 에 대하여 함수 가    ≤       일 때, 함수    이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 의 값은? [4점] ①    ②  ③    ④  ⑤    20. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있다. 세 선분 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하고 두 정삼각형 BED, ECF를 그린 후 마름모 ADEF에 중심이 O인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 DE, EF의 접점을 각각 P, Q라 할 때, 사각형 OPEQ를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 그림 에서 새로 그려진 네 개의 정삼각형의 내부에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim→∞ 의 값은? [4점]  A B C D P O Q F E ⋯    ⋯ ①  ②    ③  ④   ⑤  고 3 수학 영역 (A형) 9  9 12 21. 최고차항의 계수가  인 사차함수 에 대하여 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.   (가)  는    에서 미분가능하고    ′이다.  (나) 는  ,   ,    에서 극솟값을 갖는다.  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim→∞   ‧   의 값을 구하시오. [3점] 23. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (A형) 고 3 10 12 24. 함수      에 대하여 lim →    의 값을 구하시오. [3점] 25.     ∞     의 값을 구하시오. [3점] 26. 한 개의 주사위를 번 던질 때 의 약수의 눈이 번 나올 확률을 이라 하고, 한 개의 동전을 번 던질 때 동전의 앞면이 번 나올 확률을 라 하자.    의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (A형) 11  11 12 27. 다음 단계에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다.  단계   개의 원을 외접하게 그려서 그림 을 얻는다. 단계   그림 의 아래에 개의 원을 외접하게 그려서 그림 를 얻는다. 단계   그림 의 아래에 개의 원을 외접하게 그려서 그림 을 얻는다. ⋮ 단계   그림 의 아래에 개의 원을 외접 하게 그려서 그림 을 얻는다. (≥)  ⋯ 그림   그림   그림   ⋯ 그림 에 그려진 원의 모든 접점의 개수를    , , , ⋯이라 하자. 예를 들어,    ,   이다. 의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 세 로그함수   log  ,    log  ,    log 의 그래프가 있다. 점 P 을 지나고 축 에 평행한 직선이 두 곡선   ,   와 만나는 점의 좌표를 각각 , 라 하자. 직선   와 곡선   가 만나는 점을 Q , 직선   와 곡선   가 만나는 점을 R    라 하자. 세 점 P, Q, R가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 , 의 곱 의 값을 구하시오. 단,    [4점]    log     log    log  O   P Q R  12 수학 영역 (A형) 고 3 12 12 29. 최고차항의 계수가 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수  에 대하여   의 최솟값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점]   (가)     (나) 모든 실수 에 대하여  ′  ′ 이다.  (다) 모든 실수 에 대하여  ′≥ 이다. 30. 검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은  A형 B형 C형 D형  으로 가지이다. 예를 들어, 개의 바둑돌을 A형 번, B형 번, C형 번, D형 번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 이다. 개의 바둑돌을 A형 번, B형 번, C형 번, D형 번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 개 이상씩 있다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.  고 3 수학 영역 (B형) 1  1 12 2015학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (B형) 1 5지선다형 1.   ×   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤   2. 두 행렬                  에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. cos     일 때, cos의 값은?  단,        [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4. 두 사건  와 는 서로 독립이고 P    , P     일 때, P∪  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  2 수학 영역 (B형) 고 3 2 12 5. 곡선     위의 점      에서의 접선의 기울기는? [3점] ①   ln  ② ln ③   ln ④ ln ⑤   ln 6. 수열 에 대하여     ∞    일 때, lim→∞         의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 일차변환 , 는     →        →    이다. 합성변환 ∘ 에 의하여 점 A  이 점 B  로 옮겨질 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (B형) 3  3 12 8. 한 개의 주사위를 번 던질 때 첫 번째 나온 눈의 수를 , 두 번째 나온 눈의 수를 라 하자. 두 수 , 의 곱 가 짝수 일 때, 와 가 모두 짝수일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 원      과 쌍곡선             이 서로 다른 네 점에서 만나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이    일 때,     의 값은? (단, , 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 직선   에 접하고 점  를 지나는 이차함수   의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식    의 서로 다른 실근의 개수는? [3점]  O         ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역 (B형) 고 3 4 12 11. 좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 회전변환 에 의하여 직선    이 직선   로 옮겨질 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   12. 두 이차정사각행렬  가    ,    를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [3점]  <보 기> ㄱ.    ㄴ.   ㄷ. 의 역행렬은  이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (B형) 5  5 12 [13∼14] 구간   ∞에서 정의된 함수        의 그래프는 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.       O  13. 세 수    가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤   14. 곡선   와 축 및 두 직선   ,   로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가   일 때, 상수 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤   6 수학 영역 (B형) 고 3 6 12 15. 그림과 같이  AB  AC ,  BC  인 삼각형 ABC가 평면 위에 있고, 점 P  의 평면 위로의 정사영 Q는 삼각형 ABC의 무게중심과 일치한다. 점 P에서 직선 BC까지의 거리는? [4점] A C B Q 평면 P ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 모든 항이 양수인 수열 은     이고      ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.  주어진 식의 양변을 로 나누면           이다.      이라 하면      가 이고,     이다.   이므로    나    나  이다. 그러므로    나   (≥) 이다. 위의 (가)에 알맞은 값을 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (B형) 7  7 12 17. 그림과 같이 포물선     위의 네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD에 대하여 두 선분 AB와 CD가 각각 축과 평행하다. 사각형 ABCD의 두 대각선의 교점이 포물선의 초점 F와 일치하고  DF 일 때, 사각형 ABCD의 넓이는? [4점] A B C D      O F  ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이  ,  ,  ,  , , 의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 장을 뒤 집고, 이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로  장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. 번째 시행에서  가 적혀 있 는 카드가 뒤집어질 확률은? (단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   8 수학 영역 (B형) 고 3 8 12 19. 구간  ∞에서 연속인 함수 의 한 부정적분을 라 할 때, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.   (가) 모든 양수 에 대하여     (나)   의 값은? [4점] ①     ②     ③   ④  ⑤  20. 그림과 같이 반지름의 길이가  이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 가 있다. ∠COA          가 되도록 호 AB 위의 점 C를 잡고, 점 C에서의 접선이 변 OA의 연장선, 변 OB의 연장선과 만나는 점을 각각 P, Q라 하자.  PQ 일 때, tan의 값은? [4점] B O A C  Q P ①   ②   ③   ④   ⑤  고 3 수학 영역 (B형) 9  9 12 21. 검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은  A형 B형 C형 D형  으로 가지이다. 예를 들어, 개의 바둑돌을 A형 번, B형 번, C형 번, D형 번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 이다. 개의 바둑돌을 A형 번, B형 번, C형 번, D형 번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는? (단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 개 이상씩 있다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim → cos sin  의 값을 구하시오. [3점] 23. 분수부등식        ≤  을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (B형) 고 3 10 12 24. 함수    에 대하여 의 역함수를 라 할 때,  ′의 값을 구하시오. [3점] 25. 총 공기흡인량이  m 이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가  ㎎일 때의 공기 중 먼지 농도  ㎍m 는 다음 식을 만족시킨다고 한다. log   log log  ( ) A 지역에서 총 공기흡인량이 이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 일 때의 공기 중 먼지 농도를  A, B 지역에서 총 공기흡인량이   이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가   일 때의 공기 중 먼지 농도를  B라 하자.  A   B 를 만족시키는 상수 의 값을 구하시오. (단,   ) [3점] 26. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 위치 가        cos  이다. 점 P의 시각     에서의 가속도의 크기를 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (B형) 11  11 12 27. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABC­DEF가 있다. 변 DE의 중점 M에 대하여 선분 BM을   로 내분하는 점을 P라 하자.  CP  일 때,   의 값을 구하시오. [4점] E C P M B A D F 28. 양의 실수 에 대하여 곡선   ln와 직선   가 접할 때, 곡선   ln, 직선    및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는   이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다. [4점] 12 수학 영역 (B형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원의 호 AB 위에 ∠PAB         인 점 P가 있다. ∠APQ  가 되도록 선분 AB 위의 점 Q를 잡을 때, 두 선분 PQ, QB와 호 BP로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자. lim →    의 값을 구하시오. [4점] A B P Q   30. 그림과 같이 평면  위에 ∠A    ,  AB  AC  인 삼각형 ABC가 있다. 중심이 점 O이고 반지름의 길이가 인 구가 평면 와 점 A에서 접한다. 세 직선 OA, OB, OC와 구의 교점 중 평면 까지의 거리가 보다 큰 점을 각각 D, E, F라 하자. 삼각형 DEF의 평면 OBC 위로의 정사영의 넓이를  라 할 때,  의 값을 구하시오. [4점] A B C O D E F  * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.