2014 10월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2014학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.    × log 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →      의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④  ⑤  3. 함수     sin  cos의 최댓값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 수열  이   ∞          를 만족시킬 때, lim →∞  의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 무리방정식            의 모든 실근의 곱은? [3점] ①   ②   ③   ④  ⑤   6. 일차변환  를 나타내는 행렬이     cos  sin sin cos 일 때, 합성변환 ∘ 에 의하여 점  이 옮겨지는 점의 좌표는? [3점] ①    ②      ③    ④    ⑤    7. 함수       에 대하여    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④   ⑤   수학 영역(B형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 두 사건  ,  가 서로 독립이고 P      , P  ∩      일 때, P∩  의 값은? (단,   은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 좌표공간의 점 P   에서  평면에 내린 수선의 발을 H 라 하자.  평면 위의 한 직선 과 점 P 사이의 거리가  일 때, 점 H 와 직선  사이의 거리는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 연속함수     의 그래프가  축에 대하여 대칭이고,  모든 실수 에 대하여           일 때,    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12  P  ≤  ≤           11. 물체 주변의 온도가 (℃)로 일정하고 물체의 초기 온도가 (℃)일 때 초기 온도를 측정한 지 분 후 물체의 온도를  (℃)라고 하면 다음 식이 성립한다고 한다.          (단,  는 열전달계수이다.)  어떤 물체 주변의 온도가 ℃로 일정하고 물체의 초기 온도가 ℃일 때 초기 온도를 측정한 지 분 후 물체의 온도는 ℃가 되었고, 초기 온도를 측정한 지 분 후 물체의 온도는 ℃가 되었다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 어느 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛의 무게는 평균이  , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다.  이 제과점에서 판매되는 찹쌀 도넛 중  개를 임의추출하여 조사한 무게의 표본평균을  라 하자. P   ≤     를 만족시키는 상수 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 그림과 같이 B C  이고 ∠ABC   , ∠ACB   인 삼각형 ABC 가 있다. 다음은 AB  AC   라 할 때, cos 를 에 대한 식으로 나타내는 과정이다. 삼각형 ABC 에서 sin       sin  AB  sin  AC 이므로 AB  AC  sin  sin  × 가 이다. sinsin   sincos cossin  sincos   sin sin  sin  sin  이므로 AB AC  에서     sin  가  나  이다. 따라서 cos  다 이다.  위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 라 할 때,     의 값은? [3점] ①   ②     ③     ④   ⑤     14. 주머니 안에  ,  ,  , 가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 넣는 시행을 회 반복한다. 꺼낸  개의 공에 적힌 수를 모두 곱한 값으로 가능한 서로 다른 정수의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 두 이차정사각행렬 ,  가      ,      를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?  (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.       ㄷ.     ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 빗변 BC 의 길이가 인 직각이등변삼각형 ABC가 있다. 그림과 같이 삼각형 ABC의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 B , C 이 선분 BC 위에 놓이도록 정사각형 PBCQ 을 그린다. 중심이 A , 반지름의 길이가 AP 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 APQ 을 그린 후 부채꼴 APQ 의 호 PQ 과 선분 PQ 로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 선분 BC 을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 ABC을 그리고, 직각이등변삼각형 ABC에서 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞ 의 값은? [4점] … … ①    ②   ③    ④    ⑤   수학 영역(B형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 함수   의 그래프가 그림과 같다.  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. lim →      ㄴ. lim →     ㄷ. 함수 ∘는   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 중심이   이고 반지름의 길이가 인 원이 축과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. 이 원과 타원        이 만나는 점 중 한 점을 P 라 할 때, AP × BP 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤   수학 영역(B형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 원점을 지나고 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가   ≤    인 직선을 이라 하자. 곡선        ≥  과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이를   라 할 때, lim  →            의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤   20. 세 학생 A , B , C 가 다음 단계에 따라 최종 승자를 정한다. [단계 ] 세 학생이 동시에 가위바위보를 한다. [단계 ] [단계 ]에서 이긴 학생이 명뿐이면 그 학생이 최종 승자가 되고, 이긴 학생이  명이면 [단계 ] 으로 가고, 이긴 학생이 없으면 [단계 ]로 간다. [단계 ] [단계 ]에서 이긴 명 중 이긴 학생이 나올 때 까지 가위바위보를 하여 이긴 학생이 최종 승자가 된다.  가위바위보를  번 한 결과 A 학생이 최종 승자로 정해졌을 때, 번째 가위바위보를 한 학생이 명이었을 확률은? (단, 각 학생이 가위, 바위, 보를 낼 확률은 각각   이다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(B형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림은 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABC DEF의 밑면 ABC와 모든 모서리의 길이가  인 정사면체 OABC의 밑면 ABC를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 OB, BE의 중점을 각각 M, N이라 하고, 두 평면 MCA, NCA가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos의 값은? [4점] ①     ②    ③    ④    ⑤    단답형 22. 함수   ln 에 대하여  ′  의 값을 구하시오. [3점] 23.     는 이 순서대로 등차수열을 이루고    는 이 순서대로 등비수열을 이루고 있다.  의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(B형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 구           위를 움직이는 점 P가 있다. 점 P와 평면       사이의 거리의 최댓값을 라 할 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 자연수 에 대하여 점    을 지나고 제사분면에서 포물선     에 접하는 직선의 기울기를 이라 하자.      의 값을 구하시오. [3점] 26. 수열  은 첫째항이 양수이고 공비가  보다 큰 등비수열이다.   일 때,          를 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(B형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원의 호를 등분하여 양 끝점과 각 분점을 왼쪽부터 차례로 P , P , P , P , P , P , P 이라 하자. 이 개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P , P   ≤    ≤  이라 하고, 선분 PP 의 중점을 O라 하자. 두 벡터  OP ,  OP 의 내적  OP⋅ OP 의 값을 확률변수  라 할 때, E     이다. 의 값을 구하시오. (단,  와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 최고차항의 계수가 모두 양수인 두 이차함수 , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)      (나) 방정식   의 두 실근은 과 이다. (다) 분수부등식   ≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는 이다.  방정식   의 양의 실근을 라 할 때, 의 최댓값을 구하시오. [4점] 수학 영역(B형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 에 대하여 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ≤   일 때,      ≤       ≤    이다. (나) 모든 실수 에 대하여   이다. (다) 함수 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.      라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 그림과 같이 좌표공간에서 한 모서리의 길이가 인 정사면체 OPQR의 한 면 PQR가  축과 만난다. 면 PQR의  평면 위로의 정사영의 넓이를  라 할 때,  의 최솟값은 이다.  의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 2014학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.         의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④   ⑤  2. 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이                     일 때,  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  ,  가 서로 배반사건이고 P     , P      일 때, P∪ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 다항함수 가 lim →       을 만족시킬 때,   ′ 의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④   ⑤   6. 확률변수  의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.     계 P         E  일 때,  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  7. 행렬          가     를 만족시킨다. 정수 의 값은?  (단,  는 영행렬이다.) [3점] ①   ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 지수함수    의 그래프가 그림과 같다.     ,   일 때,   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을   이라 할 때, lim →∞     의 값은? [3점] ①  ②  ③   ④   ⑤   10. 다항함수 가 lim →∞      를 만족시킬 때,  lim →     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12   ≤  ≤          11. 어느 제과 회사에서 만든 과자  개의 무게는 평균이  , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제과 회사에서 만든 과자 중 임의로 개를 선택할 때, 이 과자의 무게가  이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 물체 주변의 온도가 (℃ )로 일정하고 물체의 초기 온도가 (℃)일 때 초기 온도를 측정한 지 분 후 물체의 온도를  (℃)라고 하면 다음 식이 성립한다고 한다.          (단,  는 열전달계수이다.)  어떤 물체 주변의 온도가 ℃로 일정하고 물체의 초기 온도가 ℃ 일 때 초기 온도를 측정한 지 분 후 물체의 온도는 ℃ 가 되었고, 초기 온도를 측정한 지 분 후 물체의 온도는 ℃가 되었다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. 수열 은    이고          ( ≥  )  을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여          이므로           가 이다.       이라 하면      가 이고,   이므로   나 ( ≥  ) 이다. 따라서   나   ( ≥  )이다.  위의 (가)에 알맞은 수를  , (나)에 알맞은 식을 이라 할 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 함수   의 그래프가 그림과 같다.  일차함수 에 대하여   lim → 이고, 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 [15 ~ 16] 자연수 에 대하여 곡선     (   ) 위의 점 P  을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 P 의 좌표는      이다. (나) 점 P    은 점 P      을 지나는 직선        과 곡선     이 만나는 점 중에서 점 P 이 아닌 점이다.  15번과 16번의 두 물음에 답하시오. 15. 점 P 의  좌표로 이루어진 수열 에서     일 때,  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤  16. 점 P 의 좌표가     일 때, 곡선     과 직선 PP 로 둘러싸인 부분 중에서 제사분면에 있는 부분의 넓이는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 두 이차정사각행렬 ,  가      ,      를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?  (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.       ㄷ.     ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 빗변 BC 의 길이가 인 직각이등변삼각형 ABC가 있다. 그림과 같이 삼각형 ABC의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 B , C 이 선분 BC 위에 놓이도록 정사각형 PBCQ 을 그린다. 중심이 A , 반지름의 길이가 AP 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 APQ 을 그린 후 부채꼴 APQ 의 호 PQ 과 선분 PQ 로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에 선분 BC 을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 ABC을 그리고, 직각이등변삼각형 ABC에서 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞ 의 값은? [4점] … … ①    ②   ③    ④    ⑤   수학 영역(A형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 모든 실수  에 대하여 함수 는 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)      (  ≤   )  함수       라 할 때,  실수 에 대하여  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 빨간 공, 파란 공, 노란 공이 각각 개씩 있다. 이 개의 공만을 사용하여 빨간 상자, 파란 상자, 노란 상자에 상자의 색과 다른 색의 공을  개씩 담으려고 한다. 공을 담는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 곡선     위의 점 P   에서 접하는 직선을 이라 하자. 직선 과 수직인 직선 중 곡선     에 접하는 직선을 이라 하고, 직선 과 곡선     의 접점을 Q 라 하자.  축과 직선 PQ 가 점 R 에서 만날 때, 점 R 의  좌표는?  (단, ≠ ) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 다항식   의 전개식에서   의 계수를 구하시오. [3점] 23.     는 이 순서대로 등차수열을 이루고    는 이 순서대로 등비수열을 이루고 있다.  의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(A형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 모든 실수 에 대하여 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.             의 값을 구하시오. [3점] 25. 양수 에 대하여 log 의 가수를  라 할 때, 집합        log  은  이하의 자연수  의 원소의 개수를 구하시오. [3점] 26. 두 함수   log ,   log    의 그래프가 그림과 같다.  구간  ∞에서 정의된 함수      는   일 때  최솟값을 갖는다.   의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 자연수 에 대하여 삼차방정식       의  양의 실근의 개수를 라 하자.    의 값을 구하시오. [4점] 28. 함수   의 그래프가 그림과 같다.  한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수를 라 할 때, 곡선   와 직선   의 교점의 개수를 확률변수  라 하자.     라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 수학 영역(A형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 곡선     위에 두 점 P    , Q    이 있다. 직선 PQ 와 직선    의 교점의  좌표를 라 할 때,  lim → 의 값을 구하시오. [4점] 30. 수열 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)      ( ≥ ) (나)            의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.