2020년 4월 학력평가 수학 문제 해설 - 2020.4.24.

 

수학 가형 문제(2020-05-08 / 769.3KB / 175회)

 

수학 가형 해설(2020-05-08 / 412.8KB / 154회)

 

수학 나형 문제(2020-05-08 / 816.4KB / 146회)

 

수학 나형 해설(2020-05-08 / 684.6KB / 145회)

 

 1 12 5 지 선 다 형 1.    ×   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 등차수열 에 대하여   ,    일 때,  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim  → ∞             의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 함수      에 대하여 lim  →       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2020학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제2교시 2 수학 영역(가형) 고 3 2 12 5. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을   이라 할 때,      이다.    을 만족시키는 자연수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 부등식 log        을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 숫자 , , ,  중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만든 네 자리 자연수가  보다 작은 경우의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 함수    의 그래프가 그림과 같다. lim  →      lim  →    의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역(가형) 3 3 12 9. 수열 은    이고, 모든 자연수 에 대하여                 (이 소수인 경우) (이 소수가 아닌 경우) 를 만족시킨다.  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 그림과 같이 두 함수      와   의 그래프가 두 점 A, B 에서 각각 접한다. 두 함수      와   의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단,  는 상수이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4 수학 영역(가형) 고 3 4 12 11. 흰 공  개, 빨간 공  개, 검은 공  개를 일렬로 나열할 때, 흰 공은 서로 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 두 함수                     ≥  ,        에 대하여 함수  가 실수 전체의 집합에서 연속일 때,    의 값은? (단, ,  는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역(가형) 5 5 12 13. 공비가  보다 큰 등비수열 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)  × ×   (나)         의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤  14. 함수   log  의 그래프와 함수   log     의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A, B 라 하자. 점 A 를 지나고 직선 AB 와 수직인 직선이  축과 만나는 점을 C 라 할 때, 삼각형 ABC 의 넓이는? (단, 점 A 의  좌표는 점 B 의  좌표보다 작다.) [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   6 수학 영역(가형) 고 3 6 12 15. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각   ≥  에서의 속도  의 그래프가 그림과 같다. 점 P 가 출발한 후 처음으로 운동 방향을 바꿀 때의 위치는   이고 점 P 의 시각    에서의 위치는   이다.          일 때, 점 P 가    부터    까지 움직인 거리는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 함수  가 모든 실수  에 대하여         를 만족시킨다.    일 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역(가형) 7 7 12 17.      인 실수 에 대하여 원점에서 곡선       에 그은 두 접선의 기울기의 곱의 최솟값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 다음은  ≤   ≤  을 만족시키는 두 정수 , 에 대하여 의 제곱근 중에서 실수인 것이 존재하도록 하는 순서쌍   의 개수를 구하는 과정이다. (ⅰ)    인 경우 의 값에 관계없이 의 제곱근 중에서 실수인 것이 존재한다. 그러므로    인 순서쌍   의 개수는 가 이다. (ⅱ)    인 경우 이 홀수이면 의 제곱근 중에서 실수인 것이 항상 존재한다. 한편, 이 짝수이면 의 제곱근 중에서 실수인 것은 존재하지 않는다. 그러므로    인 순서쌍   의 개수는 나 이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 의 제곱근 중에서 실수인 것이 존재하도록 하는 순서쌍   의 개수는 가  나 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 ,  라 할 때,    의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역(가형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 중심이 O 이고 반지름의 길이가   인 원에 내접하는 예각삼각형 ABC 에 대하여 두 삼각형 OAB, OCA 의 넓이를 각각  ,   라 하자.      이고 BC  일 때, 선분 AB 의 길이는? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  20. 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 O  , A  , B   , C    과 점 P      에 대하여 직선  이 정사각형 OABC 의 넓이와 직각삼각형 AOP 의 넓이를 각각 이등분한다. 양의 실수  에 대하여 직선  의  절편을  라 할 때, lim  →    의 값은? [4점] ①     ②    ③    ④  ⑤    고 3 수학 영역(가형) 9 9 12 21.  이 아닌 실수 에 대하여 두 함수     ,                     ≥  이 있다. 실수  에 대하여  와  중 크지 않은 값을  라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ.     일 때,      이다. ㄴ.     일 때, 함수  가 미분가능하지 않은  의 개수 는  이다. ㄷ. 함수  가 미분가능하지 않은  의 개수가  인 양수 의 최댓값은  이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 함수       에 대하여  ′의 값을 구하시오. [3점] 23. 중심각의 크기가  라디안이고 둘레의 길이가  인 부채꼴의 넓이를 구하시오. [3점] 10 수학 영역(가형) 고 3 10 12 24.               의 값을 구하시오. [3점] 25. 두 수열 , 이 lim  → ∞  , lim  → ∞     를 만족시킬 때, lim  → ∞    의 값을 구하시오. [3점] 26. 좌표평면에서 제 사분면에 점 P 가 있다. 점 P 를 직선    에 대하여 대칭이동한 점을 Q 라 하고, 점 Q 를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 R 라 할 때, 세 동경 OP , OQ , OR 가 나타내는 각을 각각 , ,  라 하자. sin     일 때,  sin    tan  의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이고, 시초선은  축의 양의 방향이다.) [4점] 고 3 수학 영역(가형) 11 11 12 27. 그림과 같이 합동인  개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다. 빨간색과 파란색을 포함하여 총  가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다. (가) 주어진  가지의 색을 모두 사용하여 칠한다. (나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다. (다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다. 색칠판을 칠하는 경우의 수는 × 이다.  의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점] 28.       인 실수  와 유리수  에 대하여 닫힌구간 …           에서 정의된 함수    sin   가 있다. 함수    의 그래프가 두 점 A    , B    을 지날 때,   의 값을 구하시오. [4점] 12 수학 영역(가형) 고 3 12 12 29. 자연수 에 대하여 두 점 A   , B   과 원점 O 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 AOB 가 있다. 삼각형 AOB 의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가  이고 꼭짓점의  좌표와  좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를  이라 하자.       의 값을 구하시오. [4점] 30. 최고차항의 계수가  인 삼차함수  와 실수  에 대하여 함수  를       라 하자. 상수 에 대하여 두 함수  와  가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ′   (나) 함수   가 미분가능하지 않은  의 개수는  이다. 실수  에 대하여  의 값을  라 할 때,    이고 함수  는    에서 최댓값  을 가진다.  의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 5 지 선 다 형 1. lim  →     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 방정식       를 만족시키는 실수  의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④  ⑤  3.  가 제 사분면의 각이고 cos     일 때, tan  의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤   4. 등차수열 에 대하여        일 때, 수열 의 공차는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2020학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 1 제2교시 2 수학 영역(나형) 고 3 2 12 5.           의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  6. 모든 실수에서 연속인 함수  가         를 만족시킬 때,  의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  7.  ≤    일 때, 두 곡선   cos    와   sin  가 만나는 점의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8.    인 실수  에 대하여 직선     가 곡선    과 만나는 점의 좌표를   , 곡선    과 만나는 점의 좌표를    라 할 때, log      이다.    의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역(나형) 3 3 12 9. 함수          에 대하여 lim  →          일 때, 상수  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 그림은  개의 칸 중  개의 칸에 다음 규칙을 만족시키도록 수를 써 넣은 것이다. (가) 가로로 인접한 두 칸에서 오른쪽 칸의 수는 왼쪽 칸의 수의  배이다. (나) 세로로 인접한 두 칸에서 아래쪽 칸의 수는 위쪽 칸의 수의  배이다. 첫 번째 줄 → 두 번째 줄 → 세 번째 줄 → 네 번째 줄 →    이 규칙을 만족시키도록 나머지 칸에 수를 써 넣을 때, 네 번째 줄에 있는 모든 수의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역(나형) 고 3 4 12 11. 등차수열 , 등비수열 에 대하여      이고    ,        일 때,  의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  12. 두 함수   ,   의 그래프가 그림과 같다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점] < 보 기 > ㄱ. lim  →       ㄴ.   ㄷ. 함수  는    에서 불연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역(나형) 5 5 12 13. 최고차항의 계수가  인 이차함수   의 그래프가  축에 접한다. 함수      ′ 에 대하여 곡선    가  축에 대하여 대칭일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 세 숫자 , ,  만을 사용하여 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 세 숫자 , ,  을 모두 한 번 이상씩 사용하고 숫자  를 반드시 짝수 번째 자리에만 오도록 놓는 경우의 수를 구하려고 한다. 다음은 이것을 구하는 과정의 일부이다. 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는 세 군데이므로 숫자  는 많아야 세 번 사용할 수 있다. (ⅰ) 숫자  를 한 번 사용한 경우  를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 , ,  ,   또는 ,  , , ,  또는 , , , , ,  또는 , , , ,   또는 , , , ,   을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 가 이다.  를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 C 이다. 그러므로 숫자  를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 나 이다. (ⅱ) 숫자  를 두 번 사용한 경우 ⋮ (중략) (ⅲ) 숫자 를 세 번 사용한 경우  를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 ,  을 모두 한 번 이상씩 사용하여 나열한 것이므로 그 경우의 수는 다 이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는  이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , ,  라 할 때,      의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역(나형) 고 3 6 12 15. 수열 이 모든 자연수 에 대하여           를 만족시킨다.    일 때,    의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 자연수 에 대하여 두 함수    ,   log 의 그래프와 직선   이 만나는 점을 각각 A, B 이라 하자. 선분 AB 의 길이 중 자연수인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 , , , ⋯ 이라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역(나형) 7 7 12 17. 등차수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하자.    일 때, 다음 조건을 만족시키는  이상의 자연수 의 값은? [4점] (가)           (나)    ①  ②  ③  ④  ⑤  18.    인 상수 에 대하여 함수        가 오직 한 개의  값에서만 미분가능하지 않을 때, 함수  의 극댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역(나형) 고 3 8 12 19. 길이가 각각 , ,  인 세 선분 AB, BC, CA 를 각 변으로 하는 예각삼각형 ABC 가 있다. 삼각형 ABC 의 세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름의 길이가  이고        cos    일 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 최고차항의 계수가  인 삼차함수  에 대하여 함수  를        라 할 때, 함수  는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수  는    에서 극댓값  을 갖는다. (나) 함수  의 도함수    ′ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역(나형) 9 9 12 21. 이차함수        에 대하여 삼차함수  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식    은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) 함수  ∘ 의 최솟값을 이라 할 때, 방정식   의 서로 다른 실근의 개수는  이다. (다) 방정식    은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 함수  의 극댓값과 극솟값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단 답 형 22.       의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수          에 대하여  ′의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(나형) 고 3 10 12 24. 그림과 같이 반지름의 길이가 같은  개의 원이 있다.  개의 원에 서로 다른  개의 색을 모두 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 원에는 한 가지 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점] 25.  ≤    인 실수  에 대하여 log   log   의 값이 자연수가 되도록 하는 모든  의 개수를 구하시오. [3점] 26. 최고차항의 계수가  이고 두 점 A  , P   를 지나는 이차함수  가 있다. 함수   의 그래프가  축과 만나는 점을 Q 라 할 때, lim  → ∞  × AP AQ 의 값을 구하시오. (단, ≠ ) [4점] 고 3 수학 영역(나형) 11 11 12 27. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각  에서의 속도  가        이다. 점 P 가    일 때 원점을 출발하여 처음으로 운동 방향을 바꾼 순간의 위치를 A 라 하자. 점 P 가 A 에서 방향을 바꾼 순간부터 다시 A 로 돌아올 때까지 움직인 거리를 구하시오. [4점] 28. 자연수  에 대하여 두 함수       ,      가 있다. 다음을 만족시키는 의 값을 구하시오. [4점] 모든 실수  에 대하여 부등식  ≤    ≤  를 만족시키는 자연수  의 개수는  이다. 12 수학 영역(나형) 고 3 12 12 29. 그림과 같이 예각삼각형 ABC 가 한 원에 내접하고 있다. AB  이고, ∠ABC   라 할 때 cos    이다. 점 A 를 지나지 않는 호 BC 위의 점 D 에 대하여 CD  이다. 두 삼각형 ABD, CBD 의 넓이를 각각  ,   라 할 때,          이다. 삼각형 ADC 의 넓이를  라 할 때,  의 값을 구하시오. [4점] 30. 닫힌구간     에서 정의된 연속함수  는 정의역에서 증가하고 모든 실수  에 대하여      가 성립할 때, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌구간     에서    이다. (나) 닫힌구간      에서 함수    의 그래프는 함수    의 그래프를  축의 방향으로 만큼,  축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프이다. (단, 은 자연수이다.)    이고       일 때,     의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.