2015 3월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2015학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. ×     의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 두 양의 실수 ,  (   )에 대하여 lim →∞    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 등차수열 에 대하여    ,   일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 실수 , 에 대하여    ,    가 성립할 때, 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 수열  에 대하여 무한급수     ∞      이 수렴할 때, lim →∞     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 행렬         에 대하여     가 성립할 때,  의 역행렬의 모든 성분의 합은?  (단, 는 실수이고,  는 단위행렬이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 지수함수    의 그래프 위의 한 점 A 의  좌표가   이다. 이 그래프 위의 한 점 B 에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점 C 가 축 위에 있을 때, 점 B의  좌표는? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(A형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 그림과 같이 함수   log의 그래프 위의 두 점 A , B 에서 축에 내린 수선의 발을 각각 C , D 이라 하자. 삼각형 BCD 와 삼각형 ACB 의 넓이의 차가 일 때, 실수 의 값은? (단,    ) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 모든 항이 양의 실수인 수열 이   ,         (≥) 을 만족시키고     ∞   일 때, 실수  의 값은?  (단,      ) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 양의 실수 에 대하여 가 다음과 같다.   log   13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 세 실수 ,  , 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 실수 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④  ⑤   14. 의 지표가  , 가수가 일 때, 의 정수 부분이 인 모든 자연수 의 개수는? (단,      ) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 컴퓨터 화면에서 마우스 커서( )가 아이콘까지 이동하는 시간을 (초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의 거리를  (cm), 마우스 커서가 움직이는 방향으로 측정한 아이콘의 폭을 (cm)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. (단,   )      log     (단, 는 상수)  그림과 같이 컴퓨터 화면에 두 개의 아이콘 A , B 가 있다.  현재 마우스 커서의 위치에서 아이콘 A 의 방향으로 측정한 아이콘 A 의 폭 A 와 아이콘 B 의 방향으로 측정한 아이콘 B 의 폭 B 는 모두 cm 로 같다. 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘 A 의 중심까지의 거리와 아이콘 B 의 중심까지의 거리를 각각 A (cm),  B (cm)라 할 때, 마우스 커서가 아이콘 A 까지 이동하는 시간 A , 아이콘 B 까지 이동하는 시간 B 는 각각 초, 초이다.   B  A  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 두 직선 , 이 제사분면의 점 A 에서 만난다.   ,   가 연립방정식                의 해일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)             (≥) (나) lim →∞      lim →∞   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 직선   가 두 곡선   ,   log와 만나는 점을 각각 A , B 라 하고, 축과 만나는 점을 C 라 할 때, 점 A , B , C 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) AB  BC    (나) 삼각형 OBC 의 넓이는 이다.  점 A 의 좌표를 A 라 할 때, 의 값은?  (단, O 는 원점이고, 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 두 곡선    ,    (     )가 직선     과 만나는 점의 좌표를 각각 , 라 할 때,   가 성립한다.   을 만족시키는 실수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 두 이차정사각행렬  , 가     ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.   ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(A형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 수열 은 와 서로소인 자연수를 작은 수부터 차례대로 모두 나열하여 만든 것이다. 예를 들면    ,   이다.       의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22.  , 에 대한 연립방정식                의 해가   ,   일 때, 의 값을 구하시오.  (단, , 는 실수이다.) [3점] 23. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합  이    일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(A형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24.  ≤ ≤ ,  ≤  ≤ 일 때,    의 값이 자연수가 되도록 하는 두 자연수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [3점] 25. 자연수 에 대하여   의 모든 양의 약수의 합을  이라 할 때,       의 값을 구하시오. [3점] 26.  이  자리의 정수가 되도록 하는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. (단, log   로 계산한다.) [4점] 수학 영역(A형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 행렬         와 자연수 에 대하여  의  성분과  성분의 곱을  이라 하자. log   ⋯   일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 연립부등식          ≤       ≥    (≥)  의 해  가 나타내는 영역의 넓이를  이라 할 때,         ∞     의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. log  의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 의 개수가 일 때, 모든 자연수 의 값의 곱을 구하시오. [4점] 30. 집합   는  이하의 자연수의 부분집합       ⋯  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합  의 임의의 두 원소 , (≠)에 대하여   ≠ (나)                   의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.  1 12 2015학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.     ×  의 값은? [2점] ①　   ②　 ③　 ④　 ⑤　 2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →     의 값은? [2점] ①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　 4. 무리방정식        의 모든 실근의 곱은? [3점] ①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　 수학 영역(B형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. , 에 대한 연립방정식             가    ,    이외의 해를 가질 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 두 실수 , 가     를 만족시킬 때,  의 값은? [3점] ①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　 7.  ≤  ≤ 일 때, 삼각방정식 sin  cos의 모든 해의 합은? [3점] ①    ②  ③    ④  ⑤    8. 수열  에 대하여     ∞       일 때, lim →∞   의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(B형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 9. 등차수열 에 대하여   ,     일 때, 첫째항부터 제항까지의 합이 최대가 되도록 하는 자연수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 원     과 직선      가 제사분면에서 만나는 점을 중심으로 하고 축에 접하는 원의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [3점] ①   ②   ③    ④  ⑤   수학 영역(B형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 컴퓨터 화면에서 마우스 커서( )가 아이콘까지 이동하는 시간을 (초), 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘의 중심까지의 거리를  (cm), 마우스 커서가 움직이는 방향으로 측정한 아이콘의 폭을 (cm)라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. (단,   )      log     (단, 는 상수)  그림과 같이 컴퓨터 화면에 두 개의 아이콘 A , B 가 있다.  현재 마우스 커서의 위치에서 아이콘 A 의 방향으로 측정한 아이콘 A 의 폭 A 와 아이콘 B 의 방향으로 측정한 아이콘 B 의 폭 B 는 모두 cm 로 같다. 현재 마우스 커서의 위치로부터 아이콘 A 의 중심까지의 거리와 아이콘 B 의 중심까지의 거리를 각각 A (cm),  B (cm)라 할 때, 마우스 커서가 아이콘 A 까지 이동하는 시간 A , 아이콘 B 까지 이동하는 시간 B 는 각각 초, 초이다.   B  A  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 그림과 같이 원점에서 축에 접하는 원  가 있다.  원  와 직선     가 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 P 라 할 때, 원  위의 점 P 에서의 접선의 기울기는? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(B형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 그림과 같이 함수   log     의 그래프와 함수      의 그래프가 있다. 곡선   가 축과 만나는 점을 A , 점 A를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선   와 만나는 점 중 점 A가 아닌 점을 B , 점 B 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선   와 만나는 점을 C 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 삼각형 ABC 의 넓이가   일 때, 의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  14. 곡선    위의 점 C 에서의 접선이 축과 만나는 점을 D 라 하자.  AD BD일 때, 의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(B형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)             (≥) (나) lim →∞      lim →∞   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 두 곡선    ,    (     )가 직선     과 만나는 점의 좌표를 각각 , 라 할 때,   가 성립한다.   을 만족시키는 실수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 두 이차정사각행렬  , 가    ,      를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.   ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 그림과 같이 원점에 대하여 대칭인 삼차함수   의 그래프와 축에 대하여 대칭인 사차함수   의 그래프가 네 점에서 만나고 그 네 점의 좌표는 , , , 이다.  방정식       의 모든 실근의 곱은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 수열 은    ,   이고, 모든 자연수 에 대하여       이 홀수    이 짝수  를 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 주어진 식에서 모든 자연수 에 대하여       … ㉠       … ㉡        … ㉢ 이므로 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 정리하면           이고, ㉠에서   일 때   이므로      가 (≥ ) 이다. 따라서    나 (≥ ) 이고, ㉠으로부터       이므로   다 (≥ ) 이다. 그러므로 모든 자연수 에 대하여    나 ,   다 이다.  위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 식을 , (다)에 알맞은 식을 이라 할 때,    의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이  OP 인 제사분면 위의 점 P 를 중심으로 하고 원점을 지나는 원  이 축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 Q 라 하자.  OR 이고 ∠ROQ    ∠POQ 인 제사분면 위의 점 R 를 중심으로 하고 원점을 지나는 원  가 축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 S라 하자.  ∠POQ  라 할 때, 삼각형 OQP 와 삼각형 ORS의 넓이의 합이 최대가 되도록 하는  에 대하여 cos  의 값은?  (단, O 는 원점이고,       이다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(B형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수   sin  cos ,                   ≤     ≥  에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?  (단, , 는 실수이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ. lim →         ㄴ.   이면 합성함수 ∘는      에서 연속이다. ㄷ. 의 값에 관계없이 합성함수 ∘가   에서 연속이면    (은 정수)이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 함수    ln에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 23. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점] 수학 영역(B형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 함수   sincos은   에서 최댓값을 가질 때, sin의 값을 구하시오. [3점] 25. 연립부등식         ≥     ≤   을 만족시키는 정수 의 개수가 이 되도록 하는 실수 의 최솟값을 구하시오. [3점] 26. 양의 실수 에 대하여 log의 가수를 라 할 때,         log이다. 두 자연수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(B형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 모든 항이 양의 실수인 등비수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을  이라 하자.    일 때,         의 값을 구하시오. [4점] 28. 삼차함수     에 대하여 함수 를    ≥       라 하자. 함수 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 실수 의 값의 합을    라 할 때,   의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 수학 영역(B형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 그림과 같이 중심이 A 이고 점 B 을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 P 를 지나는 두 직선 AP, BP 가 축과 만나는 점을 각각 Q, R 라 하자. ∠PBA   라 하고, 삼각형 PQR의 넓이를 라 할 때, lim  →      의 값을 구하시오. (단,       ) [4점] 30. 함수 가 닫힌 구간  에서  이고, 모든 실수 에 대하여   를 만족시킬 때, 함수 를     라 하자. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수  의 순서쌍  의 개수를 이라 할 때,       의 값을 구하시오. [4점] (가) ≤≤ (나)   ≤ ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.