2014 4월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 제 2 교시 1 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.    의 값은? [2점] ①  ②   ③   ④  ⑤   3. lim→        의 값은? [2점] ①  ②   ③   ④   ⑤   4. 일차변환  와  ×  행렬 , 에 대하여       ,        가 성립할 때,  는? [3점] ①     ②    ③     ④     ⑤    2 수학 영역(B형) 2 12 5. 모든 항이 양수인 수열 이 모든 자연수 에 대하여  log  log  log    을 만족시킬 때, lim→∞    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 무리방정식       의 모든 실근의 곱은? [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    7. 함수        이 극값을 갖도록 하는 모든 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 3 3 12 8. 삼차함수 에 대하여 곡선    위의 점  에서의 접선과 직선      가 서로 수직일 때, lim→∞       의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④   ⑤   9.  ≤   일 때, 방정식 cossin  cos  의 모든 실근의 합은? [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    10. 좌표평면에서 행렬       로 나타내어지는 일차변환에 의하여 원         이 원  ′으로 옮겨진다. 원  ′이 원  의 중심을 지날 때, 상수 의 값은? (단,   ) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역(B형) 4 12 11. 흙의 투수계수는 물이 흙에 침투하는 정도를 나타내는 지표이다. 동일한 흙의 투수계수()는 같은 실험 조건에서 일정하고, 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이를 (cm), 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이를 (cm)라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.     log   log  (단,  는 양의 상수이다.) 어떤 흙의 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이가  cm일 때, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가  cm이었고, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가  cm이었다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 수열 은   이고,                 ≥   을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변에      을 곱하면                가 이다.        이라 하면,   이고          나  ≥  이다. 수열 의 일반항을 구하면    다  ≥  이다. 그러므로             다 ×       ≥  이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때,    ×  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 5 5 12 [13 ~ 14] 삼차함수   와 꼭짓점의 좌표가  인 이차함수   의 그래프가 그림과 같다. 함수   의 그래프와 직선   는 세 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 , , 이고, 함수   의 그래프와 직선   는 두 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 , 이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.               O 13.  ln 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 부등식  ∘ ≤ 을 만족시키는 모든 정수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수학 영역(B형) 6 12 15.      ln     sincos 가 성립할 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 네 선분 AB , BC , CD , DA을 각각   로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H이라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH을 각각 반지름 으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 정사각형 EFGH과 도형 과의 교점 중 정사각형 EFGH의 꼭짓점이 아닌 개의 점을 A , B , C , D라 하자. 정사각형 ABCD에서 네 선분 AB , BC , CD , DA를 각각   로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH를 각각 반지름으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 라 하자. 정사각형 EFGH에서 도형 를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 모양의 도형 의 넓이를 이라 할 때,   ∞ 의 값은? [4점] A B C D A B C D E F G E H F G H ⋯ ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(B형) 7 7 12 17. 함수              ≥   에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] 보 기 ㄱ. 함수 가 불연속인 점은 개이다. ㄴ. 함수   cos  는   과   에서 연속이다. ㄷ. 함수   가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 는 없다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 A을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 A의 좌표는  이다. (나) 이 짝수이면 점 A은 점 A을 축의 방향으로   ×  만큼 평행이동한 점이다. (다) 이 이상의 홀수이면 점 A은 점 A을 축의 방향으로    × 만큼 평행이동한 점이다.  위의 규칙에 따라 정해진 점 A의 좌표를  라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역(B형) 8 12 19. 그림과 같이 중심이 O이고 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위를 움직이는 점 P에 대하여 ∠AOP         일 때, 세 점 A, O, P를 지나는 원의 넓이를 , 세 점 B, O, P를 지나는 원의 넓이를 라 하자. lim →       의 값은? [4점] A O B P   ①  ②   ③   ④   ⑤   20. 두 이차정사각행렬 , 가    ,      를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?  (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [4점] 보 기 ㄱ.    ㄴ.    ㄷ.   의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(B형) 9 9 12 21. 그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD가 있다. 한 변의 길이가 인 정사각형 EFGH의 두 대각선의 교점이 원       위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 축 또는 축에 수직이다.) [4점]   O A B D C E F H G ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. , 에 대한 연립일차방정식             이   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오. [3점] 23. 등차수열 이     ,       를 만족시킬 때,   의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(B형) 10 12 24. 좌표평면에서 곡선       위의 점  에서의 접선의 기울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 에 대한 부등식       ≤   을 만족시키는 모든 정수 의 개수가 일 때, 자연수 의 최댓값을  구하시오. [3점] 26. 좌표평면 위에 두 점 A , B  이 있다. 두 행렬       ，        로 나타내어지는 일차변환을 각각 ,  라 하고, 두 점 A, B가 합성변환 ∘ 에 의하여 옮겨진 점을 각각 A′, B′이라 하자. 선분 A′B′이  축과 만나는 점을 C라 할 때, 삼각형 OA′B′의 넓이는 삼각형 OA′C의 넓이의 배이다.  의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점] 수학 영역(B형) 11 11 12 27. 양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때, 두 양수 , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ≤    (나)     (다)           일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인  자연수이다.) [4점] 28. 그림과 같이 곡선      위에 세 점 A , B , C 이 있다. 이상의 자연수 에 대하여 선분 OC를 등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로 O  D , D , D , ⋯, D , D  C라 하자. 직선 AD가 곡선과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 P라 하고, 점 P에서  축에 내린 수선의 발을 Q라 하자.     ⋯  삼각형 APQ의 넓이를 라 할 때, lim→∞         이다. 의 값을 구하시오. [4점] A O B D D D  Q   C P D ⋮ ⋮       D  D 12 수학 영역(B형) 12 12 29. 그림과 같이 중심이 O이고, 반지름의 길이가 인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 인 점 A에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가   로 일정하다. 원의 중심 O에서 두 직선까지의 거리를 각각 , 이라 할 때,   의 최솟값은  이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.) [4점] A   O 30. 함수   ln  의 극댓값을 라 하자. 함수 와 자연수 에 대하여 에 대한 방정식       의 서로 다른 실근의 개수를 이라 할 때,    의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.  1 12 2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 제 2 교시 1 1.    ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞        의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤   4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2 수학 영역(A형) 2 12 5. 행렬         에 대하여    를 만족시키는 행렬  는? (단,  는 단위행렬이다.) [3점] ①       ②       ③       ④       ⑤       6. 로그부등식 log   log    을 만족시키는 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여     ,     일 때, 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 3 3 12 8. 지수방정식    ×     의 두 실근을 , 라 할 때,   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 수열 이 모든 자연수 에 대하여      을 만족시킨다.    일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 수열 에 대하여   ∞        일 때, lim →∞     의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  4 수학 영역(A형) 4 12 11. 흙의 투수계수는 물이 흙에 침투하는 정도를 나타내는 지표이다. 동일한 흙의 투수계수()는 같은 실험 조건에서 일정하고, 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이를 (cm), 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이를 (cm)라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.     log   log  (단,  는 양의 상수이다.) 어떤 흙의 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이가  cm일 때, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가  cm이었고, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가  cm이었다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 함수   의 그래프가 그림과 같다. O           lim→ 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 5 5 12 [13 ∼ 14] 그림과 같이 좌표평면 위의 두 원                          이 제  사분면에서 만나는 점을 P라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. O   P     Q  R 13. 원  이 축과 만나는 점 중에서 좌표가 보다 작은 점을 Q, 원  가 축과 만나는 점 중에서 좌표가 보다 큰 점을 R라 하자. OP , OR , QR 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 원  의 반지름의 길이는? (단, O는 원점이다.) [3점] ①    ②    ③    ④    ⑤    14. 점 P의 좌표를 라 할 때, lim →     의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤  6 수학 영역(A형) 6 12 15. 보다 크고 보다 작은 세 자연수 , , 에 대하여 log log     , log log    일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 수열 은   이고,                 ≥  을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변에      을 곱하면                가 이다.        이라 하면,   이고          나  ≥  이다. 수열 의 일반항을 구하면    다  ≥  이다. 그러므로             다 ×       ≥  이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때,    ×  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 7 7 12 17. 함수   lim →∞         가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 , 의 곱 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 네 선분 AB , BC , CD , DA을 각각   로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H이라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH을 각각 반지름 으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 정사각형 EFGH과 도형 과의 교점 중 정사각형 EFGH의 꼭짓점이 아닌 개의 점을 A , B , C , D라 하자. 정사각형 ABCD에서 네 선분 AB , BC , CD , DA를 각각   로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH를 각각 반지름으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 라 하자. 정사각형 EFGH에서 도형 를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 모양의 도형 의 넓이를 이라 할 때,   ∞ 의 값은? [4점] A B C D A B C D E F G E H F G H ⋯ ①    ②    ③    ④    ⑤    8 수학 영역(A형) 8 12 19. 그림과 같이 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 곡선     위를 움직이는 점 P  이 있다. 점 P을 지나고 기울기가 인 직선이 곡선   log와 만나는 점을 Q이라 하자. 삼각형 POQ의 넓이를  이라 할 때,      의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점] O         log P Q ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 함수     의 그래프가 직선   와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 점의 좌표를 각각  ,  ,  ,  라 하자. 네 수  ,  ,  , 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 의 값은? (단,       ) [4점]   O             ①   ②  ③   ④   ⑤   수학 영역(A형) 9 9 12 21. 두 이차정사각행렬 , 가    ,      를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?  (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [4점] 보 기 ㄱ.    ㄴ.    ㄷ.  의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합  이       일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. , 에 대한 연립일차방정식                이   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(A형) 10 12 24. 두 상수 , 에 대하여 lim →       일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 두 실수 , 가    ,    를 만족시킬 때,    의 값을 구하시오. [3점] 26. 에 대한 부등식      ≤  을 만족시키는 정수 의 개수가 일 때, 자연수 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 11 11 12 27. 자연수 에 대하여 곡선      위의 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 이라 하자.    의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 원      을  이라 하고, 직선     위의 점 중에서 원점 O로부터 거리가  인 점을 P , 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q이라 하자. 삼각형 POQ의 내부와 원  의 외부의 공통부분의 넓이를  이라 하자. lim→∞      일 때,  의 값을 구하시오. (단, 점 P은 제 사분면 위의 점이다.) [4점] O         P  Q 12 수학 영역(A형) 12 12 29. 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ≤   에서   이다. (나) 모든 실수 에 대하여   이다. 자연수 에 대하여 함수   의 그래프와 함수   log의 그래프가 만나는 점의 개수를 이라 하자.    의 값을 구하시오. [4점] 30. 양수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때, 두 양수 , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)       (나)        (다)              일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인 자연수이다.) [4점] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.