2016 3월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2016학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. lim →    의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤  2.     일 때, sincos 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 함수      에 대하여 ′의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④  ⑤  4.      의 값은? [3점] ① ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln 수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 함수   sin의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자.   일 때, 양수 의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  6. 자연수 에 대하여 함수         의 그래프와 함수   ln의 그래프가 만나는 점의 개수를 이라 할 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수 가 모든 실수에서 연속일 때, 도함수 ′가 ′          ≤     ＞  이다.       일 때, 의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④  ⑤  8. 함수   sincos에 대하여 lim →        일 때,    의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 9. 실수 전체의 집합에서 함수     이 증가하도록 하는 자연수 의 최댓값은? [3점] ①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　 10. 자연수 에 대하여        C     일 때, log  을 만족시키는 의 최솟값은? (단, log  로 계산한다.) [3점] ①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　 수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 그림과 같이 제사분면에 있는 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하고, ∠POH   라 하자.  PH  OH 를 라 할 때,      의 값은? (단, O 는 원점이다.) [3점] ①   ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln 12. 함수 가    ≤ ≥ ln       이고, 함수   의 그래프가 그림과 같다.  lim →    lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④   ⑤   수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ∼ 14] 좌표평면에 두 함수    의 그래프와       의 그래프가 있다. 두 곡선   ,   가 직선      과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13.   일 때, 두 곡선   ,   와 직선 AB 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ① ln  ② ln  ③ ln  ④ ln  ⑤ ln  14. 점 A 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, lim →  AH  AB 의 값은? [4점] ① ln ②   ln ③   ln ④   ln ⑤ ln 수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 시트지 장, 빗변의 길이가  인 직각이등변삼각형 모양의 시트지 장이 있다. 정사각형 모양의 시트지의 색은 모두 노란색이고, 직각이등변삼각형 모양의 시트지의 색은 모두 서로 다르다.  [그림 1]과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 창문 네 개가 있는 집이 있다. [그림 2]는 이 집의 창문 네 개에 장의 시트지를 빈틈없이 붙인 경우의 예이다.  이 집의 창문 네 개에 시트지 장을 빈틈없이 붙이는 경우의 수는? (단, 붙이는 순서는 구분하지 않으며, 집의 외부에서만 시트지를 붙일 수 있다.) [4점]  [그림 1] [그림 2]  ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 함수   lim →∞    cos 에 대하여 함수 를           라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 장의 카드 중에서 동시에 장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 좌표평면에 중심이 원점 O 이고 반지름의 길이가 인 원 과 중심이 점 A 이고 반지름의 길이가 인 원  가 있다. 그림과 같이 기울기가 양수인 직선 이 선분 OA 와 만나고, 두 원 ,  에 각각 접할 때, 다음은 직선 의 기울기를 에 대한 식으로 나타내는 과정이다. (단,   ) 직선 OA가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 , 점 O를 지나고 직선 에 평행한 직선 이 직선 OA와 이루는 예각의 크기를 라 하면  tan     tan  (가) 이다. 직선 이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를  라 하면     이므로  tan  (나) 이다. 따라서 직선 의 기울기는 (나) 이다.  위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 함수       에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. ′   ㄴ. 모든 실수 에 대하여 ≥    이다. ㄷ.       일 때,    이다.  ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ  ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 그림과 같이 함수         ln ≥  의 그래프 위의 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하고, 선분 PH 를 한 변으로 하는 정사각형을 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 P 의 좌표가   ln에서   까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤   수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 중심이 원점 O 이고 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 원 가 축의 양의 방향과 만나는 점을 A, 원  위에 있고 제사분면에 있는 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H , ∠POA   라 하자. 삼각형 APH에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim →    의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 방정식        의 해를 구하시오. [3점] 23. 곡선   ln에 접하고 기울기가 인 직선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A, B 라 할 때, 삼각형 AOB 의 넓이를 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [3점] 수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 원소의 개수가 인 집합을 공집합이 아닌 개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수를 구하시오. [3점] 25. 어느 필름의 사진농도를  , 입사하는 빛의 세기를 , 투과하는 빛의 세기를 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.  ×   두 필름 A, B 에 입사하는 빛의 세기가 서로 같고, 두 필름 A, B 의 사진농도가 각각 , 일 때, 투과하는 빛의 세기를 각각 A B 라 하자.  B A 의 값을 구하시오. (단,   ) [3점] 26. 그림과 같이 기울기가    인 직선 이 원    과 점 A에서 접하고, 기울기가 인 직선 이 원      과 점 B 에서 접한다. cos ∠AOB의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [4점] 수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 다음 조건을 만족시키는 자연수  의 개수를 구하시오. [4점] (가)  은  이상  이하의 홀수이다. (나)  의 각 자리 수의 합은 이다. 28. 함수     cos  cos 에 대하여    ,        일 때,     의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 집합        에 대하여  에서  로의 함수 는 다음 조건을 만족시킨다. (가)  의 모든 원소 에 대하여  이다. (나)   이면   이다.  함수 의 개수를 구하시오. [4점] 30. 함수       에 대하여 부등식 ≥    을 만족시키는 의 최댓값을 라 정의하자. 함수 가      에서 불연속일 때,  의 값을 구하시오.  (단, lim →∞   ) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 2016학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.       의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④  ⑤  2. lim →∞     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 등비수열 에 대하여    ,   일 때,  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 전체집합   는  이하의 자연수의 두 부분집합         ,       에 대하여 집합 ∩ 의 원소의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 양수 에 대하여 log    일 때,    의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  6. 두 집합     ,      에 대하여 집합  에서 집합  로의 일대일함수를 라 하자.   일 때, 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 어느 고등학교 학년 반 학생 명을 대상으로 책 A, 책 B 를 읽었는지 조사하였다. 책 A를 읽지 않고 책 B 만 읽은 학생이 명일 때, 책 A와 책 B 를 모두 읽은 학생 수의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 이 아닌 두 양수 , 에 대하여 log  log일 때,   log 의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④   ⑤   9. 유리함수      의 그래프가 제사분면을 지나지 않도록 하는 정수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 에 대한 이차방정식      의 두 근의 합을  (은 자연수)라 하자.      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 두 집합   는 자연수,      에 대하여 두 함수    →  ,    → 가    를 로 나눈 나머지  이다. 합성함수 ∘의 치역의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 그림과 같이 곡선   와 직선   가 원점과 점  에서 만난다.   lim →∞      일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 자연수 에 대하여 좌표가  인 점을 P , 함수    ≥ 이라 하자. 점 P 을 지나고  축과 평행한 직선이 곡선   와 만나는 점을 Q 이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 점 Q 의 좌표를  이라 할 때,     ⋅    의 값은? [3점] ①   ②  ③  ④  ⑤  14. 곡선    위의 점 R 은 직선 PR 의 기울기가 음수이고 좌표가 자연수인 점이다. 삼각형 POQ의 넓이를 , 삼각형 POR의 넓이가 최대일 때 삼각형 POR의 넓이를  이라 하자. lim →∞      의 값은? (단, O 는 원점이다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(나형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 무리함수     에 대하여 좌표평면에 곡선   와 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 가 있다. 곡선   와 함수 의 역함수의 그래프가 삼각형 ABC 와 만나도록 하는 실수 의 최댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 다음은 모든 자연수 에 대하여           ⋅  …… (*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ)   일 때,  (좌변)   ×    (우변)   ×  ×    따라서 (*)이 성립한다. (ⅱ)   일 때, (*)이 성립한다고 가정하면                     가   나  가      ⋅   이다.  따라서   일 때도 (*)이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.  위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 두 양수 , 에 대하여 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 네 변 AB, BC, DC, DA 를 각각   로 내분하는 점을 E, F, G, H 라 하고, 선분 FH 의 중점을 M이라 하자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ.  FM   GM ㄴ. ∆EFM ≥∆FGM ㄷ. FH  일 때, 삼각형 FGM의 넓이의 최댓값은 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 한 변의 길이가 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 인 두 원이 서로 한 점 P 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 Q 이라 하고, 선분 PQ 을 대각선으로 하는 정사각형  을 그린다. 이때,  의 한 변의 길이를  이라 하자. 지름이   인 두 원이 서로 한 점 P 에서 만나고 정사각형  의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형  의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 Q 라 하고, 선분 PQ 를 대각선으로 하는 정사각형  를 그린다. 이때,  의 한 변의 길이를  라 하자. 지름이   인 두 원이 서로 한 점 P 에서 만나고 정사각형  의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형  의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 Q 이라 하고, 선분 PQ 을 대각선으로 하는 정사각형  을 그린다. 이때,  의 한 변의 길이를  이라 하자.  이와 같은 과정을 계속하여 번째 그린 정사각형  의 한 변의 길이를  이라 할 때,     ∞  의 값은? [4점]  … ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(나형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)      (나) 이차방정식   의 실근의 개수는 이다.  방정식 ∘ 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은? [4점] ①    ②    ③  ④    ⑤    20. 자연수 에 대하여         을 만족시키는 자연수 을  이라 하자.      의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 수열 에 대하여 집합          는 자연수 가 공집합이 되도록 하는 자연수 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, 번째 수를  이라 하자. 예를 들어,   은       를 만족시키는 자연수 가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로   이다.     ∞    의 값은? [4점] ①   ②   ③  ④   ⑤   단답형 22. log    일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. 수열 이        을 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(나형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24.  이하의 자연수 에 대하여    이 정수가 되도록 하는 의 개수를 구하시오. [3점] 25. 실수 전체의 집합 의 두 부분집합     ≤ ,      또는    가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ∪   (나)    ≤≤  두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [3점] 26. 자연수 에 대하여 곡선            와 직선      이 만나는 두 점을 각각 P , Q 이라 하자. 삼각형 OPQ 의 무게중심의 좌표를  이라 할 때,  lim →∞  의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [4점] 수학 영역(나형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 전체집합   는  이하의 자연수에 대하여 조건 ‘   ≤  ’의 진리집합을  , 두 조건  , 의 진리집합을 각각  , 라 하자. 두 명제 →와 ∼→가 모두 참일 때, 두 집합 , 의 순서쌍  의 개수를 구하시오. [4점] 28. 두 함수         ≥ ,    에 대하여 합성함수 ∘의 치역이  ≥일 때, 상수 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(나형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 두 집합      ,           에 대하여 집합  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ∩  (나)   ∅ (다) 집합  의 모든 원소의 합은 이다.  집합   의 모든 원소의 곱을 구하시오. [4점] 30. 유리함수     와 수열 에 대하여   이다.       ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.