2019 7월 학력평가 수학 문제 해설 - 2019.7.10.

 

수학가형 문제(2019-07-11 / 1.35MB / 146회)

 

수학가형 해설(2019-07-11 / 494.6KB / 130회)

 

수학나형 문제(2019-07-11 / 1.34MB / 109회)

 

수학나형 해설(2019-07-11 / 501.9KB / 131회)

 

 고 3 수학 영역 (가형) 1  1 12 5지선다형 1. 두 벡터    ,     에 대하여 벡터    의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim→         의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤  3. 좌표공간의 두 점 A    , B    에 대하여 선분 AB 를    로 외분하는 점이 원점일 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  , 가 서로 독립이고  P   , P∪   일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2019학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (가형) 1 2 수학 영역 (가형) 고 3 2 12 5. 부등식 loglog ≤  을 만족시키는 모든 정수  의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 한 개의 주사위를  번 던져서 나오는 다섯 눈의 수의 곱이 짝수일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7. 두 점 F  , F′    을 초점으로 하는 타원이 있다. 점 F′ 을 지나고 기울기가 양수인 직선과 타원의 교점을 각각 A , B 라 하자. 삼각형 ABF 의 둘레의 길이가  일 때, 타원의 단축의 길이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 3  3 12 8. 곡선   ln   에 대하여    일 때,   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수     의 역함수를 라 할 때,  ′의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가      을 만족시킬 때,  의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②   ③   ④   ⑤   4 수학 영역 (가형) 고 3 4 12 11. 양수  에 대하여 함수    의 역함수의 그래프를  축의 방향으로  만큼 평행이동시킨 곡선을    라 하자. 두 곡선   ,   의 점근선의 교점이 직선      위에 있을 때, 의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  12. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 ,  에 대하여 함수 를   ∘ 라 할 때, 두 함수 ,  가 다음 조건을 만족시킨다. (가)   ,  ′  (나) lim→       ′의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (가형) 5  5 12 13. 주머니에  ,  ,  ,  의 숫자가 하나씩 적혀 있는  개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로  개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수이면  개의 동전을  번 던지고, 소수가 아니면  개의 동전을  번 던진다. 동전의 앞면이  번 나왔을 때, 꺼낸  개의 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 함수      에 대하여 곡선   와  축 및  축으로 둘러싸인 영역을  , 곡선    와  축 및 직선    으로 둘러싸인 영역을 라 하자. 영역  의 넓이와 영역 의 넓이의 합은? [4점] ① ln ② ln ③ ln ④ ln ⑤ ln O           6 수학 영역 (가형) 고 3 6 12 15. tan           이고  ≤     일 때, 부등식  cos ≤ sin≤ cos 를 만족시키는  에 대하여 tan 의 최댓값과 최솟값의 합은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 확률변수  가 평균이  , 표준편차가  인 정규분포를 따를 때, 실수 전체의 집합에서 정의된 함수  는   P ≤  ≤   이다. 함수  는    에서 최댓값을 갖고,   이다. 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여  의 값을 구한 것은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤   P ≤  ≤          고 3 수학 영역 (가형) 7  7 12 17. 그림과 같이 길이가  인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB 위의 점 P 에 대하여 QB QP 를 만족시키는 반원 위의 점을 Q 라 할 때, ∠BQP          라 하자. 삼각형 QPB 의 넓이를  라 할 때, lim →     의 값은? [4점] A P B  Q ①   ②   ③  ④  ⑤  18. 앞면에 숫자  ,  ,  ,  ,  가 하나씩 적혀 있는  장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로  장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자  ,  ,  을 차례로 적는다. 이  장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수  라 하자. 예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로  ,  ,  인 경우는    이다. 다음은 확률변수  의 평균 E 를 구하는 과정이다. (단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀 있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.) 상자에 들어 있는  장의 카드 중에서 임의로  장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자  ,  ,  을 차례로 적는 경우의 수는 P   이다. 확률변수  가 가질 수 있는 값은  ,  ,  ,  이므로 (ⅰ)    인 사건은  장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 P      (ⅱ)    인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가  장이고, 나머지  장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 P    가 (ⅲ)    인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가  장이고, 나머지  장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 P    나 (ⅳ)    인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여 P       가  나  이다. 따라서 E     × P   다 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각  ,  ,  라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역 (가형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 AB AD 이고 AE  인 직육면체 ABCD EFGH 가 있다. 선분 BC 위의 점 P 와 선분 EF 위의 점 Q 에 대하여 삼각형 PHQ 의 평면 EFGH 위로의 정사영은 한 변의 길이가  인 정삼각형이다. 삼각형 EQH 의 평면 PHQ 위로의 정사영의 넓이는? [4점] D C A B E Q F H G P ①   ②   ③  ④   ⑤   20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 모든 실수  에 대하여   ,   를 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서  ′ 가 연속이고,    ′   일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 모든 실수 에 대하여  이다. ㄴ.   ㄷ.    ′   일 때,       이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (가형) 9  9 12 21.      인 실수  에 대하여 직선    와 함수  sin        의 그래프가 만나는 점을 P 라 할 때, 곡선    위의 점 P 에서 그은 접선의  절편을  라 하자. ′   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. P × C의 값을 구하시오. [3점] 23. sec   일 때, tan   의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (가형) 고 3 10 12 24. 이항분포 B   를 따르는 확률변수  에 대하여 E  일 때, V 의 값을 구하시오. [3점] 25. 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각    에서의 위치 P   가    ln  ,        이다.      일 때, 점 P 의 속도를   라 하자.    의 값을 구하시오. [3점] 26. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)   (나)  이 아닌 모든 실수  에 대하여    ′    이다. × 의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (가형) 11  11 12 27. 어느 수영장에  번부터  번까지  개의 레인이 있다.  명의 학생이 서로 다른 레인의 번호를 각각  개씩 선택할 때,  명의 학생이 선택한 레인의 세 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택하는 경우의 수를 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 두 점 F , F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선          의 제 사분면 위의 점을 P 라 하자. 삼각형 PF′F 에 내접하는 원의 반지름의 길이가  일 때, 이 원의 중심을 Q 라 하자. 원점 O 에 대하여 OQ 의 값을 구하시오. (단, 점 F 의  좌표는 양수이다.) [4점]  F′ O F   P         12 수학 영역 (가형) 고 3 12 12 29. 중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 원이 있다. 양수  에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 A , B , C 가    OA    OB    OC    를 만족시킨다.  OA∙  OB 의 값이 최대일 때, 삼각형 ABC 의 넓이를  라 하자.  의 값을 구하시오. [4점] 30.      에서 극댓값을 갖는 사차함수 에 대하여 함수  가         cos ≠       일 때, 함수  는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ′×  ′≠ (나) 함수 는   에서 극값을 갖는다.    일 때,    이다. 의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.) [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 고 3 수학 영역 (나형) 1  1 12 5지선다형 1.  ×    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합     ,     에 대하여 ∩  일 때,  의 값은? 단,  ,  는 실수이다. [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞        의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④  ⑤   4. 그림은 함수    → 를 나타낸 것이다.              의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2019학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지 제2 교시 수학 영역 (나형) 1 2 수학 영역 (나형) 고 3 2 12 5.     의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④  ⑤   6. 함수                 ≥   가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수    의 그래프가 그림과 같다.         O    lim →   lim→  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 3  3 12 8. 좌표평면에서 함수     의 그래프가 직선    에 대하여 대칭일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 두 사건  , 가 서로 독립이고  P   , P    P∩ 일 때, P 의 값은? 단,   는  의 여사건이다. [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 함수    의 그래프를  축의 방향으로  만큼,  축의 방향으로  만큼 평행이동하면 함수    의 그래프와 일치한다.  의 값은? 단,  ,  는 상수이다. [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수학 영역 (나형) 고 3 4 12 11. 어느 고등학교  학년 전체 학생  명을 대상으로 영화와 뮤지컬에 대한 관람 희망 여부를 조사한 결과는 다음과 같다.  영화 뮤지컬 희망함 희망하지 않음 합계 희망함    희망하지 않음    합계     단위: 명 이 고등학교  학년 학생 중에서 임의로 선택한  명이 영화 관람을 희망한 학생일 때, 이 학생이 뮤지컬 관람도 희망한 학생일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12.  보다 큰 두 실수  ,  에 대하여  log        가 성립할 때, loglog의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   고 3 수학 영역 (나형) 5  5 12 13. 어느 공장에서 생산하는 전기 자동차 배터리  개의 용량은 평균이  , 표준편차가  인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 전기 자동차 배터리 중 임의로  개를 선택할 때, 이 배터리의 용량이  이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?  단, 전기 자동차 배터리 용량의 단위는 kWh 이다. [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 공차가  이 아닌 등차수열 에 대하여   일 때,        의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤    P ≤  ≤          6 수학 영역 (나형) 고 3 6 12 15. 집합  의 모든 원소의 합을  라 할 때, 실수 전체의 집합의 두 부분집합        ,        에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수  의 값은? [4점] (가)   (나)      (다) ∪  ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 어느 수영장에  번부터  번까지  개의 레인이 있다.  명의 학생이 서로 다른 레인의 번호를 각각  개씩 선택할 때,  명의 학생이 선택한 레인의 세 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택하는 경우의 수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수학 영역 (나형) 7  7 12 17. 공차가 자연수인 등차수열 과 공비가 자연수인 등비수열 이      이고, 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)       의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 앞면에 숫자  ,  ,  ,  ,  가 하나씩 적혀 있는  장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로  장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자  ,  ,  을 차례로 적는다. 이  장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수  라 하자. 예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로  ,  ,  인 경우는    이다. 다음은 확률변수  의 평균 E 를 구하는 과정이다. (단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀 있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.) 상자에 들어 있는  장의 카드 중에서 임의로  장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자  ,  ,  을 차례로 적는 경우의 수는 P   이다. 확률변수  가 가질 수 있는 값은  ,  ,  ,  이므로 (ⅰ)    인 사건은  장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 P      (ⅱ)    인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가  장이고, 나머지  장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 P    가 (ⅲ)    인 사건은 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가  장이고, 나머지  장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로 P    나 (ⅳ)    인 사건의 경우에는 확률질량함수의 성질에 의하여 P       가  나  이다. 따라서 E     × P   다 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각  ,  ,  라 할 때,  의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수학 영역 (나형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC이 있다. 세 선분 AB , BC , CA을    로 내분하는 점을 각각 A , B , C라 하자. 선분 BC을 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 BC를 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 세 선분 AB , BC , CA를    로 내분하는 점을 각각 A , B , C이라 하자. 선분 BC를 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 BC을 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim→∞ 의 값은? [4점] A B C B A C B C B A A C C B A   ⋯  ⋯ ①   ②   ③   ④   ⑤   20. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수       (   는 상수)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식   의 모든 실근이 ,  , 이다.  단,       (나)     ,  ′  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.   ㄴ.  ′  ㄷ. 방정식   의 서로 다른 실근의 개수가  이 되도록 하는 양수 의 범위는       이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 고 3 수학 영역 (나형) 9  9 12 21. 좌표평면 위의 점   를 지나고 곡선          는 자연수 에 접하는 서로 다른 모든 직선의 개수를 라 할 때, 함수 에 대하여 합성함수  ∘ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 의 최솟값을  이라 할 때,  의 값은? [4점] (가) 모든 실수  에 대하여   이다. (나) 함수  의 치역의 원소의 개수는  이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. P의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수       에 대하여  ′ 의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역 (나형) 고 3 10 12 24.  의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [3점] 25. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각   ≥ 에서의 위치  가         는 상수 이다. 점 P 의 시각    에서의 속도가  일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 26. 첫째항이  이고 모든 항이 양수인 수열 이 있다.  에 대한 이차방정식       이 모든 자연수  에 대하여 중근을 가질 때,     의 값을 구하시오. [4점] 고 3 수학 영역 (나형) 11  11 12 27. 함수      의 그래프 위의 점 P 에 대하여 곡선    와  축 및 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이를  , 곡선    와 두 직선    ,    로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자.   일 때, 의 값을 구하시오.  단,    [4점]       O        P 28. 집합          에 대하여 일대일 대응인 함수    → 가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수  의 개수를 구하시오. [4점] (가)  가 소수일 때, ≤  이다. (나)    이고 가  의 약수이면   이다. 12 수학 영역 (나형) 고 3 12 12 29. 첫째항이  이 아닌 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합 에 대하여   이다. 집합 을           ⋯   이라 하자. 집합 의 원소의 개수가  이 되도록 하는 모든 자연수  의 값의 합을 구하시오. [4점] 30.    과      에서 극값을 갖는 삼차함수 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수              ′  ≥  이 다음 조건을 만족시킨다. (가)   ,   (나) 함수  는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (다) 함수  는 극솟값을 갖는다.    의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.