공기출 - 2019 3월 학력평가 수학 문제 해설

수학 가형 문제 (2019-03-11 / 287.0KB / 108회)

수학 가형 해설(2019-03-11 / 419.8KB / 96회)

수학 나형 문제 (2019-03-11 / 331.8KB / 151회)

수학 나형 해설(2019-03-11 / 395.5KB / 103회)

1 12 5지선다형 1. P의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. cos    일 때, sec 의 값은? [2점] ①  ②   ③   ④   ⑤  3. lim →     의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤   4. 함수    sin 에 대하여 lim →    의 값은? [3점] ①    ②  ③    ④   ⑤    2019학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학영역(가형) 1 제 2 교시 수학영역(가형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 함수   ln  의 그래프는 점  를 지나고, 직선   을 점근선으로 갖는다.  의 값은? (단, ,  는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6.     의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④  ⑤   7. 함수   ln 에 대하여 lim →    일 때, 의 값은? (단, ,  는 상수이다.) [3점] ① ln  ② ln  ③ ln  ④ ln  ⑤ ln  8. 좌표평면에서 곡선     위의 점     에서의 접선과 축 및  축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  수학영역(가형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 9. 그림과 같이 원형 탁자에 개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. 학년 학생  명,  학년 학생 명, 학년 학생  명이 모두 이 개의 의자에 앉으려고 할 때, 학년 학생 명이 서로 이웃하도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 부등식 log   log  ≤  를 만족시키는 정수  의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(가형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 함수   tan   가     에서 극솟값 를 가질 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③    ④  ⑤   12. 함수   sin 에 대하여 lim →∞          의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④   ⑤  수학영역(가형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13.  ≤  ≤ 에서 정의된 함수        costan  ≠        가    에서 연속일 때, 함수 의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   14. 함수         의 역함수를 라 할 때, 곡선    위의 점  에서의 접선의 기울기는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학영역(가형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다. 선분 AD 위의 점 E 와 정사각형 ABCD의 내부에 있는 점 F 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 삼각형 ABE 와 FBE 는 서로 합동이다. (나) 사각형 ABFE 의 넓이는   이다. tan∠ABF의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 전체집합       의 두 부분집합 ,  가 ∩ , ∪  을 만족시킨다. 집합 ,  의 모든 순서쌍  의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(가형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 두 함수     (  ),   ln 의 그래프가 한 점 P 에서 만나고, 곡선    위의 점 P 에서의 접선의 기울기와 곡선    위의 점 P 에서의 접선의 기울기가 서로 같다. 두 곡선   ,   와  축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, 는 상수이다.) [4점] ①     ②     ③     ④     ⑤    18. 네 개의 비어 있는 상자 A, B, C, D 가 있다. 각각의 상자에 최대 개의 공을 넣을 수 있을 때, 네 상자 A, B, C, D 에   ≤ 개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수를 이라 하자. 다음은 의 값을 구하는 과정이다. (단, 공은 구별하지 않고, 공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.) 네 상자 A, B, C, D에 개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 공이 개씩 모두  개가 들어 있는 네 상자 A, B, C, D에서 총  개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같다. (ⅰ)    인 경우 공이 개씩 모두 개가 들어 있는 네 상자 A, B, C, D에서 총 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로   가 (ⅱ)    인 경우 공이 개씩 모두 개가 들어 있는 네 상자 A, B, C, D 에서 총 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로   H  나 (ⅲ)    인 경우 공이 개씩 모두 개가 들어 있는 네 상자 A, B, C, D 에서 총 개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로   다 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해   가  H  나   다 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(가형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 중심이 O 이고 길이가  인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 점 H 를 지나고 선분 OP 에 수직인 직선이 선분 OP, 호 AB 와 만나는 점을 각각 I, Q 라 하자. 점 Q 를 지나고 직선 OP 에 평행한 직선이 호 AB 와 만나는 점 중 Q 가 아닌 점을 R 라 하자. ∠POB   일 때, 두 삼각형 RIP, IHP 의 넓이를 각각  ,  라 하자. lim  →        의 값은? (단,      ) [4점] ①     ②    ③    ④     ⑤     20. 함수            에 대하여 함수    sin  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수  에 대하여  ′   ′이다. (나) 점  는 곡선   의 변곡점이고,      ′이다. 두 상수 ,  에 대하여  의 값은? [4점] ①     ②     ③     ④     ⑤     수학영역(가형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 함수 의 도함수가  ′    이다. 모든 실수 에 대하여 두 함수 , 가 다음 조건을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] (가)     ′  (나)    ′ ′ < 보 기 > ㄱ.  ′   ㄴ.    ㄷ. 어떤 양수  에 대하여   이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 함수       에 대하여  ′의 값을 구하시오. [3점] 23. 다항식      의 전개식에서   의 계수를 구하시오. [3점] 수학영역(가형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 함수 의 도함수가  ′    이고   일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 25. 닫힌 구간   에서 함수        의 최댓값은 , 최솟값은 이다. ×의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [3점] 26.  ≤  ≤  일 때,  이상의 자연수 에 대하여 두 곡선   sin 와   sin 의 교점의 개수를  이라 하자.   의 값을 구하시오. [4점] 수학영역(가형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 그림과 같이 직선   가 두 곡선   log ,   log 와 만나는 점을 각각 A, B 라 하고, 직선      가 두 곡선   log ,   log와 만나는 점을 각각 C, D 라 하자. 점 B 를 지나고  축과 평행한 직선이 직선 CD 와 만나는 점을 E 라 하면 점 E 는 선분 CD 를   로 내분한다. 사각형 ABDC 의 넓이를  라 할 때,  의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 두 곡선    ,    와  축 및 직선   로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을  축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를  라 하자.  의 값을 구하시오. [4점] 수학영역(가형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 주머니 속에 네 개의 숫자 , , , 이 각각 하나씩 적혀 있는 공 개가 들어 있다. 이 주머니에서  개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이 과정을 번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 , ,  라 하자.   가 정수가 되도록 하는 모든 순서쌍    의 개수를 구하시오. [4점]     30. 다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가  인 모든 사차함수 에 대하여 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, lim →∞     ) [4점] (가)   ,  ′   (나) 방정식   의 모든 실근은  이하의 자연수이다. (다) 함수         에 대하여 함수  ∘가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 의 개수는 이다. ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 5지선다형 1. log  log  의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 첫째항이 , 공차가 인 등차수열의 제항은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 두 집합     ,      에 대하여 ∩ 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 그림은 함수    →  를 나타낸 것이다. ∘의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2019학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학영역(나형) 1 제 2 교시 수학영역(나형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 수열 은 첫째항이 이고 공비가   인 등비수열이다.   ∞  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 함수 의 역함수를 라 할 때,    이다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7.  이하의 자연수 에 대하여       의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 의 값의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 자연수  에 대하여 명제 ‘ ≤  ≤  이면  ≤ 이다.’ 가 거짓임을 보여 주는  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(나형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 9. 두 집합      ,      에 대하여 ∩  , ∪∪  ∪ 를 만족시키는 집합  의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. log  일 때, log를 로 나타낸 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(나형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형  개로 이루어진 도형 가 있다.  자연수 에 대하여 개의 도형 를 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 만든 직사각형의 넓이를  이라 할 때,     의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12.  ≥ 에서 정의된 함수    과  ≥ 에서 정의된 함수       에 대하여 ∘ ∘의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(나형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 13. lim →∞            가 되도록 하는 자연수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 실수  에 대한 두 조건 , 가 다음과 같다.    ≤  또는   ,       ∼가 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 정수 의 최솟값과 최댓값의 합은? [4점] ①   ②  ③   ④   ⑤   수학영역(나형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 자연수 에 대하여 의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 이라 하고,  의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 이라 하자.   을 만족시키는 모든 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 첫째항이 양수이고 공비가  인 등비수열 에 대하여           일 때,  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학영역(나형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 자연수 에 대하여 함수          의 그래프와 축의 교점을 A , 곡선    위의 점 P 에서  축에 내린 수선의 발을 Q 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. 점 A 의 좌표는     이다. ㄴ. 점 P 의 좌표가 점 A 의  좌표보다 클 때, 선분 PQ 의 길이는 보다 작다. ㄷ. 점 P 의  좌표가 일 때, 삼각형 AQP 의 넓이가 자연수 가 되도록 하는 의 최솟값은 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 18. 자연수 에 대하여 원점을 지나는 직선과 곡선     가 제사분면에서 접할 때, 접점의 좌표를  , 직선의 기울기를  이라 하자. 다음은 lim →∞   의 값을 구하는 과정이다. 원점을 지나고 기울기가  인 직선의 방정식은    이다. 이 직선이 곡선     에 접하므로 이차방정식       의 근   은 중근이다. 그러므로 이차방정식      에서 이차식     는 완전제곱식으로 나타내어진다. 그런데   이므로         에서   가 ,   나 이다. 따라서 lim →∞    다 이다. 위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 하고, (다)에 알맞은 값을 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(나형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 중심이 O , 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 °인 부채꼴 OAB 에서 두 선분 OA , OB 위에 두 점 M , O 를 각각 OM   OA , OO   OB 이 되도록 정하자. 두 점 M , O 와 호 AB 위의 두 점 C , A 를 꼭짓점으로 하는 직사각형 OMCA 를 그리고, 직사각형 OMCA 와 삼각형 OCA 의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림   에 중심이 O , 반지름의 길이가 OA 이고 중심각의 크기가 °인 부채꼴 OAB 를 점 B 가 부채꼴 OAB 의 외부에 있도록 그리고, 두 선분 OA , OB 위에 두 점 M , O 을 각각 OM   OA , O O   OB 가 되도록 정하자. 두 점 M , O 과 호 AB 위의 두 점 C , A 을 꼭짓점으로 하는 직사각형 OMCA 을 그리고, 직사각형 OMCA 과 삼각형 OCA 의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을   라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞   의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   20. 전체집합     는  이하의 자연수의 부분집합  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 집합  의 모든 원소 에 대하여  ∉  이다. (나) 집합  의 모든 원소의 합은 짝수이다. 집합  의 원소의 개수가 최대일 때, 모든 원소의 합의 최댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학영역(나형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 함수    의 그래프 위를 움직이는 점 P 와 직선    위를 움직이는 점 Q 에 대하여 선분 PQ 의 중점을 M 이라 하자. 점 M 과 점 A  사이의 거리의 최솟값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22.     일 때, log   의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수       의 그래프의 점근선은 두 직선   ,    이다. 두 상수 , 의 곱  의 값을 구하시오. [3점] 수학영역(나형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 두 수열 , 에 대하여 lim →∞     , lim →∞      일 때, lim →∞   의 값을 구하시오. [3점] 25. 첫째항이 인 수열 이 모든 자연수 에 대하여       을 만족시킨다.    일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 26. log   가 정의되기 위한 모든 정수  의 값의 합을 구하시오. [4점] 수학영역(나형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 모든 항이 실수인 등비수열 에 대하여    ,     일 때,  의 값을 구하시오. [4점] 28. 전체집합      는 의 배수가 아닌  이하의 자연수 의 부분집합  에 대하여   이고 집합  의 모든 원소의 합은 이다. 집합  의 모든 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을  ,  ,  ,  라 할 때,       의 최댓값을 구하시오. [4점] 수학영역(나형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합을 이라 하자. × 은 첫째항이 이고 공비가  이상의 자연수인 등비수열의 제항이다. 예를 들어, ×  은 첫째항이  이고 공비가 인 등비수열의 제 항, 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열의 제항이 되므로   이다. 의 값을 구하시오. [4점] 30. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를  이라 하자. (가) 정사각형은 한 변의 길이가 이고 꼭짓점의  좌표와  좌표가 모두 정수이다. (나) 연립부등식          ,      을 만족시키는 점   중에는 정사각형의 내부에 있는 점이 있다. lim →∞       의 값을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.