2017 6월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 5지선다형 1. 두 벡터          에 대하여 벡터      의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. sin  의 값은? [2점] ①    ②    ③   ④   ⑤   3. lim →   ln 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  와  는 서로 독립이고 P    , P∩     일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2018학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 함수    에 대하여 ′의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤   6. 매개변수 로 나타내어진 곡선      ,       에서   일 때,    의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   7. 자연수 을 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 부등식 log ≤ log   을 만족시키는 모든 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수      에 대하여 lim →   ′′  를 만족시키는 실수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 주축의 길이가 인 쌍곡선         의 점근선의 방정식이   ±   일 때,    의 값은? (단, 와 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 두 벡터          가 있다. 벡터   에 대하여 두 벡터   와     가 서로 평행할 때,    의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가            을 만족시킬 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 이틀 동안 진행하는 어느 축제에 모두 다섯 개의 팀이 참가하여 공연한다. 매일 두 팀 이상이 공연하도록 다섯 팀의 공연 날짜와 공연 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 공연은 한 팀씩 하고, 축제 기간 중 각 팀은 회만 공연한다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14.   ln의 값은? [4점] ① ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 그림과 같이  ,  ,  , 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 카드가 각각 장씩 장이 있다. 이 장의 카드 중에서 임의로 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 중에 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 장 이상일 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 실수 에 대하여 함수 는           ≤ ln    이다. 실수 에 대하여 직선   와 함수   의 그래프가 만나는 점의 개수를 라 하자. 함수 가    에서 불연속인 의 값이 한 개일 때, 의 값은? [4점] ①  ②    ③    ④    ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 서로 다른 개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수가 같으면 한 개의 동전을 번 던지고, 나온 눈의 수가 다르면 한 개의 동전을 번 던진다. 이 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수가 같을 때, 동전을 번 던졌을 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 좌표평면에서 점 P 는 시각   일 때  에서 출발하여 시각 에서의 속도가     sin  이고, 점 Q 는 시각   일 때 출발하여 시각 에서의 위치가 Qsin   cos  이다. 출발한 후 두 점 P Q 가 만나는 횟수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 다음은 에 대한 다항식   과    의 전개식에서   의 계수가 같게 되는 두 자연수 와  ≥의 값을 구하는 과정의 일부이다.  의 전개식에서   의 계수는  이다.         에서   을 전개하면   의 계수는 가 ×  이고,  을 전개하면   의 계수는  이다. 따라서   의 전개식에서   의 계수는 가 ×    이다. 그러므로   가 ×    이고, 이 식을 정리하여 를 에 관한 식으로 나타내면    나  이다. 여기서 는 자연수이고 은  이상의 자연수이므로  다 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 양수 와 실수 에 대하여 함수       이 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은? [4점] (가)   ln    를 만족시키는 모든 실수    에 대하여 ″ ″   이다. (나) 구간  ∞에서 함수 의 역함수가 존재하도록 하는 실수 의 최솟값을 이라 할 때,      이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 최고차항의 계수가 인 사차함수 에 대하여   ln  라 하고, 최고차항의 계수가 인 삼차함수 에 대하여   ln sin 라 하자. lim →  ′   , lim →   ′  ′    일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. C의 값을 구하시오. [3점]  23. 함수     에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24.        일 때, ln의 값을 구하시오. [3점]  25. 좌표평면 위의 점  을 지나고 벡터     에 평행한 직선이 축과 만나는 점을 A , 축과 만나는 점을 B 라 할 때, AB 의 값을 구하시오. [3점] 26. 그림과 같이 좌표평면에 점 A 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 원 위의 점 Q 에 대하여 ∠AOQ         라 할 때, 선분 OQ 위에  PQ  인 점 P 를 정한다. 점 P 의 좌표가 최대가 될 때 cos    이다. 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이고, 와 는 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 집합     의 부분집합 중 원소의 개수가 인 부분집합을 두 개 선택할 때, 선택한 두 집합이 서로 같지 않은 경우의 수를 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 OAB 에서 호 AB 의 삼등분점 중 점 A 에 가까운 점을 C 라 하자. 변 DE 가 선분 OA 위에 있고, 꼭짓점 G , F가 각각 선분 OC , 호 AC 위에 있는 정사각형 DEFG 의 넓이를 라 하자. 점 D 에서 선분 OB 에 내린 수선의 발을 P , 선분 DP 와 선분 OC 가 만나는 점을 Q 라 할 때, 삼각형 OQP 의 넓이를 라 하자. lim → ×   일 때, 의 값을 구하시오. (단,       이고, OD  OE이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 29. 좌표평면에서 중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 한 점을 A , 중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 한 점을 B 라 할 때, 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  OB⋅ OP  OA⋅ OP (나)  PA  PB    PA⋅ PB 의 최솟값은 이고 이때  OP  이다.  의 값을 구하시오. [4점] 30. 실수 와 함수   ln   (  인 상수)에 대하여 함수 를      라 하자. 함수   의 그래프가 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 가 되도록 하는 모든 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면   ⋯  (은 자연수)이다.    일 때, 함수 와 상수 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 는   에서 극솟값을 갖는다. (나)        × 의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 5지선다형 1. ×   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합    ,      에 대하여 집합 ∪의 모든 원소의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 그림은 두 함수    → ,    → 를 나타낸 것이다. ∘의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2018학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 두 사건  와  는 서로 독립이고 P    , P∩     일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤    6. 실수 에 대한 두 조건       ,      에 대하여 가 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 A 지점에서 출발하여 P 지점을 지나 B 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 자연수 을 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤   9. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →   lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 닫힌 구간   에서 함수    의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 두 함수     ,    에 대하여    ∘ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 실수 에 대하여 명제 ‘≥ 이면   ≥ 이다.’ 의 대우는? [3점] ①   이면    이다. ②   이면    이다. ③  ≤ 이면 ≤ 이다. ④    이면  ≤ 이다. ⑤ ≥ 이면   이다. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 함수      의 그래프의 두 점근선의 교점의 좌표가  일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 함수            ≠     이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 의 값은? (단, 와 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 공차가 양수인 등차수열  에 대하여 이차방정식    의 두 근이  ,  이다.       의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 함수       ≤      가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 의 값은? (단, 와 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각   에서의 위치 가       (는 상수) 이다. 점 P 의 운동 방향이 원점에서 바뀔 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC 이 있다. 그림과 같이 ∠ABC 의 이등분선과 ∠ACB 의 이등분선이 만나는 점을 A 라 하자. 두 선분 BA , CA 를 각각 지름으로 하는 반원의 내부와 정삼각형 ABC 의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림   에서 점 A 를 지나고 선분 AB 에 평행한 직선이 선분 BC 과 만나는 점을 B , 점 A 를 지나고 선분 AC 에 평행한 직선이 선분 BC 과 만나는 점을 C 라 하자. 그림   에 정삼각형 ABC 를 그리고, 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 정삼각형 ABC 의 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을   라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 다음은 에 대한 다항식   과    의 전개식에서   의 계수가 같게 되는 두 자연수 와  ≥의 값을 구하는 과정의 일부이다.  의 전개식에서   의 계수는  이다.         에서   을 전개하면   의 계수는 가 ×  이고,  을 전개하면   의 계수는  이다. 따라서   의 전개식에서   의 계수는 가 ×    이다. 그러므로   가 ×    이고, 이 식을 정리하여 를 에 관한 식으로 나타내면    나  이다. 여기서 는 자연수이고 은  이상의 자연수이므로  다 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 함수        (  인 상수) 의 그래프 위의 서로 다른 두 점 A , B 에서의 접선 , 의 기울기가 모두  이다. 곡선   에 접하고 축에 평행한 두 직선과 접선 , 으로 둘러싸인 도형의 넓이가 일 때, 의 값은? [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 함수         ≥  에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 의 개수는? [4점]   ≤≤인 두 자연수  , 의 모든 순서쌍  의 개수는  이상  이하이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. C의 값을 구하시오. [3점]  23. 함수     에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 전체집합        의 부분집합  에 대하여   ∩  ∅ 을 만족시키는 모든 집합  의 개수를 구하시오. [3점]  25. log    log 의 값을 구하시오. [3점] 26. 첫째항이 인 등비수열 에 대하여           일 때,      이다.  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 함수     의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 후, 축에 대하여 대칭이동 하였더니 함수     의 그래프와 일치하였다. 의 값을 구하시오. (단, ,  , 는 상수이다.) [4점] 28. 흰 공 개, 검은 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 , 이라 하자. 이 시행에서 ≥일 때, 꺼낸 흰 공의 개수가 일 확률은    이다.  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 29. 공차가 이 아닌 등차수열 이 있다. 수열 은    이고, 이상의 자연수 에 대하여       이 의 배수가 아닌경우    이 의 배수인경우 이다.    일 때,       이다.  의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 와 최고차항의 계수가 인 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)   이고 ′   ′ 인 실수 가 존재한다. (나) ′   ′  인 실수 가 존재한다. 의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.