2016 7월 학력평가 수학 문제 해설

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고 3 수학 영역 (가형) 1  1 12 5지선다형 1. P C의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim→     ln 의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤  3. 두 벡터      ,      에 대하여     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.   cos     의 값은? [3점] ①    ②    ③  ④   ⑤   2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (가형) 12 수학 영역 (가형) 고 3 2 12 5. 두 사건  , 가 서로 독립이고  P   , P∩      일 때, P 의 값은? (단,   은 의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. sin cos    일 때, tan cot 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 주머니에는 흰 공  개, 검은 공  개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로  개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공을 적어도  개 이상 꺼낼 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 3  3 12 8. 연속함수 의 도함수  ′가   ′                  이고     일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 두 평면벡터  ,   가      ,      ,        를 만족시킬 때, 두 평면벡터  ,   가 이루는 각을  라 하자. cos 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 타원          의 두 초점을 F , F′ 라 하자. 타원 위의 점 P 가 ∠FPF′    를 만족시킬 때, 삼각형 FPF′ 의 넓이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  F′ F   O P4 수학 영역 (가형) 고 3 4 12 11. 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 좌표    가     을 매개변수로 하여     ,       으로 나타내어진다. 점 P 가 그리는 곡선 위의 한 점    에서의 접선의 기울기가  일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 어느 공장에서 생산되는 휴대전화  대의 무게는 평균이 g 이고 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 휴대전화 중에서 임의로 선택한 휴대전화  대의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤  ≤          고 3 수학 영역 (가형) 5  5 12 [13∼14] 함수       의 그래프는 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.         O  13. 함수    의 그래프 위의 두 점 P  , Q         을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가  인 벡터를     라 하자.  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. lim →∞           의 값은? [4점] ① ln   ② ln   ③ ln   ④ ln   ⑤ ln   6 수학 영역 (가형) 고 3 6 12 15. 두 곡선     ,   이  축과 평행한 한 직선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B 라 하자. OA OB 일 때, 삼각형 AOB 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 닫힌 구간      에서  에 대한 방정식 sincos   의 서로 다른 실근의 개수가  가 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 7  7 12 17. 미분가능한 함수  와  의 역함수  가            를 만족시킬 때,  다음은  ′   의 값을 구하는 과정이다.             에서          이므로     가  이다. 의 도함수를 구하면   ′    가       이다.    이므로     이다. 그러므로  ′   나 이다.  위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 수를  라 할 때,  × ln 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 다음 조건을 만족시키는 세 자연수  ,  ,  의 모든 순서쌍     의 개수는? [4점]  (가) 세 수  ,  ,  의 합은 짝수이다. (나)  ≤  ≤  ≤  ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역 (가형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 삼각형 ABC 에 대하여 꼭짓점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킬 때,  CA⋅ CH 의 값은? [4점] A H B C  (가) 점 H 가 선분 AB 를    으로 내분한다. (나)  AB⋅ AC  (다) 삼각형 ABC 의 넓이는  이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 두 함수   ln  ,   ln   의 그래프가 만나는 점을 P라 할 때 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]  <보 기> ㄱ. 점 P 의 좌표는    이다. ㄴ. 두 곡선   ,    위의 점 P 에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. ㄷ.    일 때,         이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (가형) 9  9 12 21. 그림과 같이 중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 원의 둘레를   ≥  등분한 점을 A , A , ⋯ , A이라 하자. 호 AA (    ⋯  )을 이등분한 점을 M라 하고  사각형 AMAN가 마름모가 되도록 하는 선분 OM 위의 점을 N라 하자.  개의 사각형 AMAN , AMAN , AMAN , ⋯, AMAN의 넓이의 합을 이라 할 때, lim→∞   ×  의 값은?  (단, A  A ) [4점]  A A M O · · · A A A A M M M N N N N A A M N · · · ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22.    의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 23. 함수   tan 에 대하여  ′   의 값을 구하시오. [3점]  10 수학 영역 (가형) 고 3 10 12 24. 집합의 분할의 수   의 값을 구하시오. [3점] 25. 좌표평면 위의 곡선       ≤  ≤  에 대하여    에서    까지의 곡선의 길이를  이라 할 때,   의 값을 구하시오. [3점] 26. 상자에는 딸기 맛 사탕  개와 포도 맛 사탕  개가 들어 있다. 두 사람  와 가 이 순서대로 이 상자에서 임의로  개의 사탕을 각각  번 꺼낼 때,  가 꺼낸 사탕이 딸기 맛 사탕이고, 가 꺼낸 사탕이 포도 맛 사탕일 확률을  라 하자.  의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 사탕은 상자에 다시 넣지 않는다.) [4점] 고 3 수학 영역 (가형) 11  11 12 27. 그림과 같이 함수      에 대하여 좌표평면 위의 두 점 A  , B  를 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을  축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 A 의  좌표가    에서   ln 까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는  ln 이다.  의 값을 구하시오. (단, 와  는 자연수이다.) [4점] O  ln        A B 28. 두 양수  ,  에 대하여 포물선     와 직선   가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과  축이 만나는 점을 B , 직선    와  축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF BF 의 값을 구하시오. [4점]  12 수학 영역 (가형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 반지름의 길이가  인 구  와 서로 다른 두 직선  ,  이 있다. 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을  각각 A , B , 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을  각각 P , Q 라 하자. 삼각형 APQ 는 한 변의 길이가  인 정삼각형이고 AB  , ∠ABQ    일 때 평면 APB 와 평면 APQ 가 이루는 각의 크기  에 대하여  cos  의 값을 구하시오. [4점]   A B P Q  30.  ≤  ≤   인  에 대하여 좌표평면 위의 두 직선  ,  은 다음 조건을 만족시킨다.  (가) 두 직선  ,  은 서로 평행하고  축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기는 각각  이다. (나) 두 직선  ,  은 곡선      ≤  ≤  과 각각 만난다.  두 직선  과  사이의 거리의 최댓값을 라 할 때,        이다. 의 값을 구하시오.  (단, 와  는 유리수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.  고 3 수학 영역 (나형) 1  1 12 5지선다형 1.  ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합     ,      에 대하여 ∩의 모든 원소의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim→   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  와 는 서로 독립이고  P    , P    일 때, P∪ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (나형) 12 수학 영역 (나형) 고 3 2 12 5. 함수      에 대하여 lim →   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 함수   의 그래프가 다음과 같다.            O lim →   lim→ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 실수  에 대하여 두 조건  ,  가     ≥      ≤  ≤  또는  ≥  이다. 명제  →  가 참이 되도록 하는 상수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 3  3 12 8.       일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 이산확률변수  의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.      계 P          E의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 집합      에 대하여 함수    → 가 다음 조건을 만족시킨다.  (가) 함수  는 일대일대응이다. (나) 집합  의 모든 원소 에 대하여 ≠이다.    일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역 (나형) 고 3 4 12 11. 같은 종류의 접시  개에 같은 종류의 쿠키  개를 남김없이 나누어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤   12. 두 함수 ,  가             ,     이다. 두 집합     ≤  ≤ 과     ≤  ≤ 이 서로 같을 때, 두 상수  , 에 대하여 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 5  5 12 [13~14] 이차함수         에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.   O     13. 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 할 때,   이다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 주머니  와 에는  ,  ,  ,  ,  의 숫자가 하나씩 적혀 있는  개의 공이 각각 들어 있다. 주머니  와 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니  에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를  , 주머니 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를  라 할 때, 직선    가 곡선   와 만나지 않을 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤             주머니  주머니  6 수학 영역 (나형) 고 3 6 12 15. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형 ABCD 이 있다. 네 변 AB , BC , CD , DA을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 ABCD 의 외부에 그려 만들어진 개의 호로 둘러싸인 모양의 도형을 이라 하자. 네 변 DA , AB , BC , CD의 중점 P , Q , R , S을 꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형을 이라 하자. 도형 의 내부와 도형 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 네 변 PQ , QR , RS , SP의 중점 A , B , C , D를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 라 하자. 네 변 DA , AB , BC , CD의 중점 P , Q , R , S를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 라 하자. 그림 에 도형 의 내부와 도형 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim→∞의 값은? [4점]  A D B C P  R Q S A D B C A D B C     ⋯   ⋯ ①    ②    ③    ④    ⑤    16. 어느 공장에서 생산되는 휴대전화  대의 무게는 평균이 g 이고 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 휴대전화 중에서 임의로 선택한 휴대전화  대의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤  ≤          고 3 수학 영역 (나형) 7  7 12 17. 다음 조건을 만족시키는 자연수  ,  ,  ,  의 모든 순서쌍   ,  ,  ,  의 개수는? [4점]  (가)  ,  ,  ,  중에서 홀수의 개수는  이다. (나)    ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 두 삼차함수 , 의 도함수    ′,    ′의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의  좌표는  ,  (     )이다. 함수  를     라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 단,  ′  ,  ′   [4점]   O        ′   ′  <보 기> ㄱ. 함수  는   에서 극댓값을 갖는다. ㄴ.    이면 방정식    의 서로 다른 실근의 개수는  이다. ㄷ.        인 두 실수 ,  에 대하여   이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 8 수학 영역 (나형) 고 3 8 12 19. 다음은 모든 자연수  에 대하여               이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ)   일 때, (좌변) , (우변)  이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ)   일 때, 등식             이 성립한다고 가정하자.    일 때,               가          나 ×       가       이다. 따라서   일 때도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수  에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 수를  라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 두 다항함수 ,  가    ,       를 만족시킬 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 9  9 12 21. 세 수 , ,  중에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 택해 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 배열하여 자연수를 만든다. (가) 다섯 자리의 자연수가 되도록 배열한다. (나) 끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다. 예를 들어 , 은 조건을 만족시키는 자연수이고 은 조건을 만족시키지 않는 자연수이다. 만들 수 있는 모든 자연수의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 등비수열 에 대하여    ,    일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23.    의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (나형) 고 3 10 12 24.  보다 큰 세 실수 , ,  에 대하여 log  log      일 때,  loglog의 값을 구하시오. [3점] 25. 어느 배드민턴 동호회 회원  명 중  회사에서 출시한 배드민턴 라켓을 구매한 회원 수와 구매하지 않은 회원 수가 다음과 같다.  구분 남성 여성 구매한 회원 수   구매하지 않은 회원 수   (단위: 명) 이 배드민턴 동호회 회원 중에서 임의로 선택한 한 명의 회원이 남성이었을 때, 이 회원이  회사에서 출시한 배드민턴 라켓을 구매하였을 확률은  이다.  의 값을 구하시오. [3점] 26. 첫째항이  인 등차수열 에 대하여      일 때,    의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (나형) 11  11 12 27. 함수   lim →∞      과 최고차항의 계수가  인 이차함수  에 대하여 함수  가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28.   인 이차함수  와 함수   이 다음 조건을 만족시킨다.  (가) 모든 실수  에 대하여   이다. (나) lim→∞             두 곡선    와    로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점] 12 수학 영역 (나형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC 와 점 A 를 지나고 직선 BC 와 평행한 직선  이 있다. 자연수  에 대하여 중심 O이 변 AC 위에 있고 반지름의 길이가      인 원이 직선 AB와 직선  에 모두 접한다. 이 원과 직선 AB가 접하는 점을 P , 직선 OP과 직선  이 만나는 점을 Q이라 하자. 삼각형 BOQ의 넓이를 이라 할 때, lim→∞    이다.  의 값을 구하시오. [4점]  A B C O Q P 30. 다항함수  가 다음 조건을 만족시킨다.  (가) lim →∞      (나)   ′   ≤  ≤ 인 정수 에 대하여 함수  를     ≤     이라 하자. 함수 가 열린구간   에서 미분가능할 때,      이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.