2014 9월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 2015학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 5지선다형 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합이 일 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →     의 값은? [2점] ①    ②    ③  ④  ⑤  3. 함수   sin에 대하여 ′의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.   의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 서로 평행하지 않은 두 벡터  ,   에 대하여    이고  ⋅   일 때, 두 벡터  와     가 서로 수직이 되도록 하는 실수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 분수부등식     ≤  을 만족시키는 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 그림과 같이 좌표평면에 모든 꼭짓점이 좌표축 위에 있고 한 변의 길이가 각각  ,  인 정사각형 ABCD 와 정사각형 EFGH 가 있다. 두 일차변환  ,  를 나타내는 행렬을 각각       ,       이라 하자. 합성변환 ∘에 의하여 점 A 가 점 H 로 옮겨질 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. ≤≤일 때, 삼각방정식 sin  sin 의 모든 해의 합은? [3점] ①  ②    ③    ④    ⑤    9. 두 사건 ,  에 대하여 P∩    P    P 일 때,  P∩ P∪ 의 값은? (단, P∩≠이다.) [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  10. 도로용량이  인 어느 도로구간의 교통량을  , 통행시간을 라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. log     log    (  ) (단,  은 도로 특성 등에 따른 기준통행시간이고, 는 상수이다.) 이 도로구간의 교통량이 도로용량의 배일 때 통행시간은 기준통행시간  의   배이다. 의 값은? [3점] ① log ② log ③ log ④ log ⑤ log 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 자연수 에 대하여 직선    이 꼭짓점의 좌표가  이고 초점이   인 포물선에 접할 때,       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 첫째항이 인 수열 에 대하여        라 할 때,            (≥) …… (*) 이 성립한다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 주어진 식 (*)에 의하여             (≥) …… ㉠ 이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면        가 (≥) 이다. ㉠으로부터   이고,       ×      ×⋯×    × (≥) 이므로   × 나 (≥) 이다. 그러므로  은               × ≥ 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  이라 할 때, ×의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 [13～14] 그림과 같이 중심이 O , 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 가 있다. 자연수 에 대하여 호 AB 를 등분한 각 분점(양 끝점도 포 함)을 차례로 P A, P, P, …, P , P B라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 주어진 자연수 에 대하여   ≤≤을 삼각형 O P P 의 넓이라 할 때, lim →∞          의 값은? [3점] ①    ②   ③   ④   ⑤   14.   일 때, 점 P, P, P, P, P 중에서 임의로 선택한 한 개의 점을 P 라 하자. 부채꼴 OPA 의 넓이와 부채꼴 OPB 의 넓이의 차를 확률변수  라 할 때, E의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 좌표공간에 두 점   과   을 지나는 직선 이 있다. 점   와 직선  사이의 거리가 일 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 중심이 O, 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 가 있다. 그림과 같이 호 AB 를 이등분하는 점을 M이라 하고 호 AM과 호 MB 를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 OAB 에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가   인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가   인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 다음 조건을 만족시키는 좌표평면 위의 점   중에서 임의로 서로 다른 두 점을 선택한다. 선택된 두 점의 좌표가 같을 때, 이 두 점의 좌표가 일 확률은? [4점] (가)  는 정수이다. (나)        ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 두 이차정사각행렬   가     ,    를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.    ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 어느 학교 학년 학생의 A 과목 시험 점수는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따르고, B 과목 시험 점수는 평균이  , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학년 학생 중에서 A 과목 시험 점수가 점 이상인 학생의 비율이 %이고, B 과목 시험 점수가 점 이상인 학생의 비율이 %일 때, 의 값은? (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P ≤ ≤   , P ≤ ≤   로 계산한다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20.  이상의 자연수 에 대하여 함수 가      일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.    ′    ㄴ. 함수 는   에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. 점  은 곡선   의 변곡점이다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 양수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각 ,  라 하자. 자연수 에 대하여          을 만족시키는 서로 다른 모든 의 합을  이라 할 때, lim →∞    의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  단답형 22. 공비가 인 등비수열 에 대하여     일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 23. 로그방정식 log log     의 해를 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 좌표공간에서 직선          에 수직이고 점   를 지나는 평면의 방정식을    이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단,   는 상수이다.) [3점] 25. 보다 큰 실수 에 대하여 타원        의 두 초점과 쌍곡선      의 두 초점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이가 일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 26. 자연수 에 대하여     을 만족시키는 보다 큰 자연수   의 순서쌍   의 개수가 일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 최고차항의 계수가 인 이차함수   의 그래프가 두 점  ,  을 지날 때, 무리방정식      의 모든 실근의 합을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 서로 평행한 두 직선   과   사이의 거리가 이다. 직선   위의 점 A 에 대하여 직선   위에 점 B 를 선분 AB 와 직선   이 이루는 각의 크기가  가 되도록 잡고, 직선   위에 점 C 를 ∠ABC  가 되도록 잡는다. 직선   위에 점 D 를 ∠BCD  이고 선분 CD 가 선분 AB 와 만나지 않도록 잡는다. 삼각형 ABC 의 넓이를  , 삼각형 BCD 의 넓이를  라 할 때, lim →     의 값을 구하시오. (단,       ) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 그림과 같이 평면  위에 놓여 있는 서로 다른 네 구  ,  ,  ,  이 다음 조건을 만족시킨다. (가)  의 반지름의 길이는 이고,  ,  ,  의 반지름의 길이는 이다. (나)  ,  ,  은 모두  에 접한다. (다)  은  와 접하고,  는  과 접한다.  ,  ,  의 중심을 각각 O, O, O 이라 하자. 두 점 O , O를 지나고 평면 에 수직인 평면을  , 두 점 O , O 을 지나고 평면 에 수직인 평면이   과 만나서 생기는 단면을 라 하자. 단면 의 평면  위로의 정사영의 넓이를    라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 에 대하여   이다. (나) 임의의 양의 실수 에 대하여 세 점  ,  ,   을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가   이다. (다)                     라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 2015학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 5지선다형 1.    × 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 행렬         에 대하여 행렬 의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 공비가 인 등비수열 에 대하여   일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6.    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 사건  와  는 서로 배반사건이고 P∪  P   일 때, P의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →  lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 어느 직업 체험 행사에 참가한 명의 A 고등학교  , 학년 학생 중 남학생과 여학생의 수는 다음과 같다. (단위: 명) 구분 남학생 여학생 학년   학년   이 행사에 참가한 A 고등학교  , 학년 학생 중에서 임의로 선택한 명이 여학생일 때, 이 학생이 학년 학생일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 도로용량이  인 어느 도로구간의 교통량을  , 통행시간을 라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. log     log    (  ) (단,  은 도로 특성 등에 따른 기준통행시간이고, 는 상수이다.) 이 도로구간의 교통량이 도로용량의 배일 때 통행시간은 기준통행시간  의   배이다. 의 값은? [3점] ① log ② log ③ log ④ log ⑤ log 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 그림과 같이 두 곡선      ,  log 이 축과 만나는 점을 각각 A, B 라 하자. 점 A 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선  log 과 만나는 점을 C , 점 B 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선     와 만나는 점을 D 라 할 때, 사각형 ADBC 의 넓이는? [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤  12. 자연수 에 대하여  ⋅  의 모든 양의 약수의 개수를  이라 할 때,     ∞    의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 [13～14] 이차함수   의 그래프는 그림과 같고,     이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 에 대하여 이 보다 큰 사건을  라 하자. 한 개의 주사위를 회 던지는 독립시행에서 사건  가 일어나는 횟수를 확률변수  라 할 때, E의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  14. lim →∞                일 때, ′의 값은? [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 네 개의 자연수     중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택할 때, 세 수의 곱이  이하가 되도록 선택하는 경우의 수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 첫째항이 인 수열 에 대하여        라 할 때,            (≥) …… (*) 이 성립한다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 주어진 식 (*)에 의하여             (≥) …… ㉠ 이다. (*)에서 ㉠을 빼서 정리하면        가 (≥) 이다. ㉠으로부터   이고,       ×      ×⋯×    × (≥) 이므로   × 나 (≥) 이다. 그러므로  은               × ≥ 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  이라 할 때, ×의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 함수     의 모든 극값의 곱이 일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 중심이 O, 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 가 있다. 그림과 같이 호 AB 를 이등분하는 점을 M이라 하고 호 AM과 호 MB 를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 OAB 에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가   인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가   인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12  P ≤ ≤          19. 두 이차정사각행렬   가     ,     를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이고, 는 영행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.  의 역행렬이 존재한다. ㄴ.    ㄷ.    ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 어느 나라에서 작년에 운행된 택시의 연간 주행거리는 모평균이 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 나라에서 작년에 운행된 택시 중에서 대를 임의추출하여 구한 연간 주행거리의 표본평균이  이고, 이 결과를 이용하여 신뢰도 %로 추정한 에 대한 신뢰구간이       이었다. 이 나라에서 작년에 운행된 택시 중에서 임의로 대를 선택할 때, 이 택시의 연간 주행거리가  이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 주행거리의 단위는 km이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 최고차항의 계수가 인 다항함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은? [4점] (가)   (나) 모든 양의 실수 에 대하여 ≤≤  이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim →    의 값을 구하시오. [3점] 23. , 에 대한 연립일차방정식                의 해가    ,   일 때, 의 값을 구하시오. (단,  는 상수이다.) [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 등차수열 에 대하여    일 때,      의 값을 구하시오. [3점] 25. 함수           ≠     이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값을 구하시오. [3점] 26. 다항함수 가 모든 실수 에 대하여      를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 곡선            위를 움직이는 점 P 와 직선    사이의 거리를 최소가 되게 하는 곡선 위의 점 P 의 좌표를  라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 자연수 에 대하여 점  을 중심으로 하고 축에 접하는 원  이 있다. 원  위를 움직이는 점과 점   사이의 거리의 최댓값을  , 최솟값을  이라 할 때, lim →∞   의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 구간   의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수  에 대하여 P ≤ ≤    (≤≤) 이 성립할 때, P ≤       이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 , 의 모든 순서쌍  의 개수를 구하시오. [4점] (가)  ≤ ≤ ,  ≤  ≤  (나) 곡선     이 원       과 만나지 않는다. (다) 곡선     이 원       와 적어도 한 점에서 만난다. 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.