2016 4월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 1. lim→     의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤  2. P  일 때, 자연수 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3.  sin일 때,  ′  의 값은? [2점] ①  ②    ③  ④   ⑤  4. 좌표평면에서 두 곡선   log,   log가 직선   과 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 두 점 P, Q 사이의 거리는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 제 2 교시 수학 영역(가형) 2 12 5. 두 사건 , 에 대하여 P     , P    일 때, P∩의 값은? (단,  은 의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 자연수 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7.      의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(가형) 3 12 8. sin    일 때, sin    cos의 값은? (단,       ) [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  9. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수  가 lim→       을 만족시킨다. 의 역함수를 라 할 때,  ′의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④   ⑤  10. 진동가속도레벨  (dB)는 공해진동에 사용되는 단위로 진동가속도 크기를 의미하며 편진폭 (m), 진동수 (Hz)에 대하여 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.   log    (단, 는 양의 상수이다.) 편진폭이  , 진동수가 일 때 진동가속도레벨이 이고, 편진폭이  , 진동수가 일 때 진동가속도레벨이 이다.   의 값은? [3점] ①   ×    ②   ×    ③   ×    ④   ×    ⑤   ×   수학 영역(가형) 4 12 [11 ~ 12] 그림과 같이 실수 에 대하여 함수   의 그래프와 포물선    가 있다. 11번과 12번의 두 물음에 답하시오. O          11.   일 때, 함수   의 그래프와 포물선    의 준선, 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①  ②  ③    ④    ⑤    12. 포물선     위의 점  에서의 접선이 축과 만나는 점을 함수   의 그래프가 지날 때, 의 값은? [3점] ① ln ② ln   ③ ln   ④ ln ⑤ ln   수학 영역(가형) 5 12 13. 그림과 같이 초점이 F인 포물선     위의 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 PFH의 넓이가  일 때, 선분 PF의 길이는? (단, 점 P의 좌표는 점 F의 좌표보다 크다.) [3점]   O F H P     ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 다음은 모든 실수 에 대하여  ≥    을 성립시키는 실수 의 최댓값을 구하는 과정이다.     이라 하자.  ′  가 ×     ′ 에서      또는    함수 의 증가와 감소를 조사하면 함수 의 극솟값은 나 이다. 또한 lim→∞  , lim→ ∞  이므로 함수   의 그래프의 개형을 그리면 함수 의 최솟값은 나 이다. 따라서  ≥    을 성립시키는 실수 의 최댓값은 나 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 수를 라 할 때, × 의 값은? [4점] ①   ②   ③    ④    ⑤    수학 영역(가형) 6 12 15. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 함수   에 대하여 함수         ≤  가 실수 전체에서 미분가능할 때, 두 상수 , 의 곱 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(가형) 7 12 17. 그림과 같이 타원             의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P에 대하여 선분 PF′의 중점 M의 좌표가  이고  PM  PF일 때,    의 값은? (단, , 는 상수이다.) [4점] O  F′ F  M P ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 양의 실수 에 대하여 곡선   ln 위의 두 점 P ln, Q ln에서의 접선이 축과 만나는 점을 각각 R , S 이라 하자. 함수 를   라 할 때, 함수 의 극솟값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤   수학 영역(가형) 8 12 19. 그림과 같이 함수     sin    ≤  ≤   에 대하여 곡선   와 축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 두 점 P , Q 를 지나고 축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 선분 PQ를 한 변으로 하는 정삼각형이다. 이 입체도형의 부피는? [4점] O   P Q     ①    ②    ③    ④    ⑤    20. 주머니에 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수 중 연속된 자연수의 최대 개수가 인 사건을 라 하자. 예를 들어 은 연속된 자연수의 최대 개수가 이므로 사건 에 속하고, 은 연속된 자연수의 최대 개수가 이므로 사건 에 속하지 않는다. 사건 가 일어날 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(가형) 9 12 21. 닫힌 구간   에서 정의된 함수 는     ≤  ≤      ≤  이다. 좌표평면에서   인 실수 에 대하여 함수   의 그래프와 타원         이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은? [4점] ①  ②   ③   ④   ⑤  단답형 22. 다항식  의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 23. 두 사건 , 가 서로 배반사건이고 P∪ , P  일 때, P의 값은 이다. 의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(가형) 10 12 24. 쌍곡선             이 점  을 지나고 두 점근선의 방정식이   ,   이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. (단, , 는 상수이다.) [3점] 25.            ln일 때, 실수 의 값을 구하시오. [3점] 26. 에 대한 방정식 cos    가 서로 다른 개의 실근을 갖도록 하는 실수 의 값을 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단,  ≤   ) [4점] 수학 영역(가형) 11 12 27. 모든 실수 에 대하여 연속인 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여  이다. (나)  ≤  ≤ 일 때,  sin이다. (다)     일 때,  ′≥ 이다.         일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 정수이다.) [4점] 28. 다음 조건을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍    의 개수를 구하시오. [4점] (가)    (나) , , ,  중에서 개는 으로 나눈 나머지가 이고, 개는 으로 나눈 나머지가 이다. 수학 영역(가형) 12 12 29. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 한 점 P에 대하여 ∠PAB  라 하자. 선분 PB의 중점 M에서 선분 PB에 접하고 호 PB에 접하는 원의 넓이를 , 선분 AP 위에 AQ  BQ가 되도록 점 Q를 잡고 삼각형 ABQ에 내접하는 원의 넓이를 라 하자. lim →     ×  의 값을 구하시오. (단,       ) [4점] A P B Q M  30. 좌표평면에서 , 에 대한 연립부등식   ≥   ≥    가 나타내는 영역을  라 하자. 양의 실수 에 대하여 영역  의 서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 정사각형 의 한 변의 길이는 이다. (나) 정사각형 의 한 변은 축과 평행하다. 정사각형 의 두 대각선의 교점의 좌표의 최솟값을 라 할 때,  ′ln ′ln    이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점] O         ※ 확인 사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 1 12 1.  ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합       ,     에 대하여 집합 의 원소의 개수는? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim→∞     의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④  ⑤   4. 두 양수 , 에 대하여 log  , log   일 때, log의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2016학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 제 2 교시 수학 영역(나형) 2 12 5. 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여   ,   일 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 함수         ≥  가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 자연수 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 3 12 8. 세 조건 , , 에 대하여 두 명제 → ∼와 →가 모두 참일 때, 다음 명제 중 항상 참인 것은? [3점] ① → ∼ ② → ③ → ④ → ∼ ⑤ ∼→ 9. 의 네제곱근 중 실수인 것을 , 의 세제곱근 중 실수인 것을 라 할 때, 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 명의 가족이 있다. 이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 개의 의자에 모두 앉을 때, 아버지, 어머니가 모두 홀수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 4 12 11. 수열 에 대하여   ∞       일 때, lim→∞ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 실수 에 대하여 두 조건 , 가    ≤  ≤       또는    이다. ∼는 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 5 12 [13 ~ 14] 세 함수    ,    ,   의 그래프가 그림과 같다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.  O            13. 함수   의 그래프는 함수   의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 두 상수 , 의 합  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 함수   의 그래프 위의 점 P 를 지나고  축에 평행한 직선이 함수   의 그래프와 만나는 점을 A, 함수   의 그래프와 만나는 점을 B라 하자. 점 B를 지나고 축에 평행한 직선이 함수   의 그래프와 만나는 점을 C라 할 때, lim→  AB  BC 의 값은? (단,      ) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(나형) 6 12 15. 그림과 같이 자연수 에 대하여 곡선     위의 점 A    을 지나고 기울기가  인 직선이 축과 만나는 점을 B이라 할 때, lim→∞  OA  OB 의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]  O  A B     ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를 여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 광화학적 밀도가 일정 하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수  , 여과지 이동거리를 m  , 여과지를 통과하는 빛전달률을      라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.     log   (단, 는 양의 상수이다.) 두 지역 , 의 대기오염 정도를 판별할 때, 각각의 헤이즈계수를 , , 여과지 이동거리를 , , 빛전달률을 ,  라 하자.     ,   일 때,    을 만족시키는 실수 의 값은? [4점] ①  ②   ③   ④  ⑤   수학 영역(나형) 7 12 17. 집합       의 모든 원소 에 대하여  에서  로의 함수 는 ‘를 로 나눈 나머지’로 정의하고,  에서  로의 함수 는 ∘ ∘를 만족시킨다.  일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 다음은 모든 자연수 에 대하여               ⋯             ⋯⋯(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1)   일 때, (좌변)   , (우변)       이므로 (*)이 성립한다. (2)   일 때, (*)이 성립한다고 가정하면               ⋯            이다. 위 등식의 양변에     을 더하여 정리하면               ⋯                  가       나 따라서   일 때도 (*)이 성립한다. (1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, × 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 8 12 19. 전체집합   는 이하의 자연수의 세 부분집합 , ,  에 대하여  ⊂ 이고 ∪       이다.   ,    ,     일 때, 집합 ∩  ∪는? [4점] ①  ②   ③   ④    ⑤      20. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에 내접하는 원 이 있다. 정사각형과 원 의 접점을 각각 A , B , C , D이라 할 때, 원 과 두 선분 AB , BC로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠 하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 두 선분 AB , BC을 각각   로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 라 하고 그 접점을 각각 A , B , C , D라 할 때, 원 와 두 선분 AB , BC로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 그림 에서 두 선분 AB , BC를 각각   로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형에 그림 에서 그림 를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim→∞ 의 값은? [4점] B ⋯ A A B C D  D  C   ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(나형) 9 12 21. 자연수 에 대하여 집합   는 이하의 자연수의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가  보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 이라 하자. lim→∞         의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. P  일 때, 자연수 의 값을 구하시오. [3점] 23.       의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(나형) 10 12 24. 보다 큰 모든 실수의 집합에서 정의된 두 함수      ,     에 대하여 ∘의 값을 구하시오. [3점] 25. 두 상수 , 에 대하여 lim→     일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 세 실수 , , 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [4점] (가)      ×     (나)    수학 영역(나형) 11 12 27. 좌표평면 위에 함수                    의 그래프와 직선    가 있다. 함수   의 그래프 위의 점 P를 지나고 축에 수직인 직선이 직선    와 만나는 점을 Q, 점 Q를 지나고 축에 수직인 직선이   와 만나는 점을 R라 할 때, 선분 PQ와 선분 QR의 길이의 곱  PQ×  QR 의 최솟값을 구하시오. [4점] 28. 다음 조건을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍    의 개수를 구하시오. [4점] (가)    (나) , , ,  중에서 개는 으로 나눈 나머지가 이고, 개는 으로 나눈 나머지가 이다. 수학 영역(나형) 12 12 29. 그림과 같이 자연수 에 대하여 기울기가 이고 절편이 양수인 직선이 원          에 접할 때, 이 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A , B이라 하자. 점 A을 지나고 기울기가 인 직선이  축과 만나는 점을 C이라 할 때, 삼각형 ACB과 그 내부의 점들 중  좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 이라 하자.    의 값을 구하시오. [4점]  O          B C A    30. 함수    에 대하여 함수 를     ≥      라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오. [4점] (가) 방정식  은 열린 구간  에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (나) 함수 는   에서 연속이다. ※ 확인 사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.