2014 6월 모의평가 수학 문제 해설

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1 12 2015학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 5지선다형 1. log log   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 행렬         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합이 일 때, 의 값은? (단,  는 단위행렬이다.) [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. sin    일 때, cos 의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4. 함수    에 대하여 ′의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. 함수    sincos의 최댓값이 일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6.     ln 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 실수 에 대하여 이차정사각행렬  가 다음을 만족시킨다.         ,           , 에 대한 연립방정식          이       이외의 해를 갖도록 하는 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 수열 은   이고,           (≥) 을 만족시킨다.  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수    의 그래프와 축, 축 및 직선   로 둘러싸인 영역의 넓이가 직선        에 의하여 이등분될 때, 상수 의 값은? [3점] ①     ②    ③   ④     ⑤    10. 세대당 종자의 평균 분산거리가 이고 세대당 종자의 증식률이 인 나무의 세대 동안 확산에 의한 이동거리를 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.  × log 세대당 종자의 평균 분산거리가 각각  , 인 A 나무와 B 나무의 세대당 종자의 증식률을 각각 A , B 라 하고 세대 동안 확산에 의한 이동거리를 각각  A ,  B 라 하자.  B A   이고  A  일 때,  B 의 값은? (단, 거리의 단위는 m이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 11. 두 일차변환  ,  를 나타내는 행렬을 각각       ,       이라 하자. 합성변환   ∘에 의하여 점  가 점  로 옮겨질 때, 의 값은? (단,  는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 쌍곡선       위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점을 B 라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점 중 좌표가 양수인 점을 F라 할 때, 삼각형 FAB의 넓이는? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 수열 에 대하여          (≥) 일 때,        의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 함수   에 대하여 부등식    ≥  을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 그림과 같이  AD  ,  AB 인 직사각형 ABCD 에서 선분 AD 의 중점을 M이라 하자. 중심이 A, 반지름의 길이가 A B 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 ABM 을 그리고, 부채꼴 ABM 에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 부채꼴 ABM 의 호 BM 이 선분 AC 과 만나는 점을 A 라 하고, 중심이 A, 반지름의 길이가 A D 인 원이 선분 AC 과 만나는 점을 C 라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가   이고 가로가 선분 AD 과 평행한 직사각형 ABCD 를 그리고, 직사각형 ABCD 에서 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim →∞ 의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    16. 두 이차정사각행렬   가  ,   를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.    ㄴ.    ㄷ.  의 역행렬이 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 그림과 같이 두 초점 F F′이 축 위에 있는 타원         위의 점 P가 FP 를 만족시킨다. 점 F에서 선분 PF′ 에 내린 수선의 발 H 에 대하여  FH  일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 닫힌 구간  에서 정의된 함수   의 그래프가 그림과 같다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. lim →    lim →    ㄴ. lim →∞     ㄷ. 함수 는   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19.       인 두 실수 , 에 대하여 두 함수   log ,    log  이 있다. 곡선   와 축의 교점이 곡선    의 점근선 위에 있도록 하는 와  사이의 관계식과 의 범위를 옳게 나타낸 것은? [4점] ①           ②           ③           ④           ⑤           20. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수   의 모든 순서쌍   의 개수는? [4점] (가)    (나) 좌표평면에서 세 점  ,  ,  가 한 직선 위에 있지 않다. ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 양의 실수 에 대하여 좌표평면에서  , 에 대한 연립부등식     ≤   ≤  가 나타내는 영역의 넓이를 라 하자. 다음은 ′의 값을 구하는 과정이다. 원         의 중심을 A , 원  와 직선    가 만나는 두 점을 각각 O, B 라 하자. 직선 이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를        라 하면 ∠OAB   이다. 주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 라 하면    (가) 이다.   tan 이므로    tan이고, 합성함수의 미분법에 의하여  ′  ′× (나) 이다.   일 때, tan  이므로 ′  (다) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각  ,  라 하고 (다)에 알맞은 수를 라 할 때, ×   ×    의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. lim →   ln 의 값을 구하시오. [3점] 23.       의 전개식에서 상수항이 일 때, 양수 의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 일차변환 와 두 × 행렬   에 대하여                이 성립한다.         를 만족시키는 두 상수  에 대하여 의 값을 구하시오. [3점] 25. 공비가 양수인 등비수열 이    ,     ∞     를 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [3점] 26. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 에 대하여 함수  를    ln 이라 하자. 곡선    위의 점  에서의 접선과 곡선     위의 점  에서의 접선이 서로 수직일 때, ′의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 두 함수   ,     에 대하여 무리방정식         의 모든 실근의 합을 라 하자. 의 값을 구하시오. [4점] 28. 좌표평면에서 포물선      의 초점을 F , 포물선      의 초점을 F 라 하자. 점 P는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 중심이   위에 있고 점 F 을 지나는 원과 중심이   위에 있고 점 F 를 지나는 원의 교점이다. (나) 제사분면에 있는 점이다. 원점 O 에 대하여  OP  의 최댓값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 그림과 같이 사다리꼴 ABCD 에서 변 AD 와 변 BC 가 평행하고 ∠B  , ∠C  , BC sin , AD sin 이다. 사다리꼴 ABCD 의 넓이를  라 할 때, lim →          이다. 의 값을 구하시오. (단,       이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여 ≤′≤ 이다. (나) 모든 정수 에 대하여 함수   의 그래프는 점  , 점  , 점  , 점  을 모두 지난다. (다) 모든 정수 에 대하여 닫힌 구간  에서 함수   의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.    라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 2015학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 5지선다형 1. ×  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬               에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 2 12 5. log log 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 등차수열 에 대하여   ,   일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   ≠     이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 3 3 12 8. 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열 에 대하여 lim →∞     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수     에 대하여 lim →    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10.            일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 4 12 [11～12] 행렬         에 대하여 11번과 12번의 두 물음에 답하시오. 11. , 에 대한 연립방정식           가 무수히 많은 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 두 수열 , 에 대하여           이 성립할 때, lim →∞     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 5 5 12 13. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →     lim →   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 위치 가       이다.   에서 점 P의 속도가 일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 6 12 15. 세대당 종자의 평균 분산거리가 이고 세대당 종자의 증식률이 인 나무의 세대 동안 확산에 의한 이동거리를 이라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.  × log 세대당 종자의 평균 분산거리가 이고 세대당 종자의 증식률이 인 나무의 세대 동안 확산에 의한 이동거리 의 값은? (단, 거리의 단위는 m이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 함수     의 극댓값이 일 때, 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 7 7 12 17. 수열 은   이고,        ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여       이다.        × (가) 이므로,     (가) 라 하면     이다.       이고   이므로  (나) 이다. 그러므로   (가)  (나) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 ,  이라 할 때, × 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 그림과 같이  AD  ,  AB 인 직사각형 ABCD 에서 선분 AD 의 중점을 M이라 하자. 중심이 A, 반지름의 길이가  AB 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 ABM 을 그리고, 부채꼴 ABM 에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 부채꼴 ABM 의 호 BM 이 선분 AC 과 만나는 점을 A 라 하고, 중심이 A, 반지름의 길이가  AD 인 원이 선분 AC 과 만나는 점을 C 라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가   이고 가로가 선분 AD 과 평행한 직사각형 ABCD 를 그리고, 직사각형 ABCD 에서 그림 을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim →∞ 의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 8 12 19. 두 이차정사각행렬   가  ,    를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.    ㄴ.    ㄷ.  의 역행렬이 존재한다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20.       인 두 실수 , 에 대하여 두 함수   log ,    log  이 있다. 곡선   와 축의 교점이 곡선    의 점근선 위에 있도록 하는 와  사이의 관계식과 의 범위를 옳게 나타낸 것은? [4점] ①           ②           ③           ④           ⑤           이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 9 9 12 21. 최고차항의 계수가 인 두 삼차함수 ,  가 다음 조건을 만족시킨다. (가)     (나) lim →      (     )  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim →∞      의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수    에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 10 12 24. 닫힌 구간   에서 두 함수    ,        의 최댓값을 각각   라 하자.  의 값을 구하시오. [3점] 25. 수열 에 대하여 무한급수     ∞       이 수렴할 때, lim →∞  의 값을 구하시오. [3점] 26. 수열 은   이고,           (≥) 을 만족시킨다.  의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 11 11 12 27. 곡선     위의 점  에서의 접선이 점  를 지날 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 자연수 에 대하여 순서쌍  을 다음 규칙에 따라 정한다. (가)     (나) 이 홀수이면         이고, 이 짝수이면         이다. 순서쌍  에서    의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 다항함수 가 lim →∞     , lim →       를 만족시킬 때, lim →∞     의 값을 구하시오. [4점] 30. 양수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 두 자연수  의 모든 순서쌍  의 개수를 구하시오. [4점] (가) ≤ ≤  (나) log log≤ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.