2017 4월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 1. lim→  ln 의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤   2. 함수   sin의 최댓값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3.    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 쌍곡선         의 주축의 길이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 제 2 교시 1 2 수학 영역(가형) 2 12 5. 함수  cos에 대하여  ′  의 값은? [3점] ①  ②    ③  ④   ⑤  6. 방정식       을 만족시키는 실수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 같은 종류의 컴퓨터용 사인펜 자루를 같은 종류의 필통 개에 나누어 넣을 때, 빈 필통이 없도록 넣는 경우의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 3 3 12 8. 함수    의 역함수를 라 할 때, lim →    의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9.  ≤   일 때, 방정식 sin    의 모든 실근의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 좌표평면 위의 곡선    과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  4 수학 영역(가형) 4 12 11. 좌표평면에서 곡선     위의 점  에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 삼각형 OAB의 넓이는? (단, O는 원점이다.) [3점] ①  ②    ③  ④    ⑤  12. 집합    에서 집합        으로의 함수  중에서 가 의 배수가 되도록 하는 함수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 5 5 12 13. 함수  ln  에 대하여  ″  인 실수 의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  14. 그림과 같이 타원          위의 제사분면에 있는 점 P와 두 초점 F, F′에 대하여 삼각형 PF′F의 둘레의 길이가 일 때, 상수 의 값은? (단,     ) [4점]            F′ O F P ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역(가형) 6 12 15.   cos의 값은? [4점] ①   ②   ③    ④  ⑤    16. 그림과 같이 선분 AB의 길이가 , 선분 AD의 길이가 인 직사각형 ABCD가 있다. 선분 AB를   으로 내분하는 점을 E, 선분 AD의 중점을 F라 하자. ∠EFC 라 할 때, tan의 값은? [4점] A F B E  C D ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(가형) 7 7 12 17. 두 집합      ≤ ,   log  log   ≤   에 대하여 ∩≠∅을 만족시키는 정수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 다음은 자연수 에 대하여 부등식       × C 을 만족시키는 의 최댓값을 구하는 과정이다. 이항정리를 이용하여 을 전개하면        가 ×   ⋯⋯ ㉠ 위 식의 양변에   을 대입하면    C CC ⋯ C  ⋯⋯ ㉡ ㉠의 양변을 에서 까지 적분하여         C    C   C ⋯    C  ⋯⋯ ㉢ 을 얻는다. ㉡과 ㉢에서 나       C    C   C ⋯    C        ×C이므로 부등식       ×C 을 만족시키는 의 최댓값은 다 이다.  위의 과정에서 (가)에 알맞은 식에 대하여   일 때의 식을 , (나)에 알맞은 식을 , (다)에 알맞은 수를 라 할 때, × 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역(가형) 8 12 19. 좌표평면에서 쌍곡선            의 점근선의 방정식이  ±   이고 한 초점이 F  이다. 점 F를 지나고 축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 제사분면에서 만나는 점을 P라 하자. 쌍곡선 위의 점 P에서의 접선의 기울기는? (단, , 는 상수이다.) [4점] ①   ②  ③   ④   ⑤   20. 그림과 같이 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 있다. 점 P는 점 A를 출발하여 삼각형 ABC의 변을 따라 점 B를 지나 점 C까지 매초 의 일정한 속력으로 움직이고 이차함수   의 그래프가 점 P를 지난다. 초 후 곡선    위의 점 P에서의 접선의 기울기를 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 P는 한 번 지나간 점은 다시 지나가지 않는다.) [4점]   O    A B C P 보 기 ㄱ.  ≤   일 때 점 P의 좌표는   ㄴ.    ( ≤   ) ㄷ.     ln ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(가형) 9 9 12 21. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P에 대하여 BP BC 가 되도록 선분 AB 위의 점 C를 잡고, AC AD가 되도록 선분 AP 위의 점 D를 잡는다. ∠PAB 에 대하여 선분 CD를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 ∠PCD인 부채꼴의 넓이를 , 선분 CP를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 ∠PCD인 부채꼴의 넓이를 라 할 때, lim →     의 값은? (단,       이고 ∠PCD는 예각이다.) [4점] A B P D C  ①   ②   ③    ④   ⑤    단답형 22. ∏의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수      에 대하여  ′  의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(가형) 10 12 24. 매개변수 (  )로 나타내어진 함수    ,      에 대하여   일 때,   의 값을 구하시오. [3점] 25. 좌표평면에서 점  을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선    와 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하자. 선분 PQ의 길이가 일 때, 두 점 P, Q의 좌표의 합을 구하시오. [3점] 26. 네 개의 자연수 , , ,  중에서 중복을 허락하여 개를 선택할 때, 선택된 개의 수의 곱이 의 배수가 되도록 하는 경우의 수를 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 11 11 12 27. 그림과 같이 곡선      sin   와 축 및 두 직선   ,   로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오. [4점]      sin    O    28. 그림과 같이 주머니에 숫자 이 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 개, 숫자 가 적힌 흰 공과 검은 공이 각각 개가 들어 있고, 비어 있는 개의 칸에 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 진열장이 있다. 숫자가 적힌 개의 칸에 주머니 안의 공을 한 칸에 한 개씩 모두 넣을 때, 숫자 , , 이 적힌 칸에 넣는 세 개의 공이 적힌 수의 합이 이고 모두 같은 색이 되도록 하는 경우의 수를 구하시오. (단, 모든 공은 크기와 모양이 같다.) [4점] 12 수학 영역(가형) 12 12 29. 좌표평면에서  이상의 자연수 에 대하여 두 곡선     ,   log 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 가 되도록 하는 자연수 의 개수를 구하시오. [4점] 30. 최고차항의 계수가 인 다항함수 와 함수    ′   가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식  의 실근은 과 뿐이고 허근은 존재하지 않는다. (나) lim →    이 존재한다. (다) 함수   는     에서 연속이고 미분가능하지 않다.  함수 의 극솟값을 라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 1 12 1.    ×  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합       ,        에 대하여 ∩의 값은? [2점]  ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞       의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 그림은 함수    → 를 나타낸 것이다.                의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2017학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 제 2 교시 1 2 수학 영역(나형) 2 12 5. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 의 첫째항부터 제항까지의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 좌표평면에서 무리함수    의 그래프가 두 점  과  를 지날 때, 두 상수 , 의 합 의 값은?  [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   의 그래프가 그림과 같다.   O         lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 3 3 12 8. 이차방정식     의 두 근을 , 라 할 때, log log의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 다항식 의 전개식에서 상수항이 일 때, 의 계수는?  [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 두 수열 , 에 대하여      ,        일 때,      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역(나형) 4 12 11. 같은 종류의 컴퓨터용 사인펜 자루를 같은 종류의 필통 개에 나누어 넣을 때, 빈 필통이 없도록 넣는 경우의 수는? [3점]  ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 두 수열 , 이 lim →∞    , lim→∞       을 만족시킬 때, lim→∞  의 값은? (단, ≠) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 5 5 12 13. 모든 실수 에 대하여 log  가 정의되기 위한 모든 정수 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 좌표평면에서 함수     의 그래프의 두 점근선의 교점이 직선    위에 있을 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역(나형) 6 12 15. 어느 고등학교 학생 명을 대상으로 헌혈과 환경보호활동에 대한 참가 희망 조사를 한 결과에 대하여 두 사람이 다음과 같이 말하였다. 헌혈을 희망한 학생은 명입니다. 환경보호활동을 희망하지 않은 학생은 명입니다.  두 사람의 말이 모두 참일 때, 헌혈과 환경보호활동을 모두 희망한 학생 수의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 수열 에 대하여   ∞          일 때, lim→∞ 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 7 7 12 17. 두 자연수 , 에 대하여      ×   이 자연수,        이 유리수  일 때, 의 최솟값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD에서 선분 AB, 선분 CD, 선분 DA의 중점을 각각 E, F, G라 하자. 선분 EG를 한 변으로 하고 점 A가 내부에 있도록 정삼각형 EGH를 그리고, 선분 GF를 한 변으로 하고 점 D가 내부에 있도록 정삼각형 GFI를 그린다. 두 정삼각형 EGH, GFI의 내부와 정사각형 ABCD의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 선분 HG의 중점을 M, 선분 IG의 중점을 N이라 하고, 선분 HM을 한 변으로 하는 정사각형 과 선분 IN을 한 변으로 하는 정사각형 를 각각 정사각형 ABCD와 만나지 않게 그린다. 정사각형  , 에 각각 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim →∞ 의 값은? [4점]    H M N I G E F D B C A H I G E F D B C A    ⋮ ⋮  ①     ②     ③   ④     ⑤     8 수학 영역(나형) 8 12 19. 두 실수  , 에 대한 세 조건       ≤ ,   ≤ 이고 ≤ ,     이고     에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?  [4점] 보 기 ㄱ.  →  ㄴ.  → ∼ ㄷ.  → ∼ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 다음은 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이  이상의 짝수인 경우의 수를 구하는 과정이다. (ⅰ) 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 모든 경우의 수는 이다. (ⅱ) 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이 홀수인 경우는 , ,  중에서 중복을 허락하여 개를 선택한 후 일렬로 배열하는 중복순열과 같으므로 이 경우의 수는 가 이다. (ⅲ)  이하의 짝수는 , , 이므로 세 수의 곱이 인 경우는 , , 을 일렬로 배열하는 순열, 세 수의 곱이 인 경우는 , ,  또는 , , 을 일렬로 배열하는 순열, 세 수의 곱이 인 경우는 , ,  또는 , , 을 일렬로 배열하는 순열이다. 그러므로 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이  이하의 짝수인 경우의 수는 나 이다. 따라서 한 개의 주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수의 곱이  이상의 짝수인 경우의 수는 다 이다.  위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 9 9 12 21. 그림과 같이 곡선     위의 점 P    에 대하여 축 위의 점 Q, 축 위의 점 R가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 POQ는 PO PQ인 이등변삼각형이다. (나) 삼각형 PRO는 RO RP인 이등변삼각형이다.  삼각형 POQ와 삼각형 PRO의 넓이를 각각 , 라 할 때, lim →    의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]       O P Q R ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. lim→   의 값을 구하시오. [3점] 23. 등차수열 에 대하여   ,   일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(나형) 10 12 24. 양수 에 대하여   의 최솟값을 구하시오. [3점] 25. 수열 이   이고, 모든 자연수 에 대하여      를 만족시킨다. 의 값을 구하시오. [3점] 26. 실수 전체의 집합 에서  로의 함수            ≥   가 일대일 대응이 되도록 하는 상수 의 값을 구하시오. [4점]  수학 영역(나형) 11 11 12 27. 수열 에 대하여           일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 직선   이 두 곡선     ,      과 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 자연수 에 대하여 직선    이 두 곡선     ,      과 만나는 점을 각각 P , Q이라 할 때, 사다리꼴 ABQP의 넓이를 이라 하자. lim→∞   의 값을 구하시오. [4점]       O A P B              Q 12 수학 영역(나형) 12 12 29. 그림과 같이 AB , BC , ∠B  인 삼각형 ABC의 변 AB 위를 움직이는 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 가 있다. AP (    )라 할 때, 원 가 삼각형 ABC와 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함수  가   에서 불연속이 되는 모든 실수 의 값의 합은   이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] A B C P  30. 자연수 에 대하여 부터 까지 정수가 하나씩 적힌  개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 과정을 번 반복할 때, 확인한 개의 수가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 이라 하자. (가) 꺼낸 공에 적힌 수는 먼저 꺼낸 공에 적힌 수보다 작지 않다. (나) 세 번째 꺼낸 공에 적힌 수는 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수보다 이 더 크다.        의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.