2017 3월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 5지선다형 1. sin   의 값은? [2점] ①    ②    ③    ④   ⑤   2. C 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 함수        에 대하여  ′의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.      ln  의 값은? [3점] ① ln ②  ③ ln ④  ⑤ ln 2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제 2 교시 수학 영역(가형) 2━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 좌표평면에서 곡선     을 직선   에 대하여 대칭이동한 곡선이 점  을 지날 때, 양수 의 값은? [3점] ①  ② log  ③   ④   ⑤ log  6. 함수   sin   의 최댓값은 이고 주기는 이다. 두 양수 , 의 합 의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤   7. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선   log,   log   가 만나는 점의 좌표를 이라 할 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 곡선   ln  의 변곡점에서의 접선의 기울기는? [3점] ①    ②    ③   ④    ⑤   9. 곡선   sin  cos  ≤  ≤   와 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3점] ①   ②   ③   ④  ⑤  10. 점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 ,  인 두 원  , 가 있다. 원  위의 두 점 P, Q 와 원  위의 점 R 에 대하여 ∠QOP , ∠ROQ 라 하자. OQ⊥QR 이고 sin    일 때, cos의 값은? (단,       ,       ) [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(가형) 4━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 그림과 같이 두 곡선   log,   log (     )와 직선   이 만나는 점을 A , B이라 하고, 직선   가 만나는 점을 A , B라 하자. 선분 AB의 중점의 좌표는  이고  AB 일 때, AB 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12.       인 자연수 , , 에 대하여 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 , , 인 세 자리의 자연수 중 보다 크고 보다 작은 모든 자연수의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 좌표평면 위의 한 점 P 을 지나는 직선   와 두 곡선   ln,   ln가 만나는 점을 각각 A, B 라 하자. 삼각형 AQB 의 넓이가 이 되도록 하는 축 위의 점을 Q 라 할 때, 선분 PQ 의 길이를 라 하자. lim → 의 값은? (단, 점 Q 의 좌표는 보다 작다.) [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   14. 모든 실수 에 대하여   이고,  ≤   일 때       인 함수 가   에서 극댓값을 갖는다. 구간  에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 의 값의 곱은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 6━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 여학생 명과 남학생 명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가  ×일 때, 자연수 의 값은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 연속함수 가      ,         를 만족시킨다.      라 할 때,    의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 가 있다. 호 AB 위의 점 P 에 대하여 점 B 에서 선분 OP 에 내린 수선의 발을 Q, 점 Q 에서 선분 OB 에 내린 수선의 발을 R 라 하자. ∠BOP  일 때, 삼각형 RQB 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 하자. lim →     의 값은? (단,       ) [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   18. 그림은 함수        의 그래프이다. 함수   ∘의 그래프와 직선       의 교점의 개수는? (단, lim →∞    ) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 8━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 곡선     과 축 및 직선    로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    20. 그림과 같이 가로로 개, 세로로 개씩 총 개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다.    개  첫째 줄 둘째 줄 이 타일 중에서 개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일이 이어 붙지 않은 경우와 이어 붙은 경우의 한 예이다. 이어 붙지 않은 경우 : 이어 붙은 경우 : 다음은 ≥ 일 때, 검은색으로 칠할 타일 개를 고르는 경우의 수  을 구하는 과정이다. 첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를  (    )이라 하면 (ⅰ)   일 때 둘째 줄에 있는 개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 개를 고르는 경우의 수는 가 이다. (ⅱ)   일 때 둘째 줄에 있는 개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 개를 고르는 경우의 수는 H 이고, 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 개를 고르는 경우의 수는 나 이므로, 검은색으로 칠할 타일 개를 고르는 경우의 수는 H  × 나 이다. (ⅲ)  일 때 (ⅱ)와 같은 방법으로 구할 수 있다. (ⅳ)  일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구할 수 있다. 따라서       이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 구간    에서 정의된 연속함수 에 대하여 함수      ( ≤  ≤  ) 은 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)        <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ.    ㄴ.       ㄷ.              ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 부등식    ≤   을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [3점] 23. 함수    sin  일 때, lim →   의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(가형) 10━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 구간  ∞에서 정의된 함수      의 역함수를 라 할 때,  ′의 값을 구하시오. [3점] 25. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 반원 위에서 호 BC 의 길이가 인 점 C 를 잡고 점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H라 하자. C H  의 값을 구하시오. [3점] 26. 다음 조건을 만족시키는 네 자연수 , , , 로 이루어진 모든 순서쌍    의 개수를 구하시오. [4점] (가)   (나) ×××는 의 배수이다. 수학 영역(가형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 그림과 같이 곡선     을 축에 대하여 대칭이동한 후, 축의 방향으로   만큼, 축의 방향으로   만큼 평행이동한 곡선을   라 하자. 곡선   와 직선   이 만나는 점 A와 점 B  사이의 거리를 라 할 때,     의 값을 구하시오. [4점] 28. 연속함수 와 그 역함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)   ,   ,    (나) ≠인 모든 실수 에 대하여  ″  이다. (다)     ,        의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 12━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 그림과 같은 개의 사물함 중 개의 사물함을 남학생 명과 여학생 명에게 각각 개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점] 3층 → 2층 → 1층 → 30. 그림과 같이 제사분면에 있는 점 P 에서 곡선      에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B 라 할 때,  PA    PB   AB  의 최솟값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 5지선다형 1.      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합       ,      에 대하여  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞        의 값은? [2점] ①  ②   ③  ④   ⑤  4. 수열 이 모든 자연수 에 대하여    을 만족시킨다.   일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 1 제 2 교시 수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 수열 에 대하여   ∞    일 때, lim →∞ 의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   6. 함수      의 그래프는 함수      의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. 의 값은? (단,   은 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   에 대하여      일 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. log   , log   라 할 때, log   를 , 로 나타낸 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 9. 수열 이 모든 자연수 에 대하여   ,        를 만족시킬 때,     이 되도록 하는 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 실수 , 에 대한 두 조건    ≥이고  ≥,         에 대하여 가 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 첫째항이 양수인 등비수열  이    ,     를 만족시킬 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 실수 에 대한 조건 ‘모든 실수 에 대하여     ≥이다.’ 가 참인 명제가 되도록 하는 상수 의 최댓값을  , 최솟값을 이라 하자.  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 집합       에 대하여 일대일 대응인 함수    →  가 다음 조건을 만족시킨다. (가)      (나)      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림과 같이 자연수 에 대하여 직선     과 원      의 두 교점을 각각 A , B이라 하자. 선분 AB의 길이를 이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 그림과 같이 좌표평면에 두 함수     ,    의 그래프가 있다. 곡선    위의 한 점 P     (  ) 에서 축에 내린 수선의 발을 Q이라 하자. 선분 OQ 을 한 변으로 하는 정사각형 OQAB 의 한 변 AB 가 곡선   와 만나는 점을 P , 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 Q 라 하자. 선분 OQ 를 한 변으로 하는 정사각형 OQCD 의 한 변 CD 가 곡선   와 만나는 점을 P , 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 Q 이라 하자. 두 점 Q , Q의 좌표를 각각 , 라 할 때,   가 되도록 하는 점 P의 좌표의 값은? (단, O 는 원점이고, 두 점 A, C 는 제사분면에 있다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 두 함수 , 가     ,     가 정수인 경우  가 정수가 아닌 경우 일 때, 방정식 ∘  을 만족시키는 모든 자연수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 함수      ≥      의 역함수 에 대하여 부등식 ≤     의 해가  ≤ ≤일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 다음은  이상의 자연수 에 대하여 함수    의 그래프와 축 및 직선     으로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수 을 구하는 과정이다.  일 때, 곡선    , 축 및 직선   로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 정수인 점은  ,  이므로   가 이다.  이상의 자연수 에 대하여 을 구하여 보자. 위의 그림과 같이  ≤ ≤인 정수 에 대하여 주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 좌표가 정수이고, 좌표가 인 점은         ⋯   나   이므로 이 점의 개수를 라 하면   나   이다. 따라서          다 이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 가 있다. 이 정사각형에 내접하는 원을  이라 하자. 원  이 변 BC, CD 와 접하는 점을 각각 E, F라 하고, 점 F를 중심으로 하고 점 E 를 지나는 원을 라 하자. 원 의 내부와 원  의 외부의 공통부분인 모양의 도형과, 원 의 외부와 원  의 내부 및 정사각형 ABCD의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 두 꼭짓점이 변 CD 위에 있고 나머지 두 꼭짓점이 정사각형 ABCD의 외부에 있으면서 원  위에 있는 정사각형 PQRS를 그리고, 이 정사각형 안에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점]   …  … ①   ②   ③   ④   ⑤   20. 실수 에 대한 두 조건       ,        ≥  이 모두 참이 되도록 하는 정수 가 오직 하나 존재할 때, 모든 정수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 자연수 에 대하여 집합  을             는 자연수 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ.        ㄴ. 자연수 에 대하여    이면     이다. ㄷ.     이 되도록 하는 두 자리 자연수 의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22.      ×log 의 값을 구하시오. [3점] 23. 등차수열 에 대하여   ,    일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 두 수열 , 이 lim →∞    , lim →∞      를 만족시킬 때, lim →∞   의 값을 구하시오. [3점] 25.  ≤ ≤일 때, 함수     의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자.   일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점] 26. 수열 이 모든 자연수 에 대하여   ,      을 만족시킬 때,   ∞       이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 함수        에 대하여 부등식      (     ⋯ ) 을 만족시키는 정수 의 값을 이라 하자.           일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 어느 날 개의 놀이 기구 A, B 가 있는 놀이공원에 다녀온 명의 학생을 대상으로 그날 어떤 놀이 기구를 이용했는지 조사하였더니 놀이 기구 A 를 이용한 학생은 명, 놀이 기구 B 를 이용한 학생은 명이었다. 놀이 기구 A, B 를 모두 이용한 학생 수의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,  의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(나형) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29.  이상의 자연수 에 대하여 log (은  ≤ ≤ 인 자연수) 가 자연수인 의 개수를 라 하자. 예를 들어,   ,   이다. 집합         의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여 집합 에서 집합 로의 대응  를    (∈ ) 로 정의하면 어떤 대응  는 함수가 된다. 함수  가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 의 개수를 구하시오. [4점] 30. 자연수 전체의 집합의 부분집합  가 상수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나) ∈ 일 때, 가 홀수이면   ∈, 가 짝수이면   ∈이다. ∈ 일 때, 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.