2017 10월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 5지선다형 1. 부등식 log ≤ 를 만족시키는 정수 의 개수는? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 원점 O 와 평면     사이의 거리는? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 두 사건 , 가 서로 배반사건이고, P     , P      일 때, P∪ 의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4.     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제 2 교시 수학 영역(가형) 2━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.     계 P         이 모집단에서 크기가  인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을  라 하자. E     일 때,  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 좌표공간에서 두 점 A   , B    를 지름의 양 끝점으로 하는 구  가 있다. 구  위의 한 점 C  에 대하여 삼각형 ABC 의 넓이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   coscos sinsin 의 주기는? [3점] ①  ②    ③    ④  ⑤    수학 영역(가형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 그림과 같이 포물선     위의 점 A 에서 축에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 포물선     의 초점 F 에 대하여 AF 일 때, 삼각형 AFH 의 넓이는? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  9. 일렬로 나열된 개의 좌석에 세 쌍의 부부가 임의로 앉을 때, 부부끼리 서로 이웃하여 앉을 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 타원         위의 점 P와 두 초점 F, F′에 대하여   PF  PF′ 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 4━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 그림의 네 지점 A, B, C, D 에서 산책로 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ 중 한 산책로를 지나갈 확률을 표로 나타내면 다음과 같다.  A 지점을 출발하여 D 지점으로 이동할 때, 한 번 지난 산책로를 다시 지나지 않는 사건을  , 산책로 ㉣ 또는 ㉤을 지나는 사건을  라 하자. P  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 그림과 같이 BC , ∠ABC   , ∠ACB   인 삼각형 ABC 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 하자.   tan   일 때, ′  의 값은? (단,      ) [3점] ①  ②    ③   ④   ⑤  수학 영역(가형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 그림과 같이  개의 섬이 다리로 연결되어 있다. 흰색, 노란색, 파란색 깃발이 각각 개씩 총  개 있을 때, 이  개의 깃발을 섬에 한 개씩 세우고자 한다. 다리로 연결된 이웃한 두 섬에는 같은 색의 깃발을 세우지 않는다고 할 때, 깃발을 세우는 경우의 수는? (단, 같은 색의 깃발끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 미분가능한 두 함수 , 에 대하여 는 의 역함수이다.   ,   일 때,   ′    ′    의 값은? [4점] ①   ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 6━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 와 모든 모서리의 길이가 인 사각뿔 G  EDCF 가 있다. 네 점 B, C, D, G 가 한 평면 위에 있을 때, 평면 ACD 와 평면 EDCF 가 이루는 예각의 크기를  라 하자. cos 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 연속함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ≠인 실수  에 대하여   ′      (나)       의 값은? [4점] ① ln  ② ln  ③ ln  ④ ln  ⑤ ln  수학 영역(가형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17.   인 실수 에 대하여 곡선   ln 와 직선    가 만나는 점을 P 라 하자. 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H , 직선 PH 와 곡선     이 만나는 점을 Q 라 할 때, 삼각형 OHQ 의 넓이를  라 하자. lim →     의 값은? [4점] ①  ②    ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OABC 가 있다. 점 C 에서 모서리 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 HC 를 등분하여 각 분점을 차례로 P( H), P , P , ⋯ , P   , P( C)라 하자.        OH⋅ OP 라 할 때, lim →∞   의 값은? (단, 은  이상의 자연수이다.) [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   수학 영역(가형) 8━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19.  이상의 자연수 에 대하여  ≤    ≤ ,  ≤    ≤ 을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선   ,   ,   ,    로 둘러싸인 직사각형의 둘레의 길이가 이 되도록 자연수 , , , 를 택한다. 다음은  의 값을 확률변수  라 할 때 E    임을 보이는 과정이다. 확률변수  가 가질 수 있는 가장 작은 값은 , 가장 큰 값 은 가 이다.   일 때,   이므로  ≤  ≤ 이고,    이므로  ≤  ≤ 나 이다. 그러므로 P       가  × × 나 이다. 따라서 E   가 ×P    다    가 × × 나    이다.  위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때, ×  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 쌍곡선        위의 점 P 와  축 위의 점 A 이 있다. AP 의 최솟값을 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ.    ㄴ. 방정식     의 실근의 개수는 이다. ㄷ. 함수 가 미분가능하지 않은  의 값의 개수는  이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(가형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 AB 위의 점 P 에 대하여 두 점 A, P 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. ∠PAB   일 때, 포개어지는 부분의 넓이를  라 하자.   에서  가 최댓값을 갖는다고 할 때, cos의 값은? (단,      ) [4점] ➡ ①   ②    ③   ④   ⑤   단답형 22. 정규분포 N 를 따르는 확률변수  에 대하여 함수   P  ≤  ≤   는   일 때 최댓값을 갖는다. 상수 의 값을 구하시오.[3점] 23. 다섯 개의 숫자 , , , ,  중에서 중복을 허용하여  개의 숫자를 뽑아 세 자리의 자연수를 만들 때, 홀수의 개수를 구하시오. [3점] 수학 영역(가형) 10━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 곡선        위의 점 A 에서의 접선의 기울기가   일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 25. 함수            ≥   은   에서 미분가능하다.    일 때, 상수 의 값을 구하시오. (단, 와 는 상수이다.) [3점] 26. 집합        에 대하여  에서  로의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 는 일대일 대응이다. (나)  ≤  ≤ 일 때,     이다.  함수 의 개수를 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 안에 중심각의 크기가  이고 반지름의 길이가 인 부채꼴 BCA 가 있다. 호 AC 위의 점 P 에서의 접선이 선분 CD 와 만나는 점을 Q , 선분 BP 의 연장선이 선분 CD 와 만나는 점을 R 라 하자. ∠PBC   일 때, 삼각형 PQR 의 넓이를 라 하자. lim  →      의 값을 구하시오. (단,      ) [4점] 28. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 내부에 선분 AB와 선분 BC에 접하고 반지름의 길이가  인 원 과 선분 AD와 선분 CD 에 접하고 반지름의 길이가  인 원  가 있다. 원  과 선분 AB 의 접점을 P 라 하고, 원  위의 한 점을 Q 라 하자.  PC⋅ PQ 의 최댓값을  라 할 때,  의 값을 구하시오. (단, 와  는 유리수이다.) [4점] 수학 영역(가형) 12━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 좌표공간에 평면    위의 원        을 밑면으로 하고 꼭짓점이 원점인 원뿔이 있다. 원  와 한 점 P  에서만 만나는 평면  가 이 원뿔과 만나서 생길 수 있는 도형 중 한 타원을  라 하자. 타원  의  평면 위로의 정사영은 장축의 길이가   인 타원이다. 평면  와  축이 만나서 생기는 좌표가   일 때, 의 값을 구하시오.[4점] 30. 그림과 같이 길이가  인 선분 AB 위의 점 P 를 지나고 선분 AB 에 수직인 직선이 선분 AB 를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 Q 라 하자. AP 라 할 때,  를 다음과 같이 정의한다.      일 때  는 두 선분 AP, PQ 와 호 AQ 로 둘러싸인 도형의 넓이이고,    일 때  는 선분 AB 를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.     sin  cos   일 때,   의 값을 구하시오. (단,  와 는 유리수이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.  1 12 5지선다형 1.    ×의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합      ,       에 대하여 ∪의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞          의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  와  는 서로 독립이고 P∩   , P∩      일 때, P 의 값은? (단,   은 의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 1 제 2 교시 수학 영역(나형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 그림은 두 함수    → ,    → 를 나타낸 것이다.     ∘ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 등차수열 에 대하여 세 수  ,   ,   이  이 순서대로 등차수열을 이룰 때,   의 값은? (단,  ≠) [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   7. 함수   의 그래프가 그림과 같다.  lim →   lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 실수 에 대한 두 조건       ≤   ≤  에 대하여 명제  → 가 참이 되도록 하는 양수 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 다항함수 가 모든 실수 에 대하여          을 만족시킬 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 어느 고등학교에서 학년 학생 명의 대학 탐방 활동을 계획했다. 아래 표는 해당 대학 A, B에 대한 학생들의 희망을 조사한 결과이다. 반 성별 대학 합계 A B 반 남     여    반 남     여    반 남     여    합계    (단위: 명)  이 명의 학생 중에서 임의로 선택한 한 학생이 A 대학의 탐 방을 희망한 학생일 때, 이 학생이 반 여학생일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(나형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. A, B를 포함한 명의 요리 동아리 회원 중에서 요리 박람회에 참가할 명의 회원을 임의로 뽑을 때, A 또는 B가 뽑힐 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각   ≥에서의  속도 가      이다.   에서의 점 P 의 가속도가 일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 등차수열 이   ,   일 때, lim →∞    의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  14. 함수     의 정의역과 치역이 같다. 곡선   의 두 점근선의 교점이 직선    위에 있을 때, 의 값은? (단, 와 는  이 아닌 상수이다.) [4점] ①    ②    ③  ④   ⑤  수학 영역(나형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.     계 P          이 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 라 할 때, V 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 함수 를           ≥  라 하자. 양의 실수 에 대하여     의 최댓값은? [4점] ①  ②   ③   ④  ⑤   수학 영역(나형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 최고차항의 계수가 인 이차함수 가 lim →       , lim →∞      을 만족시킬 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 반지름의 길이가  인 원 가 있다. 그림과 같이 원  위의 한 점 A 에 대하여 정삼각형 ABC 를 높이가 원 의 반지름의 길이와 같고 선분 BC 의 중점이 원  위의 점이 되도록 그린다. 그리고 정삼각형 ABC 와 합동인 정삼각형 DEF를 점 D 가 원  위에 있고 네 점 B, C, E, F가 한 직선 위에 있도록 그린다. 원 의 내부와 정삼각형 ABC 의 내부의 공통부분인 모양의 도형과 원 의 내부와 정삼각형 DEF의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 두 선분 AC, DE 에 동시에 접하고 원 에 내접하는 원을 그린 후, 새로 그려진 원에 그림  을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점]   ⋯  ⋯ ①  ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(나형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 점 P 가 수직선 위의 원점에 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 의 약수이면 점 P 를 양의 방향으로 만큼, 의 약수가 아니면 음의 방향으로 만큼 움직이는 시행을 반복한다. 점 P 의 좌표가  이상 또는  이하가 되거나 시행 횟수가 회가 되면 위 시행을 멈춘다고 할 때, 점 P 의 최종 위치의 좌표를 확률변수  라 하자. 다음은 확률변수  의 평균 E 를 구하는 과정이다. 위의 시행을 회 이하로 하게 되는 경우는 의 약수인 눈이 처음부터 연속으로 회 나오거나 의 약수가 아닌 눈이 처음부터 연속으로 회 나오는 경우뿐이다. 확률변수  가 가질 수 있는 값의 최솟값은 이고 최댓값은 가 이다. P       P    나 ×       P   C        P   C       P   C       P    다 ×       P  가      따라서 E      위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ′    (나) 함수 는   에서 극댓값 를 갖는다. (다) 방정식   는 서로 다른 두 실근을 갖는다.  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 자연수 과 두 함수     ,    에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 P 의 개수를  이라 하자. (가) 두 수 , 는 자연수이다. (나)   ≤,      ≤  ≤ 을 만족시키는 모든  의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. P  을 만족시키는 자연수  의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수       에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(나형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 전체집합  의 두 부분집합 , 가  ∩   ,        을 만족시킬 때, 집합 의 모든 원소의 합을 구하시오.[3점] 25. 수열 에 대하여       log     일 때,      의 값을 구하시오. [3점] 26. 함수     의 그래프와 직선   가 만나는 교점의 개수를 라 할 때,     의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(나형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 확률변수  는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따르고   P ≤라 하자. 이 자연수이고   ≤   ≤ ,       일 때,  를 만족시키는 상수 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. [4점] 28. 다음 조건을 만족시키는 세 자연수 , , 의 모든 순서쌍   의 개수를 구하시오. [4점] (가)    (나) ≠  P ≤ ≤         수학 영역(나형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P 의 좌표를  라 하자. 두 점 Q , Q 에 대하여 점 P이 삼각형 QQ Q 의 무게중심이 되도록 점 Q  를 정한다. 두 점 Q , Q 의 좌표가 각각  ,  이고 점 Q의 좌표가  이다. 점 Q의 좌표를  라 할 때, 의 값을 구하시오. (단,   ) [4점] 30. 함수  에 대하여 함수 는               ≥  이다. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 의 값의 합을 구하시오. (단,   ) [4점] (가) 함수 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) ′  ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.