2015 수능 수학 문제 해설 - 2015.11.12.

 

수학A형문제(2017-10-04 / 444.5KB / 197회)

 

수학A형해설(2017-10-04 / 157.2KB / 429회)

 

수학B형문제(2017-10-04 / 670.6KB / 165회)

 

수학B형해설(2017-10-04 / 220.9KB / 374회)

 

 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 2015학년도 대학수학능력시험 문제지 5지선다형 1. ×  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 짝수형 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 짝수형 2 12 5. 공비가 양수인 등비수열 에 대하여    ,   일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6.    일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 다항식  의 전개식에서  의 계수가 일 때, 양수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 3 3 12 8. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →    lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합   이       일 때,  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 디지털 사진을 압축할 때 원본 사진과 압축한 사진의 다른 정도를 나타내는 지표인 최대 신호 대 잡음비를  , 원본 사진과 압축한 사진의 평균제곱오차를  라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.   loglog (  ) 두 원본 사진  ,  를 압축했을 때 최대 신호 대 잡음비를 각각  ,  라 하고, 평균제곱오차를 각각      ,     이라 하자.     일 때,   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 짝수형 4 12  P ≤ ≤          11. 등비수열 에 대하여   ,   일 때,     ∞   의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 어느 연구소에서 토마토 모종을 심은 지 주가 지났을 때 토마토 줄기의 길이를 조사한 결과 토마토 줄기의 길이는 평균이 cm , 표준편차가 cm인 정규분포를 따른다고 한다. 이 연구소에서 토마토 모종을 심은 지 주가 지났을 때 토마토 줄기 중 임의로 선택한 줄기의 길이가 cm 이상이고 cm 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 5 5 12 [13~14] 함수   에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 행렬         에 대하여           을 만족시키는 모든 상수 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 직선   와 함수   의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 짝수형 6 12 15. 지수부등식      ≤    을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 두 사건 ,  에 대하여 P    , P∩    일 때, P 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 7 7 12 17. 등차수열 이          을 만족시킬 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 연립방정식       을 만족시키는 음이 아닌 정수    의 모든 순서쌍    의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 짝수형 8 12 19. 두 이차정사각행렬  ,  가     ,       를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.    ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 함수 는 모든 실수 에 대하여   를 만족시키고,         ≤    ≤    ≤   이다.     일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 9 9 12 21. 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 에 대하여 의 최솟값은? [4점] (가) 의 최고차항의 계수는 이다. (나)   ′ (다)  ≥ 인 모든 실수  에 대하여  ≥ ′ 이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim →     의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수        ≥ 이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 짝수형 10 12 24. 두 수열 , 에 대하여     ∞   ,     ∞   일 때,     ∞  의 값을 구하시오. [3점] 25. 확률변수  가 이항분포 B    을 따르고 V 일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 다항함수 의 도함수 ′가 ′   이다. 함수   의 그래프가 점  을 지날 때, 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 11 11 12 27. 구간   의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수  에 대하여  의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. P ≤ ≤      라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 자연수 에 대하여   lim →∞             이라 할 때,      의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 짝수형 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 두 다항함수 와 가 모든 실수 에 대하여   를 만족시킨다. 가   에서 극솟값 를 가질 때, ′의 값을 구하시오. [4점] 30. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 삼각형 OAB 의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [4점] (가) 점 A의 좌표는   이다. (나) 점 B 의 좌표를  라 할 때, 와 는 자연수이고  ≤log를 만족시킨다. (다) 삼각형 OAB 의 넓이는  이하이다. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 2015학년도 대학수학능력시험 문제지 5지선다형 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →  ln 의 값은? [2점] ①  ②   ③   ④   ⑤   3. 함수   sin cos 의 최댓값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 짝수형 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 짝수형 2 12 5. 좌표공간에서 두 점 A  , B  에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 두 일차변환  ,  를 나타내는 행렬을 각각     ,      이라 하자. 합성변환 ∘ 에 의하여 점  가 점  으로 옮겨질 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 등비수열 에 대하여    ,   일 때,     ∞   의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 3 3 12 8. 두 사건  ,  에 대하여  과  는 서로 배반사건이고 P  P    일 때, P∩ 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 함수      에 대하여 lim →∞             의 값은? [3점] ① ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln 10. 그림과 같이 포물선   의 초점 F를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 A , B 에서 준선 에 내린 수선의 발을 각각 C , D 라 하자.  AC  일 때, 선분 BD 의 길이는? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 짝수형 4 12  P ≤ ≤          11. 어느 공장에서 생산되는 과자 봉지의 무게는 평균이  g, 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 과자 중 임의로 선택한 과자 봉지의 무게가  g 이상이고  g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 평면  위에 있는 서로 다른 두 점 A , B 를 지나는 직선을  이라 하고, 평면  위에 있지 않은 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하자.  AB  PA  PB   ,  PH  일 때, 점 H 와 직선  사이의 거리는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 5 5 12 [13~14]   인 상수 에 대하여 두 곡선       과     이 점 P 에서 만난다. 점 P 의 좌표를 라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. lim →∞            의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 점 P 에서 곡선    에 접하는 직선이 축과 만나는 점을 A , 점 P 에서 곡선      에 접하는 직선이 축과 만나는 점을 B 라 하자. 점 H 에 대하여  AH    BH 일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 짝수형 6 12 15. 어느 학교의 전체 학생 명을 대상으로 수학동아리 가입 여부를 조사한 결과 남학생의 % 와 여학생의 % 가 수학동아리에 가입하였다고 한다. 이 학교의 수학동아리에 가입한 학생 중 임의로 명을 선택할 때 이 학생이 남학생일 확률을  , 이 학교의 수학동아리에 가입한 학생 중 임의로 명을 선택할 때 이 학생이 여학생일 확률을  라 하자.   일 때, 이 학교의 남학생의 수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 두 이차정사각행렬  ,  가     ,       를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.    ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 7 7 12 17. 수열 은   이고,         라 할 때,       ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 자연수 에 대하여         이므로 주어진 식에 의하여        ≥ 이다. 양변을 로 나누면            이다.      이라 하면     이고        이다. 수열 의 일반항을 구하면     가 이므로    가 ×  이다. 그러므로   나 ×  ≥ 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 주머니 속에 의 숫자가 적혀 있는 공 개, 의 숫자가 적혀 있는 공 개, 의 숫자가 적혀 있는 공 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수의 평균을   라 하자. P   의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 짝수형 8 12 19. 좌표공간에서 직선         과 평면 가 점 P   에서 수직으로 만난다. 직선  위의 점 A  와 평면  위의 점 Q 에 대하여  AP ⋅ AQ  일 때, 의 값은? (단,    ) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 외접하고 ∠CAB  ∠BCA   인 이등변삼각형 ABC 가 있다. 선분 AB 의 연장선 위에 점 A 가 아닌 점 D 를 ∠DCB  가 되도록 잡는다. 삼각형 BDC 의 넓이를 라 할 때, lim →   ×의 값은? (단,       ) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 9 9 12 21. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 을  이라 할 때,       의 값은? [4점] (가) 점 A의 좌표는   이다. (나) 두 점 B 과 C 을 지나는 직선 위의 점 중 좌표가  인 점을 D 라 할 때, 삼각형 ABD 의 넓이는   보다 작거나 같다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 로그방정식 log   의 해를 구하시오. [3점] 23. 함수   cos  에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 짝수형 10 12 24. 무리방정식      의 모든 실근의 곱을 라 할 때,  의 값을 구하시오. [3점] 25. 디지털 사진을 압축할 때 원본 사진과 압축한 사진의 다른 정도를 나타내는 지표인 최대 신호 대 잡음비를  , 원본 사진과 압축한 사진의 평균제곱오차를  라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.   loglog (  ) 두 원본 사진  ,  를 압축했을 때 최대 신호 대 잡음비를 각각  ,  라 하고, 평균제곱오차를 각각      ,     이라 하자.     일 때,   의 값을 구하시오. [3점] 26. 다음 조건을 만족시키는 자연수 ,  ,  의 모든 순서쌍   의 개수를 구하시오. [4점] (가) × × 는 홀수이다. (나) ≤  ≤  ≤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 짝수형 11 11 12 27. 타원       의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F , 음수인 점을 F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 를 ∠FPF′    가 되도록 제사분면에서 잡고, 선분 FP의 연장선 위에 좌표가 양수인 점 Q 를 FQ  이 되도록 잡는다. 삼각형 QF′F의 넓이를 구하시오. [4점] 28. 양수 에 대하여 함수      의 최댓값이 이다. 곡선    과 두 직선   ,   으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 짝수형 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 좌표공간에 구       과 점 P  가 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 원  에 대하여  의 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을    라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] (가) 원  는 점 P 를 지나는 평면과 구  가 만나서 생긴다. (나) 원  의 반지름의 길이는 이다. 30. 함수       과 자연수 에 대하여 함수 를               이라 하자. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점]