2017 9월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 5지선다형 1. 두 벡터          에 대하여 벡터      의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →  sin 의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④   ⑤   3. 좌표공간의 두 점 A   B  에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  에 대하여 P    , P∩     일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 곡선     의 점근선과 곡선   log의 교점의 좌표는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. ≤≤일 때, 방정식  sin   의 모든 해의 합은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤  7.     인 실수 에 대하여 함수   은 닫힌 구간  에서 최솟값   , 최댓값 을 갖는다.  ×  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8.     ln  의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤   9. 다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 주축의 길이는? [3점] (가) 두 초점의 좌표는    이다. (나) 두 점근선이 서로 수직이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  10. A, A, A, B, B, C의 문자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝 모두에 A가 적힌 카드가 나오게 나열될 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 함수    의 역함수를 라 할 때,  ′의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 확률변수  는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따르고 다음 등식을 만족시킨다. P≤ ≤ P ≤    오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 의 값을 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤ ≤          이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 좌표공간에서 직선       와 직선 이 점   에서 수직으로 만난다. 직선 이 점   를 지날 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 두 이산확률변수  와  가 가지는 값이 각각 부터 까지의 자연수이고 P      P            이다. E   일 때, E 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 곡선         위의 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하고, 원점 O와 점 A 에 대하여 ∠APH  , ∠HPO   라 하자. tan    일 때, tan  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16.   인 실수 에 대하여 곡선   log와 원            의 두 교점을 P  Q 라 하자. 선분 PQ 가 원  의 지름일 때, 의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 좌표공간에 구         과 평면 위의 원      가 있다. 구 와 점 P에서 접하고 원  위의 두 점 Q, R를 포함하는 평면이 평면과 이루는 예각의 크기가   이다. 점 P의  좌표가 보다 클 때, 선분 QR의 길이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가   이고 모든 실수 에 대하여 ′  이다. 곡선    위의 점 A    에서 축에 내린 수선의 발을 B라 하고, 점 A를 지나고 점 A에서의 접선과 수직인 직선이 축과 만나는 점을 C라 하자. 모든 양수 에 대하여 삼각형 ABC의 넓이가      일 때, 곡선   와 축 및 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 좌표평면에서 원점 O가 중심이고 반지름의 길이가 인 원 위의 세 점 A, A, A에 대하여  OX≤ 이고  OX⋅ OA ≥       을 만족시키는 모든 점 X의 집합이 나타내는 도형을  라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.  OA   OA   OA이면 의 넓이는   이다. ㄴ.  OA    OA이고  OA   OA이면 는 길이가 인 선분이다. ㄷ.  OA⋅ OA  인 경우에, 의 넓이가   이면 점 A은 에 포함되어 있다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 다음은 명의 사람이 각자 세 상자 A, B, C 중 개의 상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를 구하는 과정이다. (단, 은 의 배수인 자연수이고 공은 구별하지 않는다.) 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(i) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ii) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(iii) 세 상자 중 두 상자 에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다. (i)의 경우 : 명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 개의 상자를 선택하는 경우의 수인 가 이다. (ii)의 경우 : 각 상자에   개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 이다. (iii)의 경우 : 두 상자 A, B에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 C에는 최대 개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 A, B에 각각   개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 A, B에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 나 이다. 그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 C × 나 이다. 따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 다 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 수열 이   ,        (≥) 이다. 구간  에서 정의된 함수 가 모든 자연수 에 대하여   sin   ≤≤  이다.     인 실수 에 대하여     을 만족시키는     의 값의 개수가 일 때, log cos의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. P의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수  cos 에 대하여 ′   의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 곡선    위의 점   에서의 접선의 기울기를 구하시오. [3점] 25. AB   ∠ACB  인 삼각형 ABC에 대하여 점 C를 지나고 평면 ABC에 수직인 직선 위에  CD  인 점 D가 있다. 삼각형 ABD의 넓이가 일 때, 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오. [3점] 26. 어느 회사에서 생산하는 초콜릿 한 개의 무게는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 초콜릿 중에서 임의추출한, 크기가 인 표본을 조사하였더니 초콜릿 무게의 표본평균의 값이 이었다. 이 결과를 이용하여, 이 회사에서 생산하는 초콜릿 한 개의 무게의 평균 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간을 구하면  ≤ ≤ 이다.     일 때, 의 값을 구하시오. (단, 무게의 단위는 g이고,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 P ≤ ≤   로 계산한다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 좌표평면에서 초점이 A    이고 꼭짓점이 원점인 포물선과 두 초점이 F  F′     인 타원의 교점 중 제사분면 위의 점을 P라 하자.  AF   PA  PF  FF′  PF′ 일 때, 타원의 장축의 길이는  이다.     의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.) [4점] 28. 그림과 같이 주머니 A에는 부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 장의 카드가 들어 있고 주머니 B와 C에는 부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 장의 카드가 각각 들어 있다. 갑은 주머니 A에서, 을은 주머니 B에서, 병은 주머니 C에서 각자 임의로 장의 카드를 꺼낸다. 이 시행에서 갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을이 꺼낸 카드에 적힌 수보다 클 때, 갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을과 병이 꺼낸 카드에 적힌 수의 합보다 클 확률이 이다. 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 12 12 29. 좌표공간에 세 점 O   A   B  가 있다. 점 P가  OB⋅ OP ,  OP≤ 를 만족시키며 움직일 때,  PQ ,  PQ⋅ OA≥   을 만족시키는 점 Q에 대하여  BQ의 최댓값과 최솟값을 각각   이라 하자.     일 때, 의 값을 구하시오. (단,  는 유리수이다.) [4점] 30. 함수   ln  에 대하여 이차함수 와 실수 는 다음 조건을 만족시킨다. 함수   는   에서 최솟값 를 갖고, 닫힌 구간  에서 최댓값 ln   를 갖는다.  ′    의 값을 구하시오. (단,      이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 5지선다형 1.    ×   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합     ,      에 대하여 집합 ∩의 모든 원소의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 그림은 함수    →  를 나타낸 것이다.    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. lim →∞  ×   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2018학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →  lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 서로 다른 개의 접시를 원 모양의 식탁에 일정한 간격을 두고 원형으로 놓는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 닫힌 구간  에서 함수      의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 함수      에 대하여 ′의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 실수 에 대하여 두 조건 , 가 다음과 같다.  : ≠,  : ≤≤ 다음 중 참인 명제는? [3점] ① → ② ∼→ ∼ ③ → ∼ ④ → ⑤ ∼→ 10. 개의 공에 각각 검은색과 흰색 중 한 가지 색이 칠해져 있고, 자연수가 하나씩 적혀 있다. 각각의 공에 칠해져 있는 색과 적혀 있는 수에 따라 분류한 공의 개수는 다음과 같다. (단위 : 개) 구분 검은색 흰색 합계 홀수  짝수  합계    개의 공 중에서 임의로 선택한 한 개의 공이 검은색일 때, 이 공에 적혀 있는 수가 짝수일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 두 수열 , 이 모든 자연수 에 대하여    을 만족시킨다.        일 때,      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) lim →∞     (나) lim →      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 두 실수  가   log ,   log  를 만족시킬 때,       의 값은? [3점] ① log  ② log  ③ log  ④ log  ⑤ log  14. 확률변수  는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따르고 다음 등식을 만족시킨다. P≤ ≤ P ≤    오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 의 값을 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤ ≤          이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. A, A, A, B, B, C의 문자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝 모두에 A가 적힌 카드가 나오게 나열될 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수   의 모든 순서쌍   의 개수는? [4점] (가)    (나)      ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 와 에 대하여   일 때,       일 때,     이다. 함수 가   에서 연속이고 lim →    lim →    일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 에 내접하는 정삼각형 ABC이 있다. 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 D이라 하고, 선분 AC을   로 내분하는 점을 E이라 하자. 점 A을 포함하지 않는 호 BC과 선분 BC로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 ADE의 내부를 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에 삼각형 ABD에 내접하는 원 와 원 에 내접하는 정삼각형 ABC를 그리고, 점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 D , 선분 AC를   로 내분하는 점을 E라 하자. 점 A를 포함하지 않는 호 BC와 선분 BC로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 ADE의 내부를 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim →∞ 의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 두 수열 , 은        이고, 모든 자연수 에 대하여         ,         을 만족시킨다.   일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 삼차함수 와 실수 에 대하여 곡선   와 직선   의 교점의 개수를 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.   이면 함수 는 상수함수이다. ㄴ. 삼차함수 에 대하여,   이면   인 가 존재한다. ㄷ. 함수 가 상수함수이면, 삼차함수 의 극값은 존재하지 않는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 실수   와 두 함수              ≤    ≥ ,    에 대하여, 합성함수 ∘는 실수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖는다. 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. P의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수    에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 함수     의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프가 점  를 지난다. 상수 의 값을 구하시오. [3점] 25. 첫째항과 공차가 같은 등차수열 이     를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 곡선    와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 대중교통을 이용하여 출근하는 어느 지역 직장인의 월 교통비는 평균이 이고 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 대중교통을 이용하여 출근하는 이 지역 직장인 중 임의추출한 명의 월 교통비의 표본평균을 라 할 때, P ≤   ≤  ≥  이 되기 위한 의 최솟값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, 교통비의 단위는 만 원이다.) [4점] 28. 두 이산확률변수  와  가 가지는 값이 각각 부터 까지의 자연수이고 P      P             P ≤ ≤  이다. E   일 때, E   이다. 의 값을 구하시오. [4점]         이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 12 12 29. 두 삼차함수 와 가 모든 실수 에 대하여       을 만족시킨다. 의 최고차항의 계수가 이고, 가   에서 극댓값을 가질 때, ′     이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 두 함수 와 가    ≤     ,     ≤      이다. 양의 실수 , ,      에 대하여, 함수 를     라 정의하자. 모든 실수 에 대하여 ≤ ≤ 일 때,    의 값이 최소가 되게 하는 , , 에 대하여 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.