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고 3 수학 영역 (가형) 1 1 12 5지선다형 1. P C의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. lim→ ln 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 두 벡터 , 에 대하여 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. cos 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (가형) 12 수학 영역 (가형) 고 3 2 12 5. 두 사건 , 가 서로 독립이고 P , P∩ 일 때, P 의 값은? (단, 은 의 여사건이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. sin cos 일 때, tan cot 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 주머니에는 흰 공 개, 검은 공 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공을 적어도 개 이상 꺼낼 확률은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역 (가형) 3 3 12 8. 연속함수 의 도함수 ′가 ′ 이고 일 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. 두 평면벡터 , 가 , , 를 만족시킬 때, 두 평면벡터 , 가 이루는 각을 라 하자. cos 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 타원 의 두 초점을 F , F′ 라 하자. 타원 위의 점 P 가 ∠FPF′ 를 만족시킬 때, 삼각형 FPF′ 의 넓이는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ F′ F O P4 수학 영역 (가형) 고 3 4 12 11. 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 좌표 가 을 매개변수로 하여 , 으로 나타내어진다. 점 P 가 그리는 곡선 위의 한 점 에서의 접선의 기울기가 일 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 어느 공장에서 생산되는 휴대전화 대의 무게는 평균이 g 이고 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 휴대전화 중에서 임의로 선택한 휴대전화 대의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ P ≤ ≤ 고 3 수학 영역 (가형) 5 5 12 [13∼14] 함수 의 그래프는 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. O 13. 함수 의 그래프 위의 두 점 P , Q 을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가 인 벡터를 라 하자. 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. lim →∞ 의 값은? [4점] ① ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln 6 수학 영역 (가형) 고 3 6 12 15. 두 곡선 , 이 축과 평행한 한 직선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B 라 하자. OA OB 일 때, 삼각형 AOB 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.) [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 16. 닫힌 구간 에서 에 대한 방정식 sincos 의 서로 다른 실근의 개수가 가 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역 (가형) 7 7 12 17. 미분가능한 함수 와 의 역함수 가 를 만족시킬 때, 다음은 ′ 의 값을 구하는 과정이다. 에서 이므로 가 이다. 의 도함수를 구하면 ′ 가 이다. 이므로 이다. 그러므로 ′ 나 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 수를 라 할 때, × ln 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 다음 조건을 만족시키는 세 자연수 , , 의 모든 순서쌍 의 개수는? [4점] (가) 세 수 , , 의 합은 짝수이다. (나) ≤ ≤ ≤ ① ② ③ ④ ⑤ 8 수학 영역 (가형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 삼각형 ABC 에 대하여 꼭짓점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킬 때, CA⋅ CH 의 값은? [4점] A H B C (가) 점 H 가 선분 AB 를 으로 내분한다. (나) AB⋅ AC (다) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다. ① ② ③ ④ ⑤ 20. 두 함수 ln , ln 의 그래프가 만나는 점을 P라 할 때 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 점 P 의 좌표는 이다. ㄴ. 두 곡선 , 위의 점 P 에서의 각각의 접선은 서로 수직이다. ㄷ. 일 때, 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (가형) 9 9 12 21. 그림과 같이 중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 원의 둘레를 ≥ 등분한 점을 A , A , ⋯ , A이라 하자. 호 AA ( ⋯ )을 이등분한 점을 M라 하고 사각형 AMAN가 마름모가 되도록 하는 선분 OM 위의 점을 N라 하자. 개의 사각형 AMAN , AMAN , AMAN , ⋯, AMAN의 넓이의 합을 이라 할 때, lim→∞ × 의 값은? (단, A A ) [4점] A A M O · · · A A A A M M M N N N N A A M N · · · ① ② ③ ④ ⑤ 단답형 22. 의 전개식에서 의 계수를 구하시오. [3점] 23. 함수 tan 에 대하여 ′ 의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (가형) 고 3 10 12 24. 집합의 분할의 수 의 값을 구하시오. [3점] 25. 좌표평면 위의 곡선 ≤ ≤ 에 대하여 에서 까지의 곡선의 길이를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 상자에는 딸기 맛 사탕 개와 포도 맛 사탕 개가 들어 있다. 두 사람 와 가 이 순서대로 이 상자에서 임의로 개의 사탕을 각각 번 꺼낼 때, 가 꺼낸 사탕이 딸기 맛 사탕이고, 가 꺼낸 사탕이 포도 맛 사탕일 확률을 라 하자. 의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 사탕은 상자에 다시 넣지 않는다.) [4점] 고 3 수학 영역 (가형) 11 11 12 27. 그림과 같이 함수 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 A , B 를 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 A 의 좌표가 에서 ln 까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는 ln 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 자연수이다.) [4점] O ln A B 28. 두 양수 , 에 대하여 포물선 와 직선 가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과 축이 만나는 점을 B , 직선 와 축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF BF 의 값을 구하시오. [4점] 12 수학 영역 (가형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 와 서로 다른 두 직선 , 이 있다. 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자. 삼각형 APQ 는 한 변의 길이가 인 정삼각형이고 AB , ∠ABQ 일 때 평면 APB 와 평면 APQ 가 이루는 각의 크기 에 대하여 cos 의 값을 구하시오. [4점] A B P Q 30. ≤ ≤ 인 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 , 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 , 은 서로 평행하고 축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기는 각각 이다. (나) 두 직선 , 은 곡선 ≤ ≤ 과 각각 만난다. 두 직선 과 사이의 거리의 최댓값을 라 할 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 고 3 수학 영역 (나형) 1 1 12 5지선다형 1. × 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 두 집합 , 에 대하여 ∩의 모든 원소의 합은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. lim→ 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 두 사건 와 는 서로 독립이고 P , P 일 때, P∪ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (나형) 12 수학 영역 (나형) 고 3 2 12 5. 함수 에 대하여 lim → 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 함수 의 그래프가 다음과 같다. O lim → lim→ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 실수 에 대하여 두 조건 , 가 ≥ ≤ ≤ 또는 ≥ 이다. 명제 → 가 참이 되도록 하는 상수 의 최솟값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역 (나형) 3 3 12 8. 일 때, 상수 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. 이산확률변수 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. 계 P E의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 집합 에 대하여 함수 → 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 는 일대일대응이다. (나) 집합 의 모든 원소 에 대하여 ≠이다. 일 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수학 영역 (나형) 고 3 4 12 11. 같은 종류의 접시 개에 같은 종류의 쿠키 개를 남김없이 나누어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 두 함수 , 가 , 이다. 두 집합 ≤ ≤ 과 ≤ ≤ 이 서로 같을 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역 (나형) 5 5 12 [13~14] 이차함수 에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. O 13. 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 할 때, 이다. 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 주머니 와 에는 , , , , 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 각각 들어 있다. 주머니 와 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 , 주머니 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 라 할 때, 직선 가 곡선 와 만나지 않을 확률은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 주머니 주머니 6 수학 영역 (나형) 고 3 6 12 15. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 이 있다. 네 변 AB , BC , CD , DA을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 ABCD 의 외부에 그려 만들어진 개의 호로 둘러싸인 모양의 도형을 이라 하자. 네 변 DA , AB , BC , CD의 중점 P , Q , R , S을 꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형을 이라 하자. 도형 의 내부와 도형 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 네 변 PQ , QR , RS , SP의 중점 A , B , C , D를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 라 하자. 네 변 DA , AB , BC , CD의 중점 P , Q , R , S를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 라 하자. 그림 에 도형 의 내부와 도형 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim→∞의 값은? [4점] A D B C P R Q S A D B C A D B C ⋯ ⋯ ① ② ③ ④ ⑤ 16. 어느 공장에서 생산되는 휴대전화 대의 무게는 평균이 g 이고 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 휴대전화 중에서 임의로 선택한 휴대전화 대의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ P ≤ ≤ 고 3 수학 영역 (나형) 7 7 12 17. 다음 조건을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍 , , , 의 개수는? [4점] (가) , , , 중에서 홀수의 개수는 이다. (나) ① ② ③ ④ ⑤ 18. 그림과 같이 두 삼차함수 , 의 도함수 ′, ′의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표는 , ( )이다. 함수 를 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 단, ′ , ′ [4점] O ′ ′ <보 기> ㄱ. 함수 는 에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. 이면 방정식 의 서로 다른 실근의 개수는 이다. ㄷ. 인 두 실수 , 에 대하여 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 8 수학 영역 (나형) 고 3 8 12 19. 다음은 모든 자연수 에 대하여 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) 일 때, (좌변) , (우변) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ) 일 때, 등식 이 성립한다고 가정하자. 일 때, 가 나 × 가 이다. 따라서 일 때도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 20. 두 다항함수 , 가 , 를 만족시킬 때, 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역 (나형) 9 9 12 21. 세 수 , , 중에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 택해 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 배열하여 자연수를 만든다. (가) 다섯 자리의 자연수가 되도록 배열한다. (나) 끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다. 예를 들어 , 은 조건을 만족시키는 자연수이고 은 조건을 만족시키지 않는 자연수이다. 만들 수 있는 모든 자연수의 개수는? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 단답형 22. 등비수열 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. 의 전개식에서 의 계수를 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (나형) 고 3 10 12 24. 보다 큰 세 실수 , , 에 대하여 log log 일 때, loglog의 값을 구하시오. [3점] 25. 어느 배드민턴 동호회 회원 명 중 회사에서 출시한 배드민턴 라켓을 구매한 회원 수와 구매하지 않은 회원 수가 다음과 같다. 구분 남성 여성 구매한 회원 수 구매하지 않은 회원 수 (단위: 명) 이 배드민턴 동호회 회원 중에서 임의로 선택한 한 명의 회원이 남성이었을 때, 이 회원이 회사에서 출시한 배드민턴 라켓을 구매하였을 확률은 이다. 의 값을 구하시오. [3점] 26. 첫째항이 인 등차수열 에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (나형) 11 11 12 27. 함수 lim →∞ 과 최고차항의 계수가 인 이차함수 에 대하여 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 인 이차함수 와 함수 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여 이다. (나) lim→∞ 두 곡선 와 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점] 12 수학 영역 (나형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 와 점 A 를 지나고 직선 BC 와 평행한 직선 이 있다. 자연수 에 대하여 중심 O이 변 AC 위에 있고 반지름의 길이가 인 원이 직선 AB와 직선 에 모두 접한다. 이 원과 직선 AB가 접하는 점을 P , 직선 OP과 직선 이 만나는 점을 Q이라 하자. 삼각형 BOQ의 넓이를 이라 할 때, lim→∞ 이다. 의 값을 구하시오. [4점] A B C O Q P 30. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) lim →∞ (나) ′ ≤ ≤ 인 정수 에 대하여 함수 를 ≤ 이라 하자. 함수 가 열린구간 에서 미분가능할 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.