2014 7월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2014학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역 (A형) 1 제2 교시 5지선다형 1.  ×  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤   2. 두 행렬                  에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 두 실수  ,  에 대하여 lim →       일 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수를  , 의 개수를  라 할 때,  의 값은? [3점]  ①  ②  ③  ④  ⑤  2 수학 영역 (A형) 고 3 2 12 5. 함수   의 그래프가 그림과 같다. O             lim →    lim→  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 두 사건  와 는 서로 독립이고, P   , P     일 때, P∪ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7. 닫힌 구간   에서 정의된 함수       의 최솟값이 일 때, 최댓값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (A형) 3 3 12 8. 그림과 같이 함수     의 그래프 위의 한 점 A 와 함수     의 그래프 위의 두 점 B , C 에 대하여 선분 AB 는  축에 평행하고 선분 AC 는  축에 평행하다. AB AC 가 될 때, 점 A의  좌표는?  (단, 점 A는 제1사분면 위에 있다.) [3점] O   A B C         ①   ②   ③   ④   ⑤   9.  ,  에 대한 연립일차방정식                  가    ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수  의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 곡선      위의 점    에서의 접선과 수직인 직선의 기울기가    이다. 상수  ,  에 대하여    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역 (A형) 고 3 4 12 11. 이차정사각행렬   에 대하여 ∗를   ∗      라 정의하자. 이차정사각행렬  ,  에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [3점] <보 기> ㄱ. ∗   이면    이다. ㄴ. ∗  ∗ 이면      이다. ㄷ. ∗   이면  의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 12. 그림과 같이 자연수  에 대하여 직선    이 두 곡선     ,      과 만나는 점을 각각 P , Q이라 하자. 사다리꼴 PQQP의 넓이를 이라 할 때, lim→∞     의 값은? [3점] O   P P PP Q Q Q Q                ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (A형) 5 5 12 [13~14] 좌표평면의 원점에 점 P 가 있다. 한 개의 동전을  번 던질 때마다 다음 규칙에 따라 점 P 를 이동시키는 시행을 한다. (가) 앞면이 나오면 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨다. (나) 뒷면이 나오면 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 시행을  번 한 후 점 P가 직선    위에 있을 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 시행을  번 한 후 점 P가 위치할 수 있는 점들을 좌표가 작은 것부터 차례로 P , P라 하고, 시행을  번 한 후 점 P가 위치할 수 있는 점들을 좌표가 작은 것부터 차례로 P , P , P라 하자. 예를 들어, 점 P의 좌표는  이고 점 P의 좌표는   이다. 이와 같은 방법으로 정해진 점 P의 좌표를    라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역 (A형) 고 3 6 12 15. 수열 은    이고,              ≥  을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여      ․   이다.      이라 하면     가  ≥  이고   나 이므로   다  ≥  이다. 그러므로      × 다  ≥  이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 ,  이라 하고, (나)에 알맞은 수를  라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 이차함수     에 대하여 lim →∞            의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역 (A형) 7 7 12 17.   인 실수 에 대하여  log 이   (      ⋯ )이 되도록 하는 를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, 번째 수를 라 하자.     log 의 값은? [4점]  ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 다항함수 가  lim→∞     , lim→     를 만족시키고, 함수  는      ≤      이다. 함수  가   에서 연속이 되도록 하는 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역 (A형) 고 3 8 12 19. 양수  ,  에 대하여 함수      가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은? [4점] (가) 함수 는     에서 극값을 갖는다. (나)     ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 자연수  에 대하여 중심이 축 위에 있고 반지름의 길이가 인 원 을 다음과 같은 규칙으로 그린다. (가) 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 을 그린다. (나) 원 의 중심을 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 을 그린다. (   ,  ,  , ⋯ ) 원 의 중심을    이라 할 때, lim→∞  의 값은? [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   O      고 3 수학 영역 (A형) 9 9 12 21. 최고차항의 계수가  이고   인 사차함수  가 모든 실수  에 대하여  를 만족시킨다. 방정식  의 서로 다른 실근의 개수가  일 때, 함수  의 극댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 수열 에 대하여   ∞   일 때, lim →∞ 의 값을 구하시오. [3점] 23. 다항식  의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (A형) 고 3 10 12 24. 함수     에 대하여  ′ 의 값을 구하시오. [3점] 25. 수열 과 공차가  인 등차수열 에 대하여      이 성립한다.    일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 화학 퍼텐셜 이론에 의하면 절대온도  K에서 이상 기체의 압력을 (기압)에서 (기압)으로 변화시켰을 때의 이상 기체의 화학 퍼텐셜 변화량을 kJmol이라 하면 다음 관계식이 성립한다고 한다.    log   (단,  ,  는  이 아닌 양의 상수이다.)  절대온도 K에서 이상 기체의 압력을  기압에서 기압으로 변화시켰을 때의 이상 기체의 화학 퍼텐셜 변화량을   , 절대온도 K에서 이상 기체의 압력을  기압에서  기압으로 변화시켰을 때의 이상 기체의 화학 퍼텐셜 변화량을  라 하자.     를 만족시키는  의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (A형) 11 11 12 27.      인  에 대하여 log 의 가수가 log   의 가수의  배이다. log    일 때,  의 값을 구하시오. (단,  , 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 상자 A에는 흰 공 개, 상자 B에는 검은 공 개가 들어 있다. 다음과 같이 [실행  ]부터 [실행  ]까지 할 때, 상자 B의 흰 공의 개수가 홀수일 확률이   이다.  의 값을 구하시오. (단,  ,  는 서로소인 자연수이다.) [4점] [실행  ] 상자 A에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 상자 B에 넣는다. [실행  ] 상자 B에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 상자 A에 넣는다. [실행  ] 상자 A에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어 상자 B에 넣는다. 12 수학 영역 (A형) 고 3 12 12 29. 연속함수  가 모든 실수  에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)    (다)          의 값을 구하시오. [4점] 30. 그림과 같이 길이가 인 선분 BC을 빗변으로 하고 ∠BAC   인 직각이등변삼각형 ABC을 그린다. BA BC이고 CA CB인 선분 BC 위의 두 점 C와 B에 대하여 부채꼴 BAC와 부채꼴 CAB를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 이라 하자. 선분 BC를 빗변으로 하고 삼각형 ABC의 내부의 점 A에 대하여 ∠BAC   인 직각이등변삼각형 ABC를 그린다. BA BC이고 CA CB인 선분 BC 위의 두 점 C과 B에 대하여 부채꼴 BAC과 부채꼴 CAB을 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 라 하자. 선분 BC을 빗변으로 하고 삼각형 ABC의 내부의 점 A에 대하여 ∠BAC   인 직각이등변삼각형 ABC을 그린다. BA BC이고 CA CB인 선분 BC 위의 두 점 C와 B에 대하여 부채꼴 BAC와 부채꼴 CAB를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 에 대하여     ∞    ( ,  는 정수)일 때,    의 값을 구하시오. [4점] A A A B B B B C C C C ※ 확인 사항 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 1 12 2014학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역 (B형) 1 제2 교시 5지선다형 1.   × 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬    의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim  →      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  , 는 서로 독립이고,  P∩    , P   일 때, P   의 값은? (단,   은 의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  2 수학 영역 (B형) 고 3 2 12 5.       인  에 대하여 tantan   일 때, tan의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 수렴하는 수열 에 대하여 lim →∞      일 때, lim→∞ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7. 곡선        위에 세 점 A   , B , C   가 있다. 곡선 위에서 두 점 A, B 사이를 움직이는 점 P와 곡선 위에서 두 점 B, C 사이를 움직이는 점 Q에 대하여 사각형 AQCP의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 P, Q의 좌표의 곱은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   O   A Q C P B고 3 수학 영역 (B형) 3 3 12 8. 그림과 같이 다항함수   의 그래프와 일차함수    의 그래프는 좌표가 , , 인 세 점에서만 만난다. 부등식   ≤  을 만족시키는 정수 의 개수는? [3점]   O            ①  ②  ③  ④  ⑤  9.    에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)     (나)  ′  cos 의 값은? [3점] ①    ②    ③  ④   ⑤   10. 한 개의 주사위를 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로    라 하자. 방정식    을 만족시키는 해의 순서쌍     의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역 (B형) 고 3 4 12 11. 이차정사각행렬   에 대하여 ∗를   ∗      라 정의하자. 이차정사각행렬  ,  에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [3점] <보 기> ㄱ. ∗   이면    이다. ㄴ. ∗  ∗ 이면      이다. ㄷ. ∗   이면  의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ 12.  ≤  ≤   에서 정의된 함수  sin 의 역함수를  라 하자.  ′의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역 (B형) 5 5 12 [13~14] 한 변의 길이가  인 정육면체 ABCD  EFGH 가 있다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. A B E F D C H G 13. 선분 AG를   로 내분하는 점을 I 라 할 때, 선분 FI 의 길이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 정육면체의 꼭짓점 중에서 임의의 서로 다른 두 점을 연결한 선분의 길이가 무리수일 때, 그 선분의 길이가  일 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  6 수학 영역 (B형) 고 3 6 12 15. 수열 은    이고,              ≥  을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여      ․   이다.      이라 하면     가  ≥  이고   나 이므로   다  ≥  이다. 그러므로      × 다  ≥  이다. 위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 ,  이라 하고, (나)에 알맞은 수를  라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 평면 위에 있는 사각형 OABC가 OA OB OC , ∠AOB    ∠BOC  , cos    를 만족시킨다. ∠BAC   , ∠BCA   라 할 때, sin  의 값은? [4점] B O A C   ①   ②   ③   ④   ⑤  고 3 수학 영역 (B형) 7 7 12 17.      인 에 대하여 두 행렬       ,   cos sin sin cos 로 나타내어지는 각각의 일차변환  ,  의 합성변환   ∘에 의하여 점 A   이 점 B   로 옮겨진다. 일차변환  에 의하여 점 B가 옮겨지는 점이 P 일 때, 의 값은? [4점]  ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 포물선    의 초점 F를 중심으로 하고 원점을 지나는 원  가 있다. 포물선 위의 점 A 와 점 B에 대하여 선분 FA와 선분 FB가 원  와 만나는 점을 각각 P , Q 라 할 때, 점 P는 선분 FA의 중점이고, 점 Q는 선분 FB를    로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB의 넓이가 일 때,  의 값은? (단, 점 A와 점 B는 제사분면 위에 있다.) [4점] B O A P Q F   ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역 (B형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 좌표평면에 원        과 점 A   이 있다. 원 의 중심을 O이라 하고, 선분 OA를 지름으로 하는 원을 라 하자. 원 의 중심을 O라 하고, 선분 OA를 지름으로 하는 원을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 원을 이라 하자. 점 B   에서 원 에 그은 접선의 기울기를 이라 할 때, lim→∞  의 값은? (단,   이다.) [4점] O   B O O A    ⋮ ①   ②   ③   ④   ⑤  20. 그림과 같이 두 초점이 F, F′인 타원       위를 움직이는 제1사분면 위의 점 P에서의 접선  이 축과 만나는 점을 Q, 점 P에서 접선  과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점을 R라 하자. 세 삼각형 PRF, PF′R, PFQ의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P의 좌표는? [4점]  F′ O R F Q P    ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수학 영역 (B형) 9 9 12 21. AB  , AC BC , ∠ABC  인 이등변삼각형 ABC가 있다. 그림과 같이 선분 BC의 연장선 위에 AC AD인 점 D를 잡는다. 삼각형 ABC에 내접하는 원의 반지름의 길이를  , 삼각형 ACD에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때, lim →     의 값은? [4점] B C D A   ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 등차수열 에 대하여   이고    일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. 좌표평면에서 두 점   ,    을 각각 두 점   ,    로 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (B형) 고 3 10 12 24. 무리방정식        의 모든 실근의 곱을 구하시오. [3점] 25. 화학 퍼텐셜 이론에 의하면 절대온도  K에서 이상 기체의 압력을 (기압)에서 (기압)으로 변화시켰을 때의 이상 기체의 화학 퍼텐셜 변화량을 kJmol이라 하면 다음 관계식이 성립한다고 한다.    log   (단,  ,  는  이 아닌 양의 상수이다.)  절대온도 K에서 이상 기체의 압력을  기압에서 기압으로 변화시켰을 때의 이상 기체의 화학 퍼텐셜 변화량을   , 절대온도 K에서 이상 기체의 압력을  기압에서  기압으로 변화시켰을 때의 이상 기체의 화학 퍼텐셜 변화량을  라 하자.     를 만족시키는  의 값을 구하시오. [3점] 26. 곡선          ≥ 과 곡선  의 접선     이 있다. 곡선  위의 점 P에서 축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q라 하자. 점 P가 점 A  을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B    까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ의 길이의 순간변화율의 최댓값을 구하시오. [4점] O   P Q   고 3 수학 영역 (B형) 11 11 12 27. 그림과 같이 크기가 서로 다른  개의 펭귄 인형과  개의 곰 인형이 두 상자 A , B 에 왼쪽부터 크기가 작은 것에서 큰 것 순으로 담겨져 있다. 다음 조건을 만족시키도록 상자 A, B의 모든 인형을 일렬로 진열하는 경우의 수를 구하시오. [4점] (가) 같은 상자에 담겨있는 인형은 왼쪽부터 크기가 작은 것에서 큰 것 순으로 진열한다. (나) 상자 A 의 왼쪽에서 두 번째 펭귄 인형은 상자 B 의 왼쪽에서 두 번째 곰 인형보다 왼쪽에 진열한다. 28. 그림과 같이 길이가 인 선분 BC을 빗변으로 하고 ∠BAC   인 직각이등변삼각형 ABC을 그린다. BA BC이고 CA CB인 선분 BC 위의 두 점 C와 B에 대하여 부채꼴 BAC와 부채꼴 CAB를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 이라 하자. 선분 BC를 빗변으로 하고 삼각형 ABC의 내부의 점 A에 대하여 ∠BAC   인 직각이등변삼각형 ABC를 그린다. BA BC이고 CA CB인 선분 BC 위의 두 점 C과 B에 대하여 부채꼴 BAC과 부채꼴 CAB을 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 라 하자. 선분 BC을 빗변으로 하고 삼각형 ABC의 내부의 점 A에 대하여 ∠BAC   인 직각이등변삼각형 ABC을 그린다. BA BC이고 CA CB인 선분 BC 위의 두 점 C와 B에 대하여 부채꼴 BAC와 부채꼴 CAB를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 에 대하여     ∞    ( ,  는 정수)일 때,    의 값을 구하시오. [4점] A A A B B B B C C C C 12 수학 영역 (B형) 고 3 12 12 29. 연속함수  가 모든 실수  에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)    (다)        ,            의 값을 구하시오. [4점] 30. 한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFGH 와 밑면의 반지름의 길이가  이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥의 밑면이 평면 ABCD에 포함되고 사각형 ABCD의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하 도록 하였다. 평면 ABCD에 포함되어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을 라 하자. 평면 AEGC가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 MN, 평면 BFHD가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 PQ라 할 때, 삼각형 MPQ의 평면 DEG 위로의 정사영의 넓이는    이다.    의 값을 구하시오. (단,  ,  는 서로소인 자연수이다.) [4점] A B E F D C H G P Q M N  ※ 확인 사항 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.