![직렬](http://0gichul.com/files/attach/images/94838/332/096/1c440e1d2508a2210c5e24e7e7f18203.png)
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1 12 2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 제 2 교시 1 1. 두 행렬 , 에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. lim→ 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 일차변환 와 × 행렬 , 에 대하여 , 가 성립할 때, 는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2 수학 영역(B형) 2 12 5. 모든 항이 양수인 수열 이 모든 자연수 에 대하여 log log log 을 만족시킬 때, lim→∞ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 무리방정식 의 모든 실근의 곱은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 함수 이 극값을 갖도록 하는 모든 정수 의 개수는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(B형) 3 3 12 8. 삼차함수 에 대하여 곡선 위의 점 에서의 접선과 직선 가 서로 수직일 때, lim→∞ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. ≤ 일 때, 방정식 cossin cos 의 모든 실근의 합은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 좌표평면에서 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 원 이 원 ′으로 옮겨진다. 원 ′이 원 의 중심을 지날 때, 상수 의 값은? (단, ) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수학 영역(B형) 4 12 11. 흙의 투수계수는 물이 흙에 침투하는 정도를 나타내는 지표이다. 동일한 흙의 투수계수()는 같은 실험 조건에서 일정하고, 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이를 (cm), 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이를 (cm)라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다. log log (단, 는 양의 상수이다.) 어떤 흙의 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이가 cm일 때, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가 cm이었고, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가 cm이었다. 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 수열 은 이고, ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변에 을 곱하면 가 이다. 이라 하면, 이고 나 ≥ 이다. 수열 의 일반항을 구하면 다 ≥ 이다. 그러므로 다 × ≥ 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때, × 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(B형) 5 5 12 [13 ~ 14] 삼차함수 와 꼭짓점의 좌표가 인 이차함수 의 그래프가 그림과 같다. 함수 의 그래프와 직선 는 세 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 , , 이고, 함수 의 그래프와 직선 는 두 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 , 이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. O 13. ln 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 부등식 ∘ ≤ 을 만족시키는 모든 정수 의 개수는? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 6 수학 영역(B형) 6 12 15. ln sincos 가 성립할 때, 상수 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 16. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 네 선분 AB , BC , CD , DA을 각각 로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H이라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH을 각각 반지름 으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 정사각형 EFGH과 도형 과의 교점 중 정사각형 EFGH의 꼭짓점이 아닌 개의 점을 A , B , C , D라 하자. 정사각형 ABCD에서 네 선분 AB , BC , CD , DA를 각각 로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH를 각각 반지름으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 라 하자. 정사각형 EFGH에서 도형 를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 모양의 도형 의 넓이를 이라 할 때, ∞ 의 값은? [4점] A B C D A B C D E F G E H F G H ⋯ ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(B형) 7 7 12 17. 함수 ≥ 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] 보 기 ㄱ. 함수 가 불연속인 점은 개이다. ㄴ. 함수 cos 는 과 에서 연속이다. ㄷ. 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 는 없다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 A을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 A의 좌표는 이다. (나) 이 짝수이면 점 A은 점 A을 축의 방향으로 × 만큼 평행이동한 점이다. (다) 이 이상의 홀수이면 점 A은 점 A을 축의 방향으로 × 만큼 평행이동한 점이다. 위의 규칙에 따라 정해진 점 A의 좌표를 라 할 때, 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 8 수학 영역(B형) 8 12 19. 그림과 같이 중심이 O이고 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위를 움직이는 점 P에 대하여 ∠AOP 일 때, 세 점 A, O, P를 지나는 원의 넓이를 , 세 점 B, O, P를 지나는 원의 넓이를 라 하자. lim → 의 값은? [4점] A O B P ① ② ③ ④ ⑤ 20. 두 이차정사각행렬 , 가 , 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [4점] 보 기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(B형) 9 9 12 21. 그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 A , B , C , D 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD가 있다. 한 변의 길이가 인 정사각형 EFGH의 두 대각선의 교점이 원 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 축 또는 축에 수직이다.) [4점] O A B D C E F H G ① ② ③ ④ ⑤ 단답형 22. , 에 대한 연립일차방정식 이 , 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오. [3점] 23. 등차수열 이 , 를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(B형) 10 12 24. 좌표평면에서 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 에 대한 부등식 ≤ 을 만족시키는 모든 정수 의 개수가 일 때, 자연수 의 최댓값을 구하시오. [3점] 26. 좌표평면 위에 두 점 A , B 이 있다. 두 행렬 , 로 나타내어지는 일차변환을 각각 , 라 하고, 두 점 A, B가 합성변환 ∘ 에 의하여 옮겨진 점을 각각 A′, B′이라 하자. 선분 A′B′이 축과 만나는 점을 C라 할 때, 삼각형 OA′B′의 넓이는 삼각형 OA′C의 넓이의 배이다. 의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점] 수학 영역(B형) 11 11 12 27. 양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때, 두 양수 , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ≤ (나) (다) 일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 그림과 같이 곡선 위에 세 점 A , B , C 이 있다. 이상의 자연수 에 대하여 선분 OC를 등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로 O D , D , D , ⋯, D , D C라 하자. 직선 AD가 곡선과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 P라 하고, 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q라 하자. ⋯ 삼각형 APQ의 넓이를 라 할 때, lim→∞ 이다. 의 값을 구하시오. [4점] A O B D D D Q C P D ⋮ ⋮ D D 12 수학 영역(B형) 12 12 29. 그림과 같이 중심이 O이고, 반지름의 길이가 인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 인 점 A에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가 로 일정하다. 원의 중심 O에서 두 직선까지의 거리를 각각 , 이라 할 때, 의 최솟값은 이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.) [4점] A O 30. 함수 ln 의 극댓값을 라 하자. 함수 와 자연수 에 대하여 에 대한 방정식 의 서로 다른 실근의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 1 12 2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 제 2 교시 1 1. × 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 두 행렬 , 에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. lim →∞ 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2 수학 영역(A형) 2 12 5. 행렬 에 대하여 를 만족시키는 행렬 는? (단, 는 단위행렬이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 로그부등식 log log 을 만족시키는 정수 의 개수는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여 , 일 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(A형) 3 3 12 8. 지수방정식 × 의 두 실근을 , 라 할 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. 수열 이 모든 자연수 에 대하여 을 만족시킨다. 일 때, 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 수열 에 대하여 ∞ 일 때, lim →∞ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수학 영역(A형) 4 12 11. 흙의 투수계수는 물이 흙에 침투하는 정도를 나타내는 지표이다. 동일한 흙의 투수계수()는 같은 실험 조건에서 일정하고, 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이를 (cm), 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이를 (cm)라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다. log log (단, 는 양의 상수이다.) 어떤 흙의 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이가 cm일 때, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가 cm이었고, 실험을 시작한 지 분 후의 물의 높이가 cm이었다. 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 함수 의 그래프가 그림과 같다. O lim→ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(A형) 5 5 12 [13 ∼ 14] 그림과 같이 좌표평면 위의 두 원 이 제 사분면에서 만나는 점을 P라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. O P Q R 13. 원 이 축과 만나는 점 중에서 좌표가 보다 작은 점을 Q, 원 가 축과 만나는 점 중에서 좌표가 보다 큰 점을 R라 하자. OP , OR , QR 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 원 의 반지름의 길이는? (단, O는 원점이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 점 P의 좌표를 라 할 때, lim → 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 6 수학 영역(A형) 6 12 15. 보다 크고 보다 작은 세 자연수 , , 에 대하여 log log , log log 일 때, 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 16. 수열 은 이고, ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식의 양변에 을 곱하면 가 이다. 이라 하면, 이고 나 ≥ 이다. 수열 의 일반항을 구하면 다 ≥ 이다. 그러므로 다 × ≥ 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때, × 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(A형) 7 7 12 17. 함수 lim →∞ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 , 의 곱 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 네 선분 AB , BC , CD , DA을 각각 로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H이라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH을 각각 반지름 으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 정사각형 EFGH과 도형 과의 교점 중 정사각형 EFGH의 꼭짓점이 아닌 개의 점을 A , B , C , D라 하자. 정사각형 ABCD에서 네 선분 AB , BC , CD , DA를 각각 로 내분하는 점을 각각 E , F , G , H라 하고, 정사각형 ABCD의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 AE , BF , CG , DH를 각각 반지름으로 하는 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 라 하자. 정사각형 EFGH에서 도형 를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은 모양의 도형을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 모양의 도형 의 넓이를 이라 할 때, ∞ 의 값은? [4점] A B C D A B C D E F G E H F G H ⋯ ① ② ③ ④ ⑤ 8 수학 영역(A형) 8 12 19. 그림과 같이 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 곡선 위를 움직이는 점 P 이 있다. 점 P을 지나고 기울기가 인 직선이 곡선 log와 만나는 점을 Q이라 하자. 삼각형 POQ의 넓이를 이라 할 때, 의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점] O log P Q ① ② ③ ④ ⑤ 20. 그림과 같이 함수 의 그래프가 직선 와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 점의 좌표를 각각 , , , 라 하자. 네 수 , , , 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 의 값은? (단, ) [4점] O ① ② ③ ④ ⑤ 수학 영역(A형) 9 9 12 21. 두 이차정사각행렬 , 가 , 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [4점] 보 기 ㄱ. ㄴ. ㄷ. 의 역행렬이 존재한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이 일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. , 에 대한 연립일차방정식 이 , 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(A형) 10 12 24. 두 상수 , 에 대하여 lim → 일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 두 실수 , 가 , 를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 에 대한 부등식 ≤ 을 만족시키는 정수 의 개수가 일 때, 자연수 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 11 11 12 27. 자연수 에 대하여 곡선 위의 점 중에서 좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 원 을 이라 하고, 직선 위의 점 중에서 원점 O로부터 거리가 인 점을 P , 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q이라 하자. 삼각형 POQ의 내부와 원 의 외부의 공통부분의 넓이를 이라 하자. lim→∞ 일 때, 의 값을 구하시오. (단, 점 P은 제 사분면 위의 점이다.) [4점] O P Q 12 수학 영역(A형) 12 12 29. 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ≤ 에서 이다. (나) 모든 실수 에 대하여 이다. 자연수 에 대하여 함수 의 그래프와 함수 log의 그래프가 만나는 점의 개수를 이라 하자. 의 값을 구하시오. [4점] 30. 양수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때, 두 양수 , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) (나) (다) 일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인 자연수이다.) [4점] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.