2016 10월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. 두 벡터     ,     에 대하여     는? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2. sin    일 때, cos    의 값은? [2점] ①    ②    ③    ④    ⑤    3. H 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.    tancos의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(가형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 서로 독립인 두 사건 ,  에 대하여 P    , P∩     일 때, P 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 매개변수  로 나타내어진 함수   sin   cos 에 대하여     일 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤    7. 그림과 같이 평면에 정삼각형 ABC 와 CD  이고 ∠ACD    인 점 D 가 있다. 점 D 와 직선 BC 사이의 거리는? (단, 선분 CD 는 삼각형 ABC 의 내부를 지나지 않는다.) [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(가형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12  P ≤ ≤          8. 그림과 같이 어느 카페의 메뉴에는 서로 다른 가지의 주스와 서로 다른 가지의 아이스크림이 있다. 두 학생 A, B 가 이 가지 중 가지씩을 임의로 주문했다고 한다. A, B 가 주문한 것이 서로 다를 때, A, B 가 주문한 것이 모두 아이스크림일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 어느 항공편 탑승객들의 인당 수하물 무게는 평균이 kg, 표준편차가 kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 항공편 탑승객들을 대상으로 명을 임의추출하여 조사한 인당 수하물 무게의 평균이 kg 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. Wi-Fi 네트워크의 신호 전송 범위 와 수신 신호 강도  사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.   log  (단, 두 상수  , 은 환경에 따라 결정된다.)  어떤 환경에서 신호 전송 범위 와 수신 신호 강도  사이의 관계를 나타낸 그래프가 다음과 같다. 이 환경에서 수신 신호 강도가 일 때, 신호 전송 범위는? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(가형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 두 평면    ,   이 이루는 각의 크기를  라 할 때, sin 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 다음은 어느 회사의 직원 중 임의로 선택한 명의 출근 소요 시간을 조사한 표이다. 소요 시간 인원수(명) 분 미만  분 이상 분 미만  분 이상 분 미만  분 이상 분 미만  합계   이 결과를 이용하여 얻은 이 회사의 전체 직원 중 출근 소요 시간이 분 이상 분 미만인 직원의 비율 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이 ≤≤일 때, 의 값은? (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P  ≤   로 계산한다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 함수       이 구간  에서 감소할 때, 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 곡선      위의 점  에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 구 위에 점 C 가 있다. 점 A 를 지나고 직선 AB 에 수직인 직선 이 직선 BC 에 수직이다. 직선  위의 점 D 에 대하여  BD , CD 일 때, 선분 AC 의 길이는? (단, 점 C 는 선분 AB 위에 있지 않다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 함수       에 대하여 점  가 곡선    위의 점이면 실수 의 값에 관계없이 점  도 항상 곡선    위의 점이다. 다음은 상수 의 값을 구하는 과정이다. 점  가 곡선    위의 점이므로          가 ⋯⋯ ㉠ 이다. ㉠은 실수 의 값에 관계없이 항상 성립하므로    일 때,         ⋯⋯ ㉡ 이고,    일 때,    나      ⋯⋯ ㉢ 이다. ㉡, ㉢에서     나   × 이므로      또는   다 이다. 이때, ㉢에서 좌변이 양수이므로     이다. 따라서   다 이다.  위의 (가)에 알맞은 식을 라 하고 (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 , 이라 할 때, ×의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(가형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 밑면이 정오각형인 오각기둥 ABCDE FGHIJ 의 개의 꼭짓점 중 임의로 개를 택하여 삼각형을 만들 때, 이 삼각형의 어떤 변도 오각기둥 ABCDE FGHIJ 의 모서리가 아닐 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18.  AB , BC 인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB, CD, DA, BD 의 중점을 각각 E, F, G, H라 하자. 선분 CF를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여  EG HP  의 최댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 연속함수 가 다음 조건을 만족시킬 때,   의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] (가) 모든 실수 에 대하여   이다. (나)      ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 타원          의 두 초점 F , F′ 에 대하여 선분 F′F를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제사분면에 있는 점을 P 라 하자. 원 위의 점 P 에서의 접선이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가   일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, , 는      인 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여   이다. (나) 모든 양의 실수 에 대하여 ′  이다. (다) lim →   , lim →∞     함수     sin 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. 모든 양의 실수 에 대하여   이다. ㄴ. lim →    ㄷ.        이면 방정식     의 서로 다른 실근의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 확률변수  가 이항분포 B    을 따를 때, V 의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수    에 대하여     ′sincos 의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(가형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 함수      의 역함수 에 대하여 lim →    의 값을 구하시오. [3점] 25. 그림과 같이 AB 인 삼각형 ABC 에 내접하는 원의 중심을 I라 하고, 점 I에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 하자. BD 일 때,  BA∙ BI 의 값을 구하시오. [3점] 26. 장미 송이, 카네이션 송이, 백합 송이가 있다. 이 중 송이를 골라 꽃병 A에 꽂고, 이 꽃과는 다른 종류의 꽃들 중 꽃병 B 에 꽂을 꽃 송이를 고르는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 꽃은 서로 구분하지 않는다.) [4점] 꽃병 A  꽃병 B 수학 영역(가형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 그림과 같이 평면  위에 넓이가 인 삼각형 ABC 가 있고, 평면  위에 넓이가 인 삼각형 ABD 가 있다. 선분 BC 를   로 내분하는 점을 P 라 하고 선분 AP 를   로 내분하는 점을 Q 라 하자. 점 D 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 Q 는 선분 BH 의 중점이다. 두 평면 , 가 이루는 각을  라 할 때, cos     이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 그림과 같이  BC , ∠A    , ∠B          인 삼각형 ABC 가 있다. 선분 AC 위의 점 D 에 대하여 선분 AD 를 지름으로 하는 원이 선분 BC 와 접할 때, lim →     CD   라 하자. 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 좌표공간에서 두 점 A  , B  에 대하여 두 점 P, Q가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  OA∙ OP  ,  OP  (나)  AB∙ BQ  ,  BQ    OP∙ AQ 의 최댓값이  일 때, 두 유리수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점] 30. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 번째 (  , , ⋯,  ) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 라 하자.       인 두 자연수 , 에 대하여 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ≤  이면     이다. (나) ≤  이면     이다. (다) ≤  이면     이다.    ,   인 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 2016학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. log  log  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합     ,      에 대하여 집합   의 모든 원소의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3.    ,     일 때,  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 등식 P C  을 만족시키는 자연수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각  (≥ )에서의 위치 가       이다. 점 P 의 가속도가 일 때, 점 P 의 속도는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 한 개의 동전을 번 던질 때, 앞면이 적어도 한 번 나올 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7. 일차함수 가   을 만족시킬 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 모든 항이 양수인 수열 에 대하여      가 성립할 때, lim →∞    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 서로 독립인 두 사건 ,  에 대하여 P    , P∩     일 때, P 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 유리함수     에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점] <보 기> ㄱ. 함수 의 정의역과 치역이 서로 같다. ㄴ. 함수   의 그래프는       의 그래프를 평행이동한 것이다. ㄷ. 함수   의 그래프는 제사분면을 지나지 않는다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(나형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12  P ≤ ≤          11. 어느 항공편 탑승객들의 인당 수하물 무게는 평균이 kg, 표준편차가 kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 항공편 탑승객들을 대상으로 명을 임의추출하여 조사한 인당 수하물 무게의 평균이 kg 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 그림과 같이 어느 카페의 메뉴에는 서로 다른 가지의 주스와 서로 다른 가지의 아이스크림이 있다. 두 학생 A, B 가 이 가지 중 가지씩을 임의로 주문했다고 한다. A, B 가 주문한 것이 서로 다를 때, A, B 가 주문한 것이 모두 아이스크림일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(나형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 첫째항이   인 수열 이 모든 자연수 에 대하여       ≤       을 만족시킬 때,       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 두 함수        ≤      ,         ≤       에 대하여 함수 가   에서 연속이 되도록 하는 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 A의 좌표는  이다. (나) 점 P은 선분 OA를   로 내분하는 점이다.     OP 이라 할 때,         의 값은? (단, O 는 원점이다.) [4점] ①     ②     ③     ④     ⑤     16. 확률변수  의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.      계 P     C   C   C   C   E의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 다음은 어느 회사의 직원 중 임의로 선택한 명의 출근 소요 시간을 조사한 표이다. 소요 시간 인원수(명) 분 미만  분 이상 분 미만  분 이상 분 미만  분 이상 분 미만  합계   이 결과를 이용하여 얻은 이 회사의 전체 직원 중 출근 소요 시간이 분 이상 분 미만인 직원의 비율 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이 ≤≤일 때, 의 값은? (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P  ≤   로 계산한다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선        ,        의 한 교점을 P 라 하고, 점 P 에서 두 곡선  ,  에 접하는 직선을 각각 , 이라 하자. 두 접선 , 이 서로 수직일 때, 곡선   는 두 실수 , 의 값에 관계없이 일정한 점 Q 를 지난다. 다음은 점 Q 의 좌표를 구하는 과정이다.     ,    라 하고, 두 곡선   ,   의 한 교점 P 의 좌표를 라 하자. 두 접선 , 이 서로 수직이므로 ′  ′  에서    가   ⋯⋯ ㉠   에서      ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서   나 를     에 대입하고 에 관하여 정리하면,   나   ⋯⋯ ㉢ ㉢에서    ,   나  을 만족시키는 와 의 값을 구하면 점 Q 의 좌표는  다 이다.  위의 (가)에 알맞은 식을 라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 , 라 할 때, ×의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 가 있다. 그림과 같이 선분 BC 를   으로 내분하는 점을 E , 선분 DA 를   으로 내분하는 점을 F라 하고 평행사변형 BEDF를 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림  을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에서 새로 그려진 정사각형 안에 있는 각 직각삼각형에 내접하는 가장 큰 정사각형을 각각 그리자. 새로 그려진 각 정사각형에 그림  을 얻은 것과 같은 방법으로 평행사변형을 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 모든 평행사변형의 넓이의 합을   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점]    … … ①   ②   ③   ④   ⑤   20. 두 함수   lim →∞     ,    의 그래프의 교점의 개수를 라 할 때,  lim → 의 값은? (단, 는 실수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 사차함수 의 도함수   ′의 그래프가 그림과 같고, ′   ′  ′   이다.    ,    일 때,   을 만족시키는 모든 정수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim →     의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수    에서 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율이 일 때, ′의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [3점] 수학 영역(나형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 함수     의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를   라 하자.     을 만족시키는 상수 의 값을 구하시오. [3점] 25. 이 아닌 두 양수 , 에 대하여  log    log     이 성립할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 유리함수        의 그래프 위의 점 P 와 직선    사이의 거리가 일 때,    의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(나형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 등차수열 과 공비가 보다 작은 등비수열 이     ,     ,    ,    를 모두 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [4점] 28. 다음 조건을 만족시키도록 서로 다른 개의 바구니에 빨간색 공 개와 파란색 공 개를 모두 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [4점] (가) 각 바구니에 공은 개 이상, 개 이하로 넣는다. (나) 빨간색 공은 한 바구니에 개 이상 넣을 수 없다. 수학 영역(나형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 두 실수  , 에 대하여 조건  , 가   ≤      ≤  일 때, 명제 ‘어떤  ,  에 대하여 이면 이다.’가 참이 되도록 하는 정수 의 최솟값을 구하시오. [4점] 30. 교내 수학경시대회에 A 학급 학생 명, B 학급 학생 명, C 학급 학생 명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌석에 다음 조건을 만족시키도록 이 학생 명을 배정하는 방법의 수를 구하시오. [4점] (가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다. (나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다. (다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정 할 경우 학급 번호 가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배정한다. 교탁 분단 분단 첫째 줄 ➜ 둘째 줄 ➜ 셋째 줄 ➜ 넷째 줄 ➜ ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.