2015 4월 학력평가 수학 문제 해설

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수학A형해설(2017-10-05 / 212.2KB / 106회)

수학B형문제(2017-10-05 / 453.9KB / 74회)

수학B형해설(2017-10-05 / 310.4KB / 88회)

1 12 2015학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 제 2 교시 1 1.    ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim→∞     ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2 수학 영역(A형) 2 12 5. log  × log 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 실수 , 에 대하여 좌표평면에서 함수   ×  의 그래프가 두 점   ,   을 지날 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 등차수열 에 대하여   ,    일 때, 의 값은?  [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 3 3 12 8. 수열 에 대하여 무한급수   ∞      이 수렴할 때, lim→∞ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 수열 에서     일 때,      을 만족시키는 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 다음 순서도에서 인쇄되는  의 값은? [3점] 시작  ←   ←   ←    ←     를 인쇄     끝 아니요 예 ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역(A형) 4 12 11. 함수   의 그래프가 그림과 같다.  O              lim →   일 때, lim→의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  12. 두 양수 , (  )가 다음 조건을 만족시킬 때, log   의 값은?  [3점] (가)     (나) log× log   ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 5 5 12 [13 ~ 14] 좌표평면에서 자연수 에 대하여 그림과 같이 곡선    과 직선    가 제사분면에서 만나는 점을 P이라 하자. 번과 번의 두 물음에 답하시오.          O  P 13. 점 P의 좌표를  라 할 때, , 에 대한 연립일차방정식                  이   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 곱은?  [3점] ①   ②   ③  ④   ⑤   14. 점 P을 지나고 직선    와 수직인 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 Q , R이라 하자. 삼각형 OQR의 넓이를  이라 할 때,       의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역(A형) 6 12 15. 지수부등식         을 만족시키는 모든 정수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 , 스피커의 임피던스를 , 전송 손실을 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.     log   (단, 전송 손실의 단위는 dB, 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 Ω이다.) 이 앰프에 임피던스가 인 스피커를 저항이 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 인 접속 케이블로 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 배이다. 양수 의 값은?  [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤  수학 영역(A형) 7 7 12 17. 수열 에 대하여       라 할 때,         ( ≥ ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.        ⋯⋯ ㉠ 에서   일 때,      이므로   이다.        ⋯⋯ ㉡ ㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터     가 이다. 수열  가 등비수열이므로 일반항 을 구하면   나 ( ≥ ) 이다.  위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 곡선     과 직선   가 제사분면에서 만나는 점을 A라 하고, 점 A에서 축에 내린 수선의 발을 B라 하자. 직선    위의 점 P  에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 점 P를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선     과 만나는 점을 R 라 할 때, lim→PR PQ 의 값은? (단,     ) [4점]          O  A B P Q R ①   ②   ③   ④   ⑤  8 수학 영역(A형) 8 12 19. 두 이차정사각행렬 ,  가      ,      를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] 보 기 ㄱ. 의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.     ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 자연수 에 대하여 그림과 같이 두 점 A  , B   이 있다. 삼각형 OAB에 내접하는 원의 중심을 C이라 하고, 두 점 B과 C을 지나는 직선이 축과 만나는 점을 P이라 하자. lim→∞  OP 의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]   A B O C P ①     ②    ③   ④   ⑤    수학 영역(A형) 9 9 12 21. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 종이 ABCD에서 각 변의 중점을 각각 A , B , C , D이라 하고 AB , BC , CD , DA을 접는 선으로 하여 네 점 A, B, C, D가 한 점에서 만나도록 접은 모양을 이라 하자. 에서 정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 각각 A , B , C , D라 하고 AB , BC , CD , DA를 접는 선으로 하여 네 점 A , B , C , D이 한 점에서 만나도록 접은 모양을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 모양을 이라 하고,  을 정사각형 모양의 종이 ABCD와 같도록 펼쳤을 때 접힌 모든 선들의 길이의 합을 이라 하자. 예를 들어,    이다. 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점] A B A B A C D A B C D C D B C D A B C D   ⇩ 을 펼친 그림 를 펼친 그림 ⇩ ①  ②   ③  ④  ⑤   단답형 22. lim→     의 값을 구하시오. [3점] 23. 행렬         에 대하여 행렬   의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(A형) 10 12 24. 지수방정식       을 만족시키는 실수 의 값을 구하시오. [3점] 25. 함수   log의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프가 두 점  ,   을 지날 때, 상수 , 의 곱 의 값을 구하시오. [3점] 26. 수열 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)        ( ≥ )    일 때, 모든 의 값의 합을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 11 11 12 27. 자연수 에 대하여 그림과 같이 세 곡선   log ,   log,   log    이 직선   과 만나는 세 점을 각각 A , B , C이라 하자. 두 삼각형 AOB , BOC의 넓이를 각각  , 이라 할 때,     를 만족시키는 의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점]  O A    log B C   log   log        28. 수열 은 다음 조건을 만족시킨다. (가)   ,    (나) 은 와 의 합을 로 나눈 나머지 ( ≥ )       일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 12 수학 영역(A형) 12 12 29. 함수        ≤      에 대하여 함수  가   에서 연속이 되도록 하는 상수 의 값을 구하시오. [4점] 30.  ≥ 일 때, log의 지표와 가수를 각각 , 라 하자. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 함수   의 그래프와 직선   이 만나는 점의 좌표 중 가장 작은 값을 이라 할 때,    log      의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.  1 12 2015학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 제 2 교시 1 1.    ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →  ln 의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④  ⑤   3. tan    일 때, tan의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤  4. 일차변환 를 나타내는 행렬이     일 때, 두 행렬      ,     에 대하여 는? [3점] ①     ②     ③    ④     ⑤     2 수학 영역[B형] 2 12 5. 방정식 log   log  의 모든 실근의 곱은? [3점] ①   ②   ③    ④   ⑤  6. 등차수열 에 대하여   ,        일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 에 대한 두 부등식   ≤ ,   ≤ 을 동시에 만족시키는 정수 의 개수가 가 되도록 하는 모든 자연수 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 수열 에 대하여   ∞       이 수렴할 때, lim →∞    의 값은? [3점] ①   ②   ③  수학 영역[B형] 3 3 12 ④   ⑤   9.  ≤   일 때, 방정식 coscos    의 서로 다른 모든 실근의 합은? [3점] ①  ②    ③  ④    ⑤  10. 좌표평면에서 두 일차변환 와 를 나타내는 행렬을 각각        ,       이라 하자. 일차변환 의 역변환  에 의하여 점  가 점  로 옮겨질 때, 합성변환 ∘에 의하여 점  가 옮겨지는 점은? (단, 는 이 아닌 상수이다.) [3점]  ①   ②   ③   ④   ⑤   11. 어떤 앰프에 스피커를 접속 케이블로 연결하여 작동시키면 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스(스피커에 교류전류가 흐를 때 생기는 저항)에 따라 전송 손실이 생긴다. 접속 케이블의 저항을 , 스피커의 임피던스를 , 전송 손실을 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.     log    (단, 전송 손실의 단위는 dB, 접속 케이블의 저항과 스피커의 임피던스의 단위는 Ω이다.) 이 앰프에 임피던스가 인 스피커를 저항이 인 접속 케이블로 연결하여 작동시켰을 때의 전송 손실은 저항이 인 접속 케이블로 4 수학 영역[B형] 4 12 교체하여 작동시켰을 때의 전송 손실의 배이다. 양수 의 값은?  [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   12. 함수   의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]      O         보 기 ㄱ. lim →    ㄴ. lim→   ㄷ. 함수  은   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ [13 ~ 14] 보다 큰 실수 에 대하여 그림과 같이 점 P     에서 원          에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제사분면에서 만나는 점을 Q, 원 위의 점       을 R라 하자.  수학 영역[B형] 5 5 12 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. O P   Q R 13. OP× OQ를 라 할 때,  ′ 의 값은? [3점] ①  ②    ③    ④    ⑤    14. 삼각형 ORQ의 넓이를 라 할 때, lim →∞   × 의 값은? [4점] ①   ②   ③    ④   ⑤  15. 두 이차정사각행렬 , 가      ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] 6 수학 영역[B형] 6 12 보 기 ㄱ. 의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.     ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 수열 에 대하여       라 할 때,       ( ≥ ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다.      ⋯⋯ ㉠ 에서   일 때,     이므로   이다.      ⋯⋯ ㉡ ㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터     가 이다. 수열  가 등비수열이므로 일반항 을 구하면   나 ( ≥ ) 이다.  위의 (가)에 알맞은 수를 , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  17. 자연수 에 대하여 함수      라 할 때,   의 값은? [4점] 수학 영역[B형] 7 7 12 ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 그림과 같이 중심각의 크기가   이고 반지름의 길이가 인 부채꼴 OAB가 있다. 부채꼴 OAB에 내접하는 원 이 두 선분 OA, OB, 호 AB와 만나는 점을 각각 A , B , C이라 하고, 부채꼴 OAB의 외부와 삼각형 ACB의 내부의 공통부분의 넓이를 이라 하자. 부채꼴 OAB에 내접하는 원 가 두 선분 OA , OB , 호 AB과 만나는 점을 각각 A , B , C라 하고, 부채꼴 OAB의 외부와 삼각형 ACB의 내부의 공통부분의 넓이를 라 하자. 위와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 부채꼴 OAB의 외부와  삼각형 ACB의 내부의 공통부분의 넓이를 이라 할 때,    ∞ 의 값은? [4점] B A C B A C O A B      ①   ②   ③   ④   ⑤   19. 그림과 같이 원점에 대하여 대칭인 삼차함수   의 그래프와 일차함수   의 그래프가  에서 접하고   에서 만난다.  이고  일 때,  8 수학 영역[B형] 8 12 방정식       의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]      O      ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 원점 O로부터의 거리가 인 점 P에 대하여 선분 OP가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를         라 하자.  점 P에서 직선   에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 선분 PQ의 중점을 M이라 하자. 점 M의 좌표가 최대일 때, tan 의 값은? [4점]   P Q    O M  ①  ②   ③   ④  ⑤   21. 함수             ≥       에 대하여 함수  가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 의 개수는? [4점] 수학 영역[B형] 9 9 12 (가) 함수 는 모든 실수에서 연속이다. (나) 함수 는 미분가능하지 않은 점이 개다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. , 에 대한 연립일차방정식                이   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오. [3점] 23. 함수    ln에 대하여  ′의 값을 구하시오. [3점] 24. 함수 에 대하여 lim → cos   일 때, lim →  의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역[B형] 10 12 25. 모든 실수 에서 연속인 함수 에 대하여  ′           이다.  일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 수열 이   이고,(은 짝수) (은 홀수)             가 성립한다.   을 만족시키는  이하의 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점] 27. 양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 하자.    의 값이 이 되도록 하는 모든 의 값의  곱은    이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인  자연수이다.) [4점] 수학 영역[B형] 11 11 12 28. 그림과 같이 중심각의 크기가   이고, 반지름의 길이가 인  부채꼴 OAB가 있다.  이상의 자연수 에 대하여 호 AB를 등분한 각 분점을 점 A에서 가까운 것부터 차례로 P , P , P , ⋯, P이라 하자.  ≤  ≤  인  자연수 에 대하여 점 B에서 선분 OP에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 삼각형 OQB의 넓이를 라 하자. lim →∞           일 때, 의 값을 구하시오. [4점] P Q O P A B P P P  29. 그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 A , B  , C  를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다. 행렬 cos  sin   sin   cos  (    )로 나타내어지는 일차변환에 의하여 세 점 A, B, C가 옮겨지는 점을 각각 A′, B′, C′이라 하자. 삼각형 A′B′C′과 직선   가 만나도록 하는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점]  12 수학 영역[B형] 12 12 O   A B C    30. 그림과 같이 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 직선    와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A라 하자. 점 P는 원점 O를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 점 P가 원점 O를 출발하여 초가 되는 순간, 점 P를 지나고 직선    에 평행한 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점을 Q라 하자. 세 선분 AO, OP, PQ와 호 QA로 둘러싸인 부분의 넓이를  라 할 때, 점 Q의 좌표가 가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율을 구하시오. (단,     ) [4점] O   A Q P     ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.