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고3 모평학평
2020.07.23 23:35

2020년 7월 학력평가 수학 문제 해설

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수학가형 문제(431KB, 29회)

 

수학가형 해설(500KB, 17회)

 

수학나형 문제(985KB, 26회)

 

수학나형 해설(557KB, 23회)

 

 고 3 수학 영역 (가형) 1  1 12 5지선다형 1.  log 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. tan    의 값은? [2점] ①  ②  ③   ④  ⑤  3. 수열 이 모든 자연수  에 대하여                를 만족시킬 때, lim →∞ 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  와 는 서로 독립이고  P   P   일 때, P∪ 의 값은? (단,   은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2020학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (가형) 1 2 수학 영역 (가형) 고 3 2 12 5. 두 양수  ,  에 대하여 함수   cos 이 있다. 함수  는 주기가  이고 최솟값이  일 때,  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. lim→   ln       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. AB  , AC  인 예각삼각형 ABC 의 넓이가  이다. ∠A   일 때, sin    의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역 (가형) 3  3 12 8. 수열 의 일반항이     일 때,      의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던져서 나온 두 눈의 수의 곱이 짝수일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 짝수일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 함수   tan    의 그래프 위의 점 P        에서의 접선의  절편은? [3점] ①   ②   ③  ④   ⑤   4 수학 영역 (가형) 고 3 4 12 11. 수열 이    이고 모든 자연수  에 대하여        ≤  log     을 만족시킬 때,  × 의 값은? [3점] ①   ②  ③  ④  ⑤  12.    인 모든 실수  의 집합에서 정의되고 미분가능한 함수   가    ′  를 만족시킬 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 5  5 12 13. 두 함수      ,    의 그래프가 점 P 에서 만난다. 서로 다른 두 실수  ,  에 대하여 두 점 A  , B    의 중점이 P 일 때, 선분 AB 의 길이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 확률변수  는 정규분포 N   , 확률변수  는 정규분포 N     을 따른다.  P ≤ P ≤   을 만족시키는  과  에 대하여 P ≤   일 때, P ≤  의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤  ≤          6 수학 영역 (가형) 고 3 6 12 15. 두 함수  ,   가 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고  가 증가함수일 때, 함수 를    ∘  라 하자. 점    가 곡선    의 변곡점이고  ″  ″    이다.  ′  일 때, ′ 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로  ,  ,  라 하자.  의 값을 확률변수  라 할 때, 다음은 확률변수  의 평균 E  를 구하는 과정이다.  ≤  ≤  이므로 확률변수  가 가질 수 있는 값은  ,  ,  , ⋯ ,  이다.  ,  ,  가 각각  이하의 자연수이므로  ,  ,  는 각각  이하의 자연수이다.  ≤  ≤  인 자연수 에 대하여   일 확률 P   와  일 확률 P   × 가  는 서로 같다. 그러므로 확률변수  의 평균 E  는 E       × P     × P      × P      × P      ⋯   × P    × P    나 ×     P   이때, 확률질량함수의 성질에 의하여     P   이므로     P    다 이다. 따라서 E   나 × 다 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각  ,  ,  라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 7  7 12 17. 등차수열 에 대하여         ,         라 할 때,  , 은 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)  이상의 모든 자연수  에 대하여     이다.  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC의 세 선분 AB , BC , CA의 중점을 각각 D , E , F이라 하고, 세 선분 AD , BE , CF의 중점을 각각 G , H , I이라 하고, 세 선분 GD , HE , IF의 중점을 각각 A , B , C라 하자. 세 사각형 ACFG , BADH , CBEI에 모두 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 삼각형 ABC에 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 세 사각형 ACFG , BADH , CBEI에 모두 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim→∞ 의 값은? [4점]  A B C G A D F I C H B E  F A D G C I H B E A B C G A D F I C H B E ⋮ ⋮ ①   ②   ③   ④   ⑤   8 수학 영역 (가형) 고 3 8 12 19. 실수 전체의 집합에서    이고 도함수가 연속인 함수   가 있다. 실수 전체의 집합에서 함수   가      ln   일 때, 함수   와   의 도함수  ′는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수   는    에서 극값  를 갖는다. (나) 모든 실수  에 대하여  ′  ′ 이다.      ′  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 원탁 위에  부터  까지 자연수가 하나씩 적혀 있는  개의 접시가 놓여 있고 같은 종류의 쿠키  개를 접시 위에 담으려고 한다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 적혀 있는 접시와 그 접시에 이웃하는 양 옆의 접시 위에  개의 쿠키를 각각  개씩 담는 시행을 한다. 예를 들어, 주사위를 던져 나온 눈의 수가  인 경우  ,  ,  가 적혀 있는 접시 위에 쿠키를 각각  개씩 담는다. 이 시행을  번 반복하여  개의 쿠키를 모두 접시 위에 담을 때,  개의 접시 위에 각각 한 개 이상의 쿠키가 담겨 있을 확률은? [4점]       ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역 (가형) 9  9 12 21. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수        에 대하여   의 역함수를   라 할 때, 함수   를          라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.   ㄴ. 두 양수  ,       에 대하여    의 값이 최대일 때,     이다. ㄷ.  의 도함수 ′ 의 최댓값은   이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 등비수열 에서    ,    이다. 의 값을 구하시오. [3점] 23.        의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (가형) 고 3 10 12 24. 확률변수  가 이항분포 B      를 따른다. E V를 만족시키는 상수 의 값을 구하시오. [3점] 25. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각    에서의 위치   가       cos ,   ln     sin  이다. 시각     에서 점 P 의 속력을 구하시오. [3점] 26. 삼각형 ABC 에 대하여 ∠A   , ∠B   , ∠C  라 할 때,  ,  , 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 cos , cos , cos 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, tan tan 의 값을 구하시오. (단,      ) [4점] 고 3 수학 영역 (가형) 11  11 12 27.    인 실수 에 대하여 두 곡선   log ,   log 가 만나는 점을 A 라 하자. 양수  에 대하여 직선   이 두 곡선   log ,   log 와 제 사분면에서 만나는 점을 각각 B , C 라 하자. 점 C 를 지나고  축에 평행한 직선이 곡선   log ,  축과 만나는 점을 각각 D , E 라 할 때, 세 삼각형 ADB , AED , BDC 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 BDC의 넓이는 삼각형 ADB의 넓이의 배이다. (나) 삼각형 BDC의 넓이는 삼각형 AED의 넓이의   배이다.   의 값을 구하시오. [4점] D C  O  B A E   log   log    28. 집합        에 대하여 함수    →  중에서 다음 조건을 만족시키는 함수  의 개수를 구하시오. [4점] (가)  ×   은  의 배수이다. (나) 집합  의 임의의 두 원소  , 에 대하여   이면  ≤   이다. 12 수학 영역 (가형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 길이가  인 선분 AB 를 지름으로 하고 중심이 O 인 원  가 있다. 원  위를 움직이는 점 P 에 대하여 ∠PAB   라 할 때, 선분 AB 위에 ∠APQ   를 만족시키는 점을 Q 라 하자. 직선 PQ 가 원  와 만나는 점 중 P 가 아닌 점을 R 라 할 때, 중심이 삼각형 AQP의 내부에 있고 두 선분 PA , PR 에 동시에 접하는 원을  ′이라 하자. 원  ′이 점 O 를 지날 때, 원  ′의 반지름의 길이를  , 삼각형 BQR의 넓이를  라 하자. lim →      일 때, 의 값을 구하시오. (단,       ) [4점] R A B O  Q  P   ′ 30. 함수   sin    와  이 아닌 두 실수  ,  에 대하여 함수  를            라 하자. 함수   가    에서 극대 또는 극소인 모든 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을  ,  ,  , ⋯,  ( 은 자연수)라 할 때,  이하의 자연수  에 대하여 은 다음 조건을 만족시킨다. (가)  이 홀수일 때,    이다. (나)  이 짝수일 때,    이다. 함수  가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이   일 때,    cos      이다.  의 값을 구하시오. (단,  와  는 정수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 고 3 수학 영역 (나형) 1  1 12 5지선다형 1.  × 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 등비수열 에 대하여    ,    일 때,   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. sin  cos   의 값은? [3점] ①  ②    ③  ④   ⑤  2020학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (나형) 1 2 수학 영역 (나형) 고 3 2 12 5. 두 사건  ,  에 대하여  P     , P∩      일 때, P∩ 의 값은? (단,   은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 함수                  ≥   이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수  의 그래프가 그림과 같다.     O       lim  →   lim  →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 3  3 12 8. 함수      의 극솟값이  일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9.        의 전개식에서  의 계수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 두 곡선   log ,   log      이  축 위의 점 A 에서 만난다. 직선    가 곡선   log 와 만나는 점을 B , 곡선   log 와 만나는 점을 C 라 하자. 삼각형 ABC 의 넓이가   일 때, 상수 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   A B   O   log    log    C 4 수학 영역 (나형) 고 3 4 12 11. sin cos    일 때, sin tan 의 값은? [3점] ①    ②    ③    ④   ⑤   12. 어느 고등학교 학생  명을 대상으로 휴대폰 요금제에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한  명의 학생은 휴대폰 요금제 A와 B 중 하나를 선택하였고, 각각의 휴대폰 요금제를 선택한 학생의 수는 다음과 같다. 구분 휴대폰 요금제 A 휴대폰 요금제 B 남학생   여학생     단위: 명 이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한  명이 남학생일 때, 이 학생이 휴대폰 요금제 A를 선택한 학생일 확률은   이다.  의 값은? (단,  ,  는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 5  5 12 13. 곡선    위의 점 P      에서 직선      에 내린 수선의 발을 H 라 하자. lim →∞  OP  OH  의 값은? (단, O 는 원점이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤    O  H P         14. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) lim →∞       (나)       의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역 (나형) 고 3 6 12 15. 그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가  인 정사각형 ABCD 와 한 변의 길이가  인 정사각형 CEFG 가 있다. ∠DCG        라 할 때, sin    이다. DG × BE 의 값은? [4점] C D E F G A B  ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로  ,  ,  라 하자.  의 값을 확률변수  라 할 때, 다음은 확률변수  의 평균 E  를 구하는 과정이다.  ≤  ≤  이므로 확률변수  가 가질 수 있는 값은  ,  ,  , ⋯ ,  이다.  ,  ,  가 각각  이하의 자연수이므로  ,  ,  는 각각  이하의 자연수이다.  ≤  ≤  인 자연수 에 대하여   일 확률 P   와  일 확률 P   × 가  는 서로 같다. 그러므로 확률변수  의 평균 E  는 E       × P      × P      × P      × P      ⋯   × P    × P     나 ×     P   이때, 확률질량함수의 성질에 의하여     P   이므로     P    다 이다. 따라서 E   나 × 다 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각  ,  ,  라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 7  7 12 17. 등차수열 에 대하여         ,         라 할 때, 수열 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)     (나)  이상의 모든 자연수  에 대하여     이다.  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 확률변수  는 정규분포 N    , 확률변수  는 정규분포 N     을 따르고, 확률변수  ,  의 확률밀도함수는 각각 , 이다.   이고   일 때, 확률변수  ,  는 다음 조건을 만족시킨다. (가) P ≤  ≤   P ≤  ≤    (나) P ≥   P ≤   P ≤  ≤ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤  ≤          8 수학 영역 (나형) 고 3 8 12 19. 첫째항이  이고 공차가  인 등차수열 이 있다. 자연수  에 대하여 좌표평면 위의 점 P을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 P의 좌표는  이다. (나) 점 P의  좌표는 이다. (다) 직선 PP의 기울기는   이다.  ≥  에서 정의된 함수    의 그래프가 모든 자연수  에 대하여 닫힌구간     에서 선분 PP과 일치할 때,    의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 두 다항함수 ,  가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ′    ,  ′  (나) 함수    의 그래프와 함수   의 그래프는 서로 다른 두 점에서만 만난다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 두 함수 와 는 모두    에서 극대이다. ㄴ.  ×    ㄷ. 모든 실수  에 대하여   ≥ 이면      이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (나형) 9  9 12 21. 첫째항이 양수이고 공차가   보다 작은 등차수열 에 대하여 수열 은 다음과 같다.              ≥          수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 할 때, 수열 은 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)         ≤ 을 만족시키는 자연수  의 최솟값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. H의 값을 구하시오. [3점] 23. 곡선      위의 점   에서의 접선의 기울기를 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (나형) 고 3 10 12 24.  보다 큰 두 실수  ,  에 대하여  log    log  일 때,  log  의 값을 구하시오. [3점] 25. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각   ≥ 에서의 위치  가        ( 는 상수) 이다. 시각    에서 점 P 가 운동 방향을 바꿀 때, 시각   에서의 점 P 의 가속도를 구하시오. [3점] 26. 주머니 속에 숫자  ,  ,  ,  가 각각 하나씩 적혀 있는  개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로  개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이 과정을  번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로  ,  라 하자.  의 값을 확률변수  라 할 때, 확률변수     의 분산 V  의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (나형) 11  11 12 27. 자연수  에 대하여  ≤    일 때, 부등식  cos    ≤    을 만족시키는 서로 다른 모든 자연수  의 개수를 이라 하자.    의 값을 구하시오. [4점] 28. 모든 실수  에 대하여 ≥  ,   이고       의 값이 최소가 되도록 하는 연속함수 에 대하여    의 값을 구하시오. [4점] 12 수학 영역 (나형) 고 3 12 12 29. 흰 공  개, 빨간 공  개, 검은 공  개를  명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 흰 공을 받은 학생은 빨간 공과 검은 공도 반드시 각각  개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않고, 공을 하나도 받지 못하는 학생은 없다.) [4점] 30.  ≥  인 실수  에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가                   ≥   일 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 의 최솟값을 라 하자. (가) 닫힌구간   에서 함수 는   에서 최댓값을 갖는다. (나) 닫힌구간   에서 함수 는    에서 최솟값을 갖는다.     의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.

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