2017 7월 학력평가 수학 문제 해설

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고 3 수학 영역 (가형) 1  1 12 5지선다형 1. 두 벡터     ,       에 대하여 벡터     의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. sin    의 값은? [2점] ①  ②    ③    ④    ⑤  3. 좌표공간의 두 점 A   , B    에 대하여 선분 AB 의 길이는? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  , 가 서로 독립이고 P     , P∩      일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2017학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (가형) 12 수학 영역 (가형) 고 3 2 12 5.     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 함수                  ≥  이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? (단, ≠ ) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 쌍곡선           의 두 초점을 F   , F′  이라 하자. 쌍곡선 위의 점 P 에 대하여 PF PF′ 의 값은? (단,   ) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 3  3 12 8. 숫자  ,  ,  ,  ,  중에서 중복을 허락하여 세 개를 택해 일렬로 나열하여 만든 세 자리 자연수가 홀수인 경우의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 매개변수    으로 나타내어진 함수      ,        에서    일 때,   의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④   ⑤  10. 한 개의 동전을  번 던질 때, 앞면이 뒷면보다  번 더 많이 나올 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤    4 수학 영역 (가형) 고 3 4 12 11.  ≤  ≤  일 때, 방정식 sincos    sin 의 모든 실근의 합은? [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    12. 어느 양계장에서 생산하는 계란  개의 무게는 평균이 g, 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양계장에서 생산하는 계란 중 임의로  개를 선택할 때, 이 계란의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤    P ≤  ≤            고 3 수학 영역 (가형) 5  5 12 13. 어느 고등학교의 전체 학생을 대상으로 생활복 도입에 대한 찬반투표를 한 결과 전체 학생의  %가 찬성하였고,  %는 반대하였다. 이 고등학교의 전체 학생의  %가 여학생이었고, 생활복 도입에 찬성한 학생의  %가 남학생이었다. 이 고등학교의 전체 학생 중 임의로 선택한 한 학생이 여학생일 때, 이 학생이 생활복 도입에 찬성하였을 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형을 밑면으로 하고 OA OB OC OD  인 정사각뿔 O  ABCD 가 있다. 두 선분 OA , AB 의 중점을 각각 P, Q 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 평면 OCD 위로의 정사영의 넓이는? [4점] O A B C D P Q ①   ②   ③  ④   ⑤  6 수학 영역 (가형) 고 3 6 12 15. 그림과 같이 곡선         와  축 및  직선    , 직선   로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을  축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점] O          ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 함수   tan           의 역함수를  라 할 때, 곡선    위의 점   에서의 접선의 기울기는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 7  7 12 17. 함수          가 열린 구간   ∞ 에서 증가할 때, 실수 의 최솟값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  18.  부터  까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는  개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로  개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을  번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로  ,  , 이라 하고, 이 세 수  ,  ,  중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수  라 하자. 예를 들어 P      이다. 다음은 확률변수  의 평균 E  를 구하는 과정의 일부이다. 세 수  ,  , 을 순서쌍       과 같이 나타내자. 세 수  ,  ,  중에서 최댓값을  , 최솟값을  라 하고    라 하자. ⑴    일 때 순서쌍      의 개수는 가 이고, P        × 가 ⑵ ≠ 일 때 ⅰ)    을 만족시키는 순서쌍       의 개수는  ×      이다. ⅱ)    를 만족시키는 순서쌍      의 개수는  ×       이다. ⋮ 그러므로  ≤  ≤  일 때, 순서쌍      의 개수는  ×       나  ×  이고 P         × ×       나 ×  ⑴, ⑵에 의하여 확률변수  의 평균 E  는 다음과 같다. E        × P             다      위의 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 ,  라 할 때,  ×  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역 (가형) 고 3 8 12 19. 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각   ≤  ≤ 에서의 위치    가    cos ,    sin  일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.     일 때, 점 P 의 속도는      이다. ㄴ. 점 P 의 속도의 크기의 최솟값은  이다. ㄷ. 점 P 가    에서    까지 움직인 거리는  이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 최고차항의 계수가  인 이차함수 에 대하여 함수 가          일 때, 함수  는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수  에 대하여  ′   ′ 이다. (나) 점   은 곡선    의 변곡점이다. 의 값은? [4점] ①   ln ②   ln ③   ln ④   ln ⑤ ln 고 3 수학 영역 (가형) 9  9 12 21. 그림과 같이 AB 이고 ∠ABC  ∠BAC 를 만족하는 삼각형 ABC 가 있다. 선분 AC 를 지름으로 하는 원과 직선 AB 가 만나는 점 중 A 가 아닌 점을 P , 점 P를 지나고 선분 BC 에 평행한 직선이 선분 AC 와 만나는 점을 Q라 하자. ∠BAC   라 할 때, 삼각형 APQ 의 넓이를  라 하자. lim →   의 값은? (단,       ) [4점] C A P B Q    ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 방정식       를 만족시키는 실수  의 값을 구하시오. [3점] 23. H   일 때, 자연수  의 값을 구하시오. [3점]  10 수학 영역 (가형) 고 3 10 12 24. 함수   log 의 그래프의 점근선이 직선    이고,    이다. 상수  ,  에 대하여  의 값을 구하시오. [3점] 25. 두 함수      ,      이 있다. 함수    ∘ 에 대하여 ′  일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점] 26. 서로 다른 인형  개를  개의 가방 A , B , C 에 남김없이 넣으려고 할 때, 각 가방에 인형을 적어도  개 이상 넣는 경우의 수를 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (가형) 11  11 12 27. 함수  가          를 만족시킬 때, ln 의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 초점이 F 인 포물선     가 있다. 포물선 위에 있고 제 사분면에 있는 점 A 에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점을 B 라 하자. AB  AF일 때, AB × AF의 값을 구하시오. [4점] B  A O F     12 수학 영역 (가형) 고 3 12 12 29. 평면 위에 반지름의 길이가  인 원  가 있다. 원  위의 두 점 A, B 에 대하여 AB   이고, 이 평면 위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다. (가)   AP  (나)  AB 와  AP 가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos  는 자연수이다. 원  위의 점 Q에 대하여  AP∙ AQ 의 최댓값을 구하시오. [4점] 30. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 가 있다. 함수 가     ′  일 때, 함수  는 다음 조건을 만족시킨다.  (가) 함수 는    에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 의 최댓값은  이다. (다) 방정식    의 근은 모두 유리수이다.   의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 고 3 수학 영역 (나형) 1  1 12 5지선다형 1.  × 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. loglog  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim→   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 수열 , 에 대하여        ,         일 때,       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2017학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (나형) 12 수학 영역 (나형) 고 3 2 12 5. 두 사건  ,  가 서로 독립이고 P     , P∩      일 때, P  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 함수        에 대하여  ′ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 집합    ,         에 대하여 ∩   를 만족시키는 실수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 3  3 12 8. 닫힌 구간    에서 정의된 함수   의 그래프가 그림과 같다.        O      lim →    lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9.       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 함수     의 그래프를  축의 방향으로 만큼,  축의 방향으로  만큼 평행이동한 그래프의 점근선은 두 직선    ,    이다. 두 상수 ,  에 대하여  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역 (나형) 고 3 4 12 11. 실수  에 대한 두 조건  ,  가    ≤  ≤  ,      ≤   일 때, 명제  →  가 참이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 함수                  ≥   에 대하여 ∘  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 5  5 12 13. 흰 공  개와 빨간 공  개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로  개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸  개의 공 중 흰 공의 개수가  이상일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 어느 고등학교의 전체 학생은  명이고, 진로 체험 행사에 참가한 학생 수와 참가하지 않은 학생 수는 다음과 같다. (단위 : 명) 구분 남학생 여학생 참가한 학생 수   참가하지 않은 학생 수    이 고등학교 학생 중 임의로 선택한  명의 학생이 진로 체험 행사에 참가한 학생일 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  6 수학 영역 (나형) 고 3 6 12 15. 어느 양계장에서 생산하는 계란  개의 무게는 평균이 g, 표준편차가 g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양계장에서 생산하는 계란 중 임의로  개를 선택할 때, 이 계란의 무게가 g 이상이고 g 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 수열 의 각 항이          ⋮    ⋯   ⋮  일 때, log    ×   ×   × ⋯ ×    의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤  ≤            고 3 수학 영역 (나형) 7  7 12 17. 최고차항의 계수가  인 삼차함수  에 대하여 곡선    위의 점     에서의 접선이 점      에서 이 곡선과 만날 때,  ′ 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC이 있다. 세 선분 AB , BC , CA의 중점을 각각 L , M , N이라 하고, 중심이 M , 반지름의 길이가 MN 이고 중심각의 크기 가 인 부채꼴 MNL을 그린 후 부채꼴 MNL의 호 NL과 두 선분 AL , AN로 둘러싸인 부분인 모양 의 도형을 이라 하자. 두 정삼각형 LBM과 NMC에 도형 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 각각의 부채꼴의 호와 두 선분으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 각각  , 이라 하자. 정삼각형 ABC에서 세 도형  ,  , 으로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 부채꼴 MNL의 호 NL을 이등분하는 점을 A라 할 때, 부채꼴 MNL에 내접하는 정삼각형 ABC를 그리고 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] A B M L C N    A M B L C N   ⋯  ⋯ ①    ②    ③    ④    ⑤    8 수학 영역 (나형) 고 3 8 12 19.  부터  까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는  개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로  개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을  번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로  ,  , 이라 하고, 이 세 수  ,  ,  중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수  라 하자. 예를 들어 P      이다. 다음은 확률변수  의 평균 E 를 구하는 과정의 일부이다. 세 수  ,  , 을 순서쌍      과 같이 나타내자. 세 수  ,  ,  중에서 최댓값을  , 최솟값을  라 하고   라 하자. ⑴    일 때 순서쌍       의 개수는 가 이고, P        × 가 ⑵ ≠ 일 때 ⅰ)    을 만족시키는 순서쌍      의 개수는  ×      이다. ⅱ)    를 만족시키는 순서쌍       의 개수는  ×       이다. ⋮ 그러므로  ≤  ≤  일 때, 순서쌍       의 개수는  ×       나  ×  이고 P         × ×       나 ×  ⑴, ⑵에 의하여 확률변수  의 평균 E 는 다음과 같다. E        × P             다      위의 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 ,  라 할 때,  ×  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 에 대하여       라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.  ′   ㄴ. 양수  에 대하여    이면 방정식    은 열린 구간    에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ㄷ. 양수  에 대하여      이면 모든 실수  에 대하여    ≥  이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (나형) 9  9 12 21. 실수  에 대하여  에 대한 사차방정식      의 서로 다른 실근의 개수를  라 하자. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) lim→∞      (나)     함수  가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 공비가  인 등비수열 에 대하여    일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. P C의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (나형) 고 3 10 12 24. 함수                ≥   가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점] 25. 함수       에 대하여 lim→   의 값을 구하시오. [3점] 26. 첫째항이 , 공차가 인 등차수열 에 대하여             일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (나형) 11  11 12 27. 최고차항의 계수가  인 삼차함수 가 있다. 양수  에 대하여 곡선   와  축이 만나는 서로 다른 세 점의  좌표가  ,  ,  일 때,  ′의 최댓값을 구하시오. [4점] 28. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수의 개수를 구하시오.[4점] (가) 네 자리의 홀수이다. (나) 각 자리의 수의 합이  보다 작다. 12 수학 영역 (나형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 자연수  에 대하여 곡선     위의 점 P      에서의 접선을 이라 하고, 직선 이  축과 만나는 점을 Y이라 하자.  축에 접하고 점 P에서 직선 에 접하는 원을  ,  축에 접하고 점 P에서 직선 에 접하는 원을  ′ 이라 할 때, 원 과  축과의 교점을 Q , 원  ′ 과  축과의 교점을 R이라 하자. lim→∞ YR O Q   라 할 때,  의 값을 구하시오. 단, O 는 원점이고, 점 Q의  좌표와 점 R의  좌표는 양수이다. [4점]      P Q R Y O     ′ 30. 좌표평면에서  이상의 자연수  에 대하여 영역     ≤  ≤    ≤  ≤    에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점을 동시에 선택하는 경우의 수를  이라 하자. (가) 두 점의  좌표와  좌표가 모두 정수이다. (나) 두 점의 중점의  좌표와  좌표가 모두 정수이다.  예를 들어    이다.  ≤  을 만족시키는 자연수  의 최댓값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.