2016 9월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 5지선다형 1. 두 벡터     ,     에 대하여 벡터      의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 방정식      을 만족시키는 실수 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 좌표공간에서 두 점 A  , B  에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점의 좌표가   이다. 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  와  는 서로 배반사건이고 P    , P∪     일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2017학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. cos     , cos cos    일 때, sin sin의 값은? [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    6.     의 값은? [3점] ① ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln 7. ≤  일 때, 방정식 sin cos   의 모든 해의 합은? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 두 벡터   ,   에 대하여    ,    이고, 두 벡터      와      가 서로 수직일 때,  ⋅  의 값은? [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    9. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 모든 실수 에 대하여    을 만족시킬 때, ′의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 어느 실험실의 연구원이 어떤 식물로부터 하루 동안 추출하는 호르몬의 양은 평균이 mg, 표준편차가 mg인 정규분포를 따른다고 한다. 어느 날 이 연구원이 하루 동안 추출한 호르몬의 양이 mg 이상이고 mg 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤ ≤          이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 함수   log에 대하여 lim →    의 값은? [3점] ① ln  ② ln  ③ ln  ④ ln  ⑤ ln  12. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 , 라 하자. 두 수의 곱 가 의 배수일 때, 이 두 수의 합 가 일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 함수   cos의 그래프와 축, 축 및 직선     로 둘러싸인 영역의 넓이가 직선   에 의하여 이등분될 때, 상수 의 값은? [3점] ①   ②    ③   ④    ⑤   14. 매개변수   으로 나타내어진 함수      ,          에서   일 때,    의 값은? [4점] ①    ②  ③    ④    ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 각 자리의 수가 이 아닌 네 자리의 자연수 중 각 자리의 수의 합이 인 모든 자연수의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가  PA   PB   PC   PD   CA 를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ  PB   PD    CP ㄴ  AP     AC ㄷ 삼각형 ADP 의 넓이가 이면 직사각형 ABCD 의 넓이는 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수  라 하자. 다음은 E 를 구하는 과정이다. (단, ≥ ) 자연수  ≤≤에 대하여 확률변수  의 값이 일 확률은 부터 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 장의 카드와 가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 P     C 가 이다. 자연수  ≤≤에 대하여 C    × C   이므로 × 가  × 나 이다. 그러므로 E       ×P     C       × 가    C       나 이다.      나   C 이므로 E × 다 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, ××의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 좌표공간에 점 P  가 있고 평면 위의 원      위에 두 점 A , B 가 있다. 평면 ABP 의 법선벡터가      일 때, 선분 AB 의 길이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 서로 다른 과일 개를 개의 그릇 A , B , C 에 남김없이 담으려고 할 때, 그릇 A 에는 과일 개만 담는 경우의 수는? (단, 과일을 하나도 담지 않은 그릇이 있을 수 있다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 가 있다. 변 CD 위의 점 E 에 대하여 선분 DE 를 지름으로 하는 원과 직선 BE 가 만나는 점 중 E 가 아닌 점을 F라 하자. ∠EBC   라 할 때, 점 E 를 포함하지 않는 호 DF를 이등분하는 점과 선분 DF의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를 라 하자. lim →          의 값은? (단,       ) [4점] ①     ②     ③     ④     ⑤     이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 와 가 모든 양의 실수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가)    ′      (나)                일 때, 의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    단답형 22. C 의 값을 구하시오. [3점] 23. 곡선   log의 점근선이 직선   이다.  의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 흰 공 개, 빨간 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 개의 공이 모두 흰 공일 확률이    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3점] 25. 좌표평면에서 초점이 F인 포물선    위의 점 A가 AF  을 만족시킨다. 점 B 에 대하여  AB  일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 26. 함수   sin의 역함수를 라 할 때, 곡선    위의 점  에서의 접선의 기울기는    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 그림과 같이 타원       의 두 초점은 F , F′ 이고, 제사분면에 있는 두 점 P, Q는 다음 조건을 만족시킨다. (가)  PF   (나) 점 Q 는 직선 PF′ 과 타원의 교점이다. 삼각형 PFQ 의 둘레의 길이와 삼각형 PF′F의 둘레의 길이의 합을 구하시오. [4점] 28. 어느 고등학교에서 대중교통을 이용하여 등교하는 학생의 비율을 알아보기 위하여 이 고등학교 학생 중 명을 임의추출하여 조사한 결과 %의 학생이 대중교통을 이용하여 등교하는 것으로 나타났다. 이 결과를 이용하여 구한 이 고등학교 전체 학생 중에서 대중교통을 이용하여 등교하는 학생의 비율 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이 ≤≤이다.   일 때, 의 값을 구하시오. (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P≤   로 계산한다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 29. 그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가   인 두 평면 와 가 있고, 평면  위의 점 A 와 평면  위의 점 B 가 있다. 두 점 A , B 에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C , D 라 하자.  AB   ,  AD   이고 직선 AB 와 평면 가 이루는 각의 크기가   일 때, 사면체 ABCD 의 부피는  이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.) [4점] 30. 최고차항의 계수가 인 사차함수 와 함수   sin 에 대하여 함수   는 실수 전체의 집합에서 이계도함수 ″를 갖고, ″는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ′의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 5지선다형 1. ×  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합       ,        에 대하여 ∩의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞     의 값은? [2점] ①  ②   ③   ④  ⑤    4. log  log 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2017학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 그림은 두 함수    → ,    →  를 나타낸 것이다. ∘의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 첫째항이 이고 공비가 양수인 등비수열 에 대하여      일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 사건  ,  에 대하여 PP     , P∩     일 때, P∪ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →   lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 수열 이               을 만족시킬 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가 lim →       를 만족시킬 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 연속확률변수  가 갖는 값의 범위는  ≤ ≤ 이고,  의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. 상수 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 정수 에 대한 조건    ≥  에 대하여 조건 ∼의 진리집합의 원소의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 어느 학급 학생 명을 대상으로 과목 A 와 과목 B 에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 과목 A 와 과목 B 중 하나를 선택하였고, 각 학생이 선택한 과목별 인원수는 다음과 같다. 구분 과목 A 과목 B 합계 남학생   여학생   합계    (단위: 명) 이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 명이 남학생일 때, 이 학생이 과목 B 를 선택한 학생일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여             의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 어느 공항에서 처리되는 각 수하물의 무게는 평균이 kg, 표준편차가 kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공항에서 처리되는 수하물 중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 이 수하물의 무게가 kg 이상이고 kg 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 안에 꼭짓점 A , C 을 중심으로 하고 선분 AB , CD 을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 AC 이 두 사분원과 만나는 점 중 점 A 과 가까운 점을 A , 점 C 과 가까운 점을 C 라 하자. 선분 AD 에 평행하고 점 A 를 지나는 직선이 선분 AB 과 만나는 점을 E , 선분 BC 에 평행하고 점 C 를 지나는 직선이 선분 CD 과 만나는 점을 F 이라 하자. 삼각형 AEA 와 삼각형 CFC 를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림   에 선분 AC 를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점] ①     ②     ③     ④     ⑤      P ≤ ≤          이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 자연수 에 대하여 곡선         위의 점      과 두 점  ,  을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를  이라 할 때,           의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수  라 하자. 다음은 E 를 구하는 과정이다. (단, ≥ ) 자연수  ≤≤에 대하여 확률변수  의 값이 일 확률은 부터 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 장의 카드와 가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로 P     C 가 이다. 자연수  ≤≤에 대하여 C    × C   이므로 × 가  × 나 이다. 그러므로 E       ×P     C       × 가    C       나 이다.      나   C 이므로 E × 다 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, ××의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 각 자리의 수가 이 아닌 네 자리의 자연수 중 각 자리의 수의 합이 인 모든 자연수의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)   에서 극댓값을 갖는다. (나) ′  ′ <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 도함수 ′는   에서 최솟값을 갖는다. ㄴ. 방정식   는 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 곡선    위의 점  에서의 접선은 점  를 지난다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 음수인 모든 사차함수 에 대하여 의 최댓값은? [4점] (가) 방정식   의 실근은  ,  , 뿐이다. (나) 실수 에 대하여 와  중 크지 않은 값을 라 할 때, 함수 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. C 의 값을 구하시오. [3점] 23.    의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 함수   에 대하여    의 값을 구하시오. [3점] 25. 함수          ≥ 이   에서 미분가능할 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점] 26. 흰 공 개, 빨간 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 개의 공이 모두 흰 공일 확률이    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 전체집합          의 두 부분집합    ,     에 대하여 ∪   , ∩   를 만족시키는  의 모든 부분집합  의 개수를 구하시오. [4점] 28. 함수    에 대하여 lim →∞              의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 29. 구간   에서 정의된 함수 는     ≤     ≤ ≤ 이다. 실수  ≤≤에 대하여    의 최솟값은    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역   ≤≤ ≤≤     에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 이라 하자. (가) 각 꼭짓점의 좌표, 좌표가 모두 정수이다. (나) 한 변의 길이가  이하이다. 예를 들어   이다. ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.