2015 6월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 2016학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 5지선다형 1. 두 행렬                  에 대하여 행렬 의   성분은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.        의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 공차가 인 등차수열 에 대하여   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. log log   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬에서 행의 모든 성분의 합이 인 행의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 상수 , 에 대하여 lim →     일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 두 수열 ,  에 대하여         ,         일 때,         의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →    lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 이차정사각행렬  의 모든 성분의 합이 이고,  의 역행렬이         일 때, 의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 함수    에 대하여 lim →    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 공비가 인 등비수열 의 첫째항부터 제항까지의 합   이 lim →∞      를 만족시킬 때, 첫째항  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 [13∼14] 함수 가   일 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 함수 의 도함수가 이고 곡선    위의 점  에서의 접선의 절편이 일 때, 이 접선의 절편은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 자연수 에 대하여 방정식   의 두 근이 , 일 때    라 하자. lim →∞   의 값은? [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 함수   log의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를   라 하자. 함수 의 역함수가           일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 공차가 인 등차수열 에 대하여 세 항      은 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 항     는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 두 함수    ,     에 대하여 방정식  가 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 반지름의 길이가 인 원   에 내접하는 정삼각형 ABC 이 있다. 그림과 같이 직선 AC 과 평행하고 점 B 을 지나지 않는 원   의 접선 위에 두 점 D  E 을 사각형 ACDE 이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형 ACDE 의 내부와 원   의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림  에 정삼각형 ABC 에 내접하는 원   와 원   에 내접하는 정삼각형 ABC 를 그리고, 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 ACDE 를 그리고 직사각형 ACDE 의 내부와 원   의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을   라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점] ①      ②      ③      ④      ⑤      이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 첫째항이 인 수열 에 대하여         라 할 때,         ≥ …… (*) 이 성립한다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 식 (*)의 양변에  을 더하여 정리하면          이다.    log   이라 하면    이고     가   이다. 수열  의 일반항을 구하면       ≥ 이므로           ≥ 이다. 그러므로   이고, ≥일 때              나   나 ×   이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 양수 에 대하여 log의 지표를 라 할 때,    를 만족시키는  이하의 두 자연수 , 의 순서쌍  에 대하여 의 최솟값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 자연수 에 대하여 최고차항의 계수가 이고 다음 조건을 만족시키는 삼차함수 의 극댓값을  이라 하자. (가)   (나) 모든 실수 에 대하여 ≥ 이다.  이 자연수가 되도록 하는 의 최솟값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim →        의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수   에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24.        일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점] 25.  , 에 대한 연립일차방정식                이 무수히 많은 해를 갖도록 하는 상수 의 값을 구하시오. [3점] 26. 수열 에 대하여 무한급수     ∞    이 수렴할 때, lim →∞      의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 함수      이 열린 구간  에서 감소할 때, 양수 의 최댓값을 구하시오. [4점] 28. 일차함수   의 그래프가 그림과 같고   이다. 부등식   ≤  의 해가 ≤일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 실수 에 대하여 직선   가 곡선     와 만나는 점의 개수를 라 하자. 최고차항의 계수가 인 이차함수 에 대하여 함수 가 모든 실수 에서 연속일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 30.  이상의 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수  의 모든 순서쌍  의 개수가  이상이 되도록 하는 가장 작은 자연수 의 값을 이라 할 때, ××의 값을 구하시오. [4점] (가)   이면 ≤ log 이다. (나) ≥이면  ≤    이다. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 2016학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 5지선다형 1. 두 행렬                  에 대하여 행렬 의   성분은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. log log   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →   ln  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. tan    일 때, sin 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5.       의 값은? [3점] ①     ②   ③     ④     ⑤     6. 일차변환 를 나타내는 행렬을       이라 하자. 역변환    에 의하여 점  이 점  로 옮겨질 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   sin cos의 최댓값이 일 때, 양수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 공비가 인 등비수열 의 첫째항부터 제항까지의 합   이 lim →∞      를 만족시킬 때, 첫째항  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 서로 다른 종류의 연필 자루를 명의 학생 A , B , C , D 에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 자연수 에 대하여 직선    위의 점 P   을 지나고 이 직선과 수직인 직선이 축과 만나는 점을 Q 라 할 때, 선분 OQ 의 길이를  이라 하자. lim →∞   의 값은? (단, O 는 원점이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 닫힌 구간  에서 정의된 연속함수   의 그래프가 그림과 같다. 방정식         의 실근의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 그림과 같이 두 점 F , F′    을 초점으로 하고 장축의 길이가 인 타원이 있다. 점 F를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 타원과 점 P에서 만난다. 점 P 에서 원에 접하는 직선이 점 F′을 지날 때, 의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 [13∼14] 닫힌 구간  에서 정의된 함수    sin   의 그래프가 그림과 같고, 직선   가   의 그래프 위의 점 A 를 지난다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 직선   가 축에 평행할 때, 곡선   와 직선   에 의해 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①     ②     ③     ④     ⑤     14. 일차함수 가 닫힌 구간  에서 ≤ 를 만족시킬 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 반지름의 길이가 인 원   에 내접하는 정삼각형 ABC 이 있다. 그림과 같이 직선 AC 과 평행하고 점 B 을 지나지 않는 원   의 접선 위에 두 점 D  E 을 사각형 ACDE 이 직사각형이 되도록 잡고, 직사각형 ACDE 의 내부와 원   의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림  에 정삼각형 ABC 에 내접하는 원   와 원   에 내접하는 정삼각형 ABC 를 그리고, 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 ACDE 를 그리고 직사각형 ACDE 의 내부와 원   의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을   라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점] ①      ②      ③      ④      ⑤      16. 두 함수         ≥ ,       에 대하여 합성함수 ∘가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 곱은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 첫째항이 인 수열 에 대하여         라 할 때,         ≥ …… (*) 이 성립한다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 식 (*)의 양변에  을 더하여 정리하면          이다.    log   이라 하면    이고     가   이다. 수열  의 일반항을 구하면       ≥ 이므로           ≥ 이다. 그러므로   이고, ≥일 때              나   나 ×   이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 좌표평면 위의 두 곡선       과      이 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를  ,     라 할 때,    ,     를 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 그림과 같이 초점이 각각 F , F′과 G , G ′이고 주축의 길이가 , 중심이 원점 O 인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P 제사분면에서 만나는 점을 Q 라 하자.  PG× QG  PF×QF 일 때, 사각형 PGQF의 둘레의 길이는? (단, 점 F의 좌표와 점 G 의 좌표는 양수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 양수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 양수 의 개수를  이라 할 때,  의 값은? [4점] (가) ≤  (나)      ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21.  이상의 자연수 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수         가 역함수를 갖도록 하는 실수 의 최솟값을 이라 하자. ≤≤ 을 만족시키는 모든 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 무리방정식   의 해를 구하시오. [3점] 23. 첫째항이 인 등차수열 이     을 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 포물선    에 접하고 기울기가   인 직선의 절편을 구하시오. [3점] 25. 매개변수 (  )으로 나타내어진 함수     ,         에서   일 때,    의 값을 구하시오. [3점] 26.  , 에 대한 연립일차방정식                가    ,    이외의 해를 가질 때, 상수 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수  ,  ,  , 의 모든 순서쌍     의 개수를 구하시오. [4점] (가)    (나) ≠ 28. 두 일차변환  ,  를 나타내는 행렬을 각각 이라 하자. 합성변환 ∘ 에 의하여 점 A 이 옮겨지는 점을 B 라 하고, 합성변환 ∘   에 의하여 점 B 가 옮겨지는 점을 C 라 하자. 삼각형 ABC 의 넓이가 일 때, sin     이다. 의 값을 구하시오. (단,       이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원 위에 점 C 를 잡고 ∠BAC  라 하자. 호 BC 와 두 선분 AB , AC 에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim →     tan     이다. 의 값을 구하시오. (단,       ) [4점] 30. 정의역이  ≤≤이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 에 대하여   의 최댓값은  ln  이다. 의 값을 구하시오. (단,  , 는 자연수이고, ln는 무리수이다.) [4점] (가)   이고 ≤ 이다. (나) ≤≤인 각각의 정수 에 대하여   (  ≤ ) 또는   × (  ≤ ) 이다. (다) 열린 구간  에서 함수 가 미분가능하지 않은 점의 개수는 이다. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.