2015 10월 학력평가 수학 문제 해설

수학A형문제(2017-10-05 / 361.6KB / 108회)

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12/12페이지   1/12페이지1 12 2015학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.  ×  의 값은? [2점] 1  2  3  4  5  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] 1  2  3  4  5  3. lim →∞      의 값은? [2점] 1  2  3  4  5  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬에서 행의 모든 성분의 합이 인 행의 개수는? [3점] 1  2  3  4  5   1/12페이지  2/12페이지수학 영역(A형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 모든 항이 실수인 등비수열 에 대하여     ,   일 때,  의 값은? [3점] 1  2  3  4  5  6. 공사건이 아닌 두 사건   가 서로 독립이고 P      일 때, P 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] 1   2   3   4   5   7. 함수    에 대하여 lim →    일 때, 상수 의 값은? [3점] 1  2  3  4  5   2/12페이지  3/12페이지수학 영역(A형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 확률변수 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.   계 P       E의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] 1  2  3  4  5  9. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →     lim →   의 값은? [3점] 1  2  3  4  5  10. 곡선     와 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, 는 상수이다.) [3점] 1   2   3  4   5    3/12페이지  4/12페이지수학 영역(A형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12  P ≤ ≤            11. 어느 회사에서 생산된 야구공의 무게는 평균이 g, 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 야구공 중 임의로 선택한 야구공 개 무게의 표본평균 이 g 이상 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] 1  2  3  4  5  12. 원      과 직선   이 만나는 점의 개수를 라 하자. 함수 가 구간  ∞에서 연속일 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] 1  2  3  4  5   4/12페이지  5/12페이지수학 영역(A형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 함수   에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13.  에 대한 연립일차방정식                이       이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합은? [3점] 1    2  3    4    5  14. 함수      는   에서 극댓값을 갖는다. 의 값은? [4점] 1  2  3  4  5   5/12페이지  6/12페이지수학 영역(A형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 어떤 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 분 후 정맥에서의 약물 농도가  (ngmL)일 때, 다음 식이 성립한다고 한다. log   (단,   이고, 는 양의 상수이다.) 이 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 분 후 정맥에서의 약물 농도는  ngmL이고, 주입하기 시작한 지 분 후 정맥에서의 약물 농도가 (ngmL)일 때, 의 값은? [4점] 1  2  3  4  5  16. 수열 은    ,   이고,       (≥ ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정의 일부이다.   (은 자연수)일 때, 주어진 식을 정리하면        이므로     ×      ×  ⋮         가 이다. 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면     ××× ⋯ × ××× ⋯ × × 나     C × 나 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×의 값은? [4점] 1   2   3   4   5    6/12페이지  7/12페이지수학 영역(A형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 그림과 같이 기울기가 인 직선이 두 곡선   ,   log와 만나는 두 점을 각각 A, B 라 하고, 점 B 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선    과 만나는 점을 C 라 하자. 선분 AB 의 길이가  , 삼각형 ABC 의 넓이가 이다. 점 A 의 좌표를 라 할 때, log의 값은? [4점] 1  2  3  4  5  18. 수열 에 대하여   × (는 음이 아닌 정수, 는 홀수) 일 때,   이다. 예를 들어,    ×이므로   이다.   일 때,           의 값은? [4점] 1  2  3  4  5   7/12페이지  8/12페이지수학 영역(A형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬  , 가    ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ᄀ.    ᄂ. 의 역행렬이 존재한다. ᄃ.   1 ᄀ 2 ᄃ 3 ᄀ, ᄂ 4 ᄂ, ᄃ 5 ᄀ, ᄂ, ᄃ 20. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 의 무게중심을 A , 점 A 를 지나는 원과 두 변 AB , AC 의 접점을 각각 B , C 라 하자. 호 AB, 선분 BB , 선분 BA 와 호 AC , 선분 CC , 선분 CA 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 삼각형 ABC 의 무게중심을 A , 점 A 을 지나는 원과 두 변 AB , AC 의 접점을 각각 B , C 이라 하자. 그림  에 호 AB , 선분 BB , 선분 BA 과 호 AC , 선분 CC , 선분 CA 으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에서 삼각형 ABC 의 무게중심을 A , 점 A 를 지나는 원과 두 변 AB , AC 의 접점을 각각 B , C 라 하자. 그림  에 호 AB , 선분 BB , 선분 BA 와 호 AC , 선분 CC , 선분 CA 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림을  , 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점]    ⋯ 1     2     3     4     5      8/12페이지  9/12페이지수학 영역(A형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 좌표평면 위의 점 P (    ⋯ )은 다음 규칙을 만족시킨다. (가) 점 P 의 좌표는  이다. (나) P  P    (다) 점 P  는 점 P  을 지나고 직선 PP  에 수직인 직선 위의 점 중 P  P  가 최대인 점이다. 수열 은    ,   이고,   P   P (    ⋯ ) 일 때, lim →∞   의 값은? [4점] 1   2   3   4  5  단답형 22. lim →     의 값을 구하시오. [3점] 23.       의 값을 구하시오. [3점]  9/12페이지  10/12페이지수학 영역(A형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 서로 구별되지 않는 공 개를 A B C 명에게 남김없이 나누어 주려고 한다. A 가 공을 개만 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 개의 공도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.) [3점] 25. 등차수열 에 대하여    ,   일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 26. 확률변수  가 이항분포 B 를 따르고 E    , E   일 때, 의 값을 구하시오. [4점]  10/12페이지  11/12페이지수학 영역(A형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 함수     에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 값의 제곱의 합을 구하시오. [4점] (가) 구간  에서 ′  이다. (나) ′′   28. 좌표평면 위의 점 P 가 다음 규칙에 따라 이동한다. (가) 원점에서 출발한다. (나) 동전을 개 던져서 앞면이 나오면 축의 방향으로 만큼 평행이동한다. (다) 동전을 개 던져서 뒷면이 나오면 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한다. 개의 동전을 번 던져서 점 P 가  로 이동하였다. 가 의 배수가 될 확률이    일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점]  11/12페이지  12/12페이지수학 영역(A형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 함수     에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 의 최댓값을  이라 할 때,  의 값을 구하시오. [4점] (가) 점  를 지나고 곡선   에 접하는 직선이 세 개 있다. (나) 세 접선의 기울기의 곱은 음수이다. 30. 양의 실수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 와 에 대하여 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점] (가)    (나) log     ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.  12/12페이지 12/12페이지   1/12페이지1 12 2015학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] 1  2  3  4  5  2. lim →    의 값은? [2점] 1   2   3   4   5  3. sin    일 때, cos 의 값은? [2점] 1   2   3   4   5   4.    cos의 값은? [3점] 1  2   3  4   5   1/12페이지  2/12페이지수학 영역(B형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 두 벡터     과     에 대하여        의 값은? [3점] 1  2  3  4  5  6. 무리방정식      의 모든 실근의 곱은? [3점] 1  2  3  4  5  7. 두 사건  , 에 대하여 P∩    , P∩    일 때, P의 값은? (단,  은 의 여사건이다.) [3점] 1   2   3   4   5    2/12페이지  3/12페이지수학 영역(B형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 일차변환 에 의하여 두 점 A , B 이 각각 두 점 A′ , B′ 으로 옮겨진다. 일차변환 에 의하여 점 C 가 점 C′ 로 옮겨질 때, 의 값은? [3점] 1  2  3  4  5  9. 수열 이     ∞         를 만족시킬 때, lim →∞     의 값은? [3점] 1  2  3  4  5  10. 어떤 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 분 후 정맥에서의 약물 농도가  (ngmL)일 때, 다음 식이 성립한다고 한다. log   (단,   이고, 는 양의 상수이다.) 이 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 분 후 정맥에서의 약물 농도는  ngmL이고, 주입하기 시작한 지 분 후 정맥에서의 약물 농도가 (ngmL)일 때, 의 값은? [3점] 1  2  3  4  5   3/12페이지  4/12페이지수학 영역(B형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 어느 지역의 전체 고등학생 중 수학 영역에서 B 형을 선택하는 학생의 비율을 알아보기 위해 이 지역의 고등학생 명을 임의추출하여 조사한 결과 %가 수학 영역에서 B 형을 선택한다고 답하였다. 이 결과를 이용하여 구한 이 지역의 전체 고등학생 중 수학 영역에서 B 형을 선택하는 학생의 비율에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이   이다. 의 값은? (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P≤   로 계산한다.) [3점] 1  2  3  4  5  12. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원 위의 점 P 에 대하여 ∠PAB   라 하자. 선분 OB 위의 점 C 가 ∠APO  ∠OPC 를 만족시킬 때, lim →  OC의 값은? (단,       이고, 점 O 는 선분 AB 의 중점이다.) [3점] 1   2   3   4   5    4/12페이지  5/12페이지수학 영역(B형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 그림과 같이 좌표평면에 축 위의 두 점 F, F′ 과 점 P    이 있다. 삼각형 PF′F가 ∠FPF′    인 직각이등변삼각형일 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 이 자연수일 때 삼각형 PF′F의 세 변 위에 있는 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를  이라 하자.       의 값은? [3점] 1  2  3  4  5  14. 두 점 F , F′ 을 초점으로 하고 점 P 를 지나는 타원과 직선 PF′ 이 만나는 점 중 점 P 가 아닌 점을 Q 라 하자. 삼각형 FPQ 의 둘레의 길이가  일 때, 삼각형 FPQ 의 넓이는? [4점] 1  2  3  4  5   5/12페이지  6/12페이지수학 영역(B형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 수열 은    ,   이고,       (≥ ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정의 일부이다.    (은 자연수)일 때, 주어진 식을 정리하면        이므로     ×      ×  ⋮         가 이다. 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면     ××× ⋯ × ××× ⋯ × × 나     C × 나 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×의 값은? [4점] 1   2   3   4   5   16. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬  , 가    ,    를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ᄀ.    ᄂ. 의 역행렬이 존재한다. ᄃ.   1 ᄀ 2 ᄃ 3 ᄀ, ᄂ 4 ᄂ, ᄃ 5 ᄀ, ᄂ, ᄃ  6/12페이지  7/12페이지수학 영역(B형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 의 무게중심을 A , 점 A 를 지나는 원과 두 변 AB , AC 의 접점을 각각 B , C 라 하자. 호 AB, 선분 BB , 선분 BA 와 호 AC , 선분 CC , 선분 CA 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 삼각형 ABC 의 무게중심을 A , 점 A 을 지나는 원과 두 변 AB , AC 의 접점을 각각 B , C 이라 하자. 그림  에 호 AB , 선분 BB , 선분 BA 과 호 AC , 선분 CC , 선분 CA 으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에서 삼각형 ABC 의 무게중심을 A , 점 A 를 지나는 원과 두 변 AB , AC 의 접점을 각각 B , C 라 하자. 그림  에 호 AB , 선분 BB , 선분 BA 와 호 AC , 선분 CC , 선분 CA 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림을  , 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점]    ⋯ 1     2     3     4     5     18. 다음 조건을 만족시키는 네 자리 자연수의 개수는? [4점] (가) 각 자리의 수의 합은 이다. (나) 각 자리의 수는 모두 홀수이다. 1  2  3  4  5   7/12페이지  8/12페이지수학 영역(B형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정팔면체 ABCDEF가 있다. 두 삼각형 ABC , CBF의 평면 BEF 위로의 정사영의 넓이를 각각  ,  라 할 때,     의 값은? [4점] 1   2  3   4   5  20. 명의 학생 A, B, C, D, E 가 같은 영화를 보기 위해 함께 상영관에 갔다. 상영관에는 그림과 같이 총 개의 좌석만 남아 있었다. (가) 구역에는 열에 개의 좌석이 남아 있었고, (나) 구역에는 열에 개와 열에 개의 좌석이 남아 있었다. 명의 학생 모두가 남아 있는 개의 좌석을 임의로 배정받기로 하였다. 학생 A 와 B 가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았을 때, 학생 C 와 D 가 같은 구역에 있는 같은 열의 좌석을 배정받을 확률은? [4점] 1   2   3   4   5    8/12페이지  9/12페이지수학 영역(B형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 함수   sin와 이차함수   에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 를        라 할 때, 닫힌 구간   에서 방정식   의 서로 다른 실근의 개수는? [4점] 1  2  3  4  5  단답형 22.    × log 의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수       에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점]  9/12페이지  10/12페이지수학 영역(B형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 분수부등식    ≤    을 만족시키는 정수 의 개수를 구하시오. [3점] 25. 좌표평면에서 포물선   에 접하는 기울기가   인 직선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. [3점] 26. 한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 선분 AD 를   으로 내분하는 점을 P,   로 내분하는 점을 Q 라 하자. 두 평면 PBC 와 QBC 가 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos     이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점]  10/12페이지  11/12페이지수학 영역(B형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)     (나)   ′     의 값을 구하시오. (단, ′는 연속함수이다.) [4점] 28. 주머니 속에 의 숫자가 적혀 있는 공 개, 의 숫자가 적혀 있는 공 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 번 반복하여 얻은 두 수의 평균을   라 하자. P       일 때, E     이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점]  11/12페이지  12/12페이지수학 영역(B형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 좌표평면에 함수    ln의 그래프와 직선           이 있다. 곡선    위의 서로 다른 두 점 A  , B  에서의 접선을 각각 , 이라 하자. 세 직선 , , 으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 30. 좌표공간에서 구         와 평면   이 만나서 생기는 원을  라 하자. 구  위의 점 A    과 원  위를 움직이는 점 B 에 대하여 두 벡터  OA,  OB 의 내적  OA∙ OB 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.  12/12페이지