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1 12 2014학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.         ,         일 때, 행렬 는? [2점] ①       ②       ③       ④       ⑤       2. log × log  의 값은? [2점] ①  ②  ③   ④   ⑤  3. lim  →  tan 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 부등식          을 만족시키는 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 2━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. tan    일 때, sin 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6.  , 에 대한 연립일차방정식                의 해가 존재할 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 다음은 어느 지역에 있는 개의 지점을 꼭짓점으로 하고, 이 지점들을 잇는 도로를 변으로 하는 그래프이다. 이 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 때, 행의 성분으로  을 개 포함하는 행의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 양수 에 대하여 log의 지표를 라 할 때, lim →      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수     sincos    의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 함수     ln가   에서 극값을 가질 때, 다음 중 가 속하는 구간은? [3점] ①   ②     ③       ④       ⑤       수학 영역(B형) 4━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에서 선 분 AB 을   로 내분하는 점을 P , 선분 BC 을   로 내 분하는 점을 Q 이라 하자. 선분 AD 위의 점 A , 선분 PQ 위의 두 점 B , C , 선분 CD 위의 점 D 를 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD 를 그리고 정사각형 ABCD 의 내부 와 삼각형 PBQ의 내부를 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 정사각형 ABCD 에서 선분 AB 를   로 내분하는 점을 P , 선분 BC 를   로 내분하는 점을 Q 라 하자. 선분 AD 위의 점 A , 선분 PQ 위의 두 점 B , C , 선분 CD 위의 점 D 을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD 을 그리고 정 사각형 ABCD 의 내부와 삼각형 PBQ의 내부를 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있 는 부분의 넓이를  이라 할 때,   ∞  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 두 수열  이 모든 자연수 에 대하여    ⋯                      을 만족시킬 때, lim →∞            의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 보다 큰 실수 에 대하여 두 곡선     ,     가 축과 만나는 점을 각각 A , B 라 하고, 두 곡 선의 교점을 C 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13.   일 때, 삼각형 ACB 의 넓이는? [3점] ① log  ②   log  ③ log  ④   log  ⑤ log 14. 직선 AC 의 기울기를 , 직선 BC 의 기울기를  라 할 때, lim →   의 값은? [4점] ① ln  ② ln  ③ ln ④ ln ⑤  수학 영역(B형) 6━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 수열 은   이고            ( ≥ )  을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 수열 의 모든 항이 이 아니므로             을 변형하면        (가) 이다.    이라 하면     이고      (가) ( ≥ ) 이므로    (나) 이다.  위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 두 함수          ≥          에 대하여 합성함수 ∘가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 의 값의 합은? [4점] ①   ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(B형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 두 이차정사각행렬  , 가    ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고,  는 영행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.     ㄷ.  의 모든 성분의 합이 이면  의 모든 성분의 합은 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 그림과 같이 이차함수   와 삼차함수   의 그래프 가 세 점에서 만나고 각 교점의 좌표는 ,  , 이다.  무리방정식     의 실근의 개수는?  (단,    ,    ) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 8━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 와 선분 OA 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P 에 대하여 점 P 에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 Q , 선분 OP 와 반원의 교점 중 O 가 아닌 점을 R라 하고, ∠POA   라 하자. 삼각형 PRQ 의 넓이를 라 할 때, lim →      의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   20. 자연수 에 대하여 다음과 같이 모든 자연수를 작은 것부터 행에 개씩 차례로 나열하였다. 이때 행에 있는 의 배수를  이라 하자. 예를 들어    ,   이다. 행  행   행    행     행      행       ⋮ ⋮ ⋱  수열 에 대하여     의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 과 을 제외한 모든 실수 에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여   이다. (나) lim →      이고 lim →    이다. (다) ≠인 모든 양수 에 대하여 ′  이다.  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. 함수 의 그래프는 직선   와 한 점에서 만난다. ㄴ. 함수 의 그래프는 축과 세 점에서 만난다. ㄷ. ′  인 실수 가 적어도 두 개 존재한다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ 단답형 22. 함수      에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 23. 분수방정식         의 해를 라 할 때, 의 값 을 구하시오. [3점] 수학 영역(B형) 10━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 수열 에 대하여 lim →∞      일 때, lim →∞      의 값을 구하시오. [3점] 25. 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량을  라 하면 log log   (단, 는 상수)  가 성립한다. 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량은    이고, 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량은    이다. 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량은   이다. 상수 의 값을 구 하시오. (단, 전하량의 단위는 쿨롱(C)이다.) [3점] 26. 두 함수   ,     이 다음 조 건을 만족시킨다. (가) 집합    의 원소의 개수는 이다. (나) 집합   ≤ , 는 자연수의 원소의 개수는 이다.  의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [4점] 수학 영역(B형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. AC  , BC  , ∠C  인 직각삼각형 ABC 가 있다. 선 분 AB 를   로 내분하는 점을 P , 선분 AB 를   으로 내분 하는 점을 Q 라 하자. 점 P 에서 선분 BC 에 내린 수선의 발을 R , 점 Q 에서 선분 AC 에 내린 수선의 발을 S라 하자. ∠CPR  , ∠CQS 라 할 때, tan    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을  이라 하자. 모든 자연수 에 대하여   일 때, 자연수 의 최댓값을 구하시오. [4점] 수학 영역(B형) 12━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 모든 항이 양수인 수열 이  ×  ×  × ⋯ ×        (≥)  을 만족시킨다. log의 가수가 일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 30. 실수  에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 tansin인 직선과 원       이 만나는 점 중에서 좌표 가 양수인 점을 P 라 하고, 점 P 가 나타내는 곡선을  라 하자.   일 때, 곡선  위의 점 P 에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 × 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 2014학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.    ×   의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 등차수열 에 대하여   ,    일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 방정식        을 만족시키는 실수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 첫째항이 이고 공비가   인 등비수열 에 대하여 세 수  , , 이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을  이라 하자.  행렬 의   성분을  (            )라 할 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8.  , 에 대한 연립일차방정식                 가    ,    이외의 해를 갖도록 하는 양수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 수열 이   이고      ( ≥  )을 만족시킬 때, 무한급수   ∞   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 세 지수함수       ,     ,     (     )  에 대하여 직선   가 세 곡선   ,   ,   와 만나는 점을 각각 P, Q, R라 하자. P Q  QR   이고   일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 함수     에 대하여 부등식         을 만족시키는 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 장의 카드가 있다. 이 중 세 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 세 장의 카드에 적 힌 수의 합이 짝수가 되도록 뽑는 경우의 수를  이라 하자. lim →∞    의 값은? (단, ≥인 자연수이다.) [3점] ①   ②   ③   ④  ⑤  수학 영역(A형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 자연수 에 대하여 좌표평면에서 직선             을 이라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13.  일 때 직선  의 절편을 , 절편을 라 하자. 두 행렬             ,          에 대하여 등식    를 만족시키는 행렬  의 모든 성분의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 직선  과 축, 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가   이하가 되도록 하는 자연수 의 최솟값은?  (단, log  , log  로 계산한다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여 등식         ⋯        을 만족시키는 두 자연수 , 가 존재하도록 하는 자연수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 수열 은   이고           ( ≥ )  을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 수열 의 모든 항이 이 아니므로            을 변형하면        (가) 이다.    이라 하면     이고      (가) ( ≥ ) 이므로    (나) 이다.  위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에서 선 분 AB 을   로 내분하는 점을 P , 선분 BC 을   로 내 분하는 점을 Q 이라 하자. 선분 AD 위의 점 A , 선분 PQ 위의 두 점 B , C , 선분 CD 위의 점 D 를 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD 를 그리고 정사각형 ABCD 의 내부 와 삼각형 PBQ의 내부를 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 정사각형 ABCD 에서 선분 AB 를   로 내분하는 점을 P , 선분 BC 를   로 내분하는 점을 Q 라 하자. 선분 AD 위의 점 A , 선분 PQ 위의 두 점 B , C , 선분 CD 위의 점 D 을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD 을 그리고 정 사각형 ABCD 의 내부와 삼각형 PBQ의 내부를 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있 는 부분의 넓이를  이라 할 때,   ∞  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 수열  에 대하여      라 할 때, 등식      ( ≥  )  가 성립한다.  의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 두 이차정사각행렬  , 가    ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고,  는 영행렬이다.) [4점] < 보 기 > ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.     ㄷ.  의 모든 성분의 합이 이면  의 모든 성분의 합은 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 두 수열 , 이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가)         (나)      ⋯           lim →∞       의 값은? [4점] ①   ②   ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 자연수 에 대하여 다음과 같이 모든 자연수를 작은 것부터 행에 개씩 차례로 나열하였다. 이때 행에 있는 의 배수를  이라 하자. 예를 들어    ,   이다. 행  행   행    행     행      행       ⋮ ⋮ ⋱  수열 에 대하여     의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 방정식 log  log 을 만족시키는 실수 의 값을 구하시오. [3점] 23. 행렬         에 대하여 행렬    의 모든 성 분의 합을 구하시오. [3점] 수학 영역(A형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 실수 에 대하여 lim →∞      일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 그림과 같이 어느 지역의 네 지점을 연결하는 도로가 있다.  이 지역의 네 지점을 좌표평면 위에 네 점 O , A , B , C 로 나타낼 때, 두 선분 OA , BC 의 교점을 P 라 하면 등식                가 성립한다. 두 상수 ,  에 대하여 의 값을 구하시오. [3점] 26. 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량을  라 하면 log log   (단, 는 상수)  가 성립한다. 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량은    이고, 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량은    이다. 충전된 전하량이  인 축전기에 전구를 연결한 지 초 후에 남아 있는 전하량은   이다. 상수 의 값을 구 하시오. (단, 전하량의 단위는 쿨롱(C)이다.) [4점] 수학 영역(A형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여       ⋯        ⋯   이라 할 때, lim →∞   의 값을 구하시오. [4점] 28. 좌표평면에서 직선   (     )가 두 곡선   log    ,   log와 만나는 점을 각각 P, Q 라 하고, 직선    (  ) 가 두 곡선   log    ,   log와 만나는 점을 각각 R , S라 하자. 네 점 P, Q, R, S는 다음 조건을 만족시킨다. (가) PQ  SR     (나) 선분 PR 의 중점의 좌표는   이다.  두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 모든 항이 양수인 수열 에 대하여     log     ( ≥  )  이 성립한다. log 의 가수가 일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 30. 좌표평면 위에 직선    가 있다. 자연수 에 대하여  축 위의 점 중에서 좌표가 인 점을 P , 직선     위의 점 중에서 좌표가   인 점을 Q 이라 하자. 삼각형 OPQ 의 내접원의 중심에서 축까지의 거리를  , 삼각형 OPQ 의 외 접원의 중심에서 축까지의 거리를  이라 할 때 lim →∞    이다.  의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.


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