2013 수능 수학 문제 해설 - 2012.11.8.

 

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수리나형해설(2017-09-30 / 172.8KB / 302회)

 

1 12 2013학년도 대학수학능력시험 문제지 수리 영역(나 형) 5지선다형 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. log log 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞     의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤   4. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 홀수형 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 수리 영역(나 형) 홀수형 2 12 5. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →     lim →  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여     ,          일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 화재가 발생한 화재실의 온도는 시간에 따라 변한다. 어떤 화재실의 초기 온도를  ℃, 화재가 발생한 지 분 후의 온도를  ℃라고 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.     log (단, 는 상수이다.) 초기 온도가 ℃인 이 화재실에서 화재가 발생한 지   분 후의 온도는 ℃이었고, 화재가 발생한 지 분 후의 온도는 ℃이었다. 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(나 형) 3 3 12 8. 두 사건  ,  에 대하여 P∩     , P  P  일 때, P의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. , 에 대한 연립방정식              의 해가 방정식   을 만족시킨다. 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 확률변수  가 이항분포 B 를 따른다. 확률변수 의 평균과 표준편차가 각각 와 일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 수리 영역(나 형) 홀수형 4 12 11. 함수   에 대하여           일 때, 상수 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 같은 종류의 주스 병, 같은 종류의 생수 병, 우유 병을 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 병도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(나 형) 5 5 12  P ≤ ≤          13. 어느 학교 전체 학생의 시험 점수는 평균이 점, 표준편차가 점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중 임의로 명을 선택할 때, 이 학생의 시험 점수가 점 이상이고 점 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 O 가 있다. 원 O 의 중심을 지나고 선분 AB 와 수직인 직선이 원과 만나는 개의 점 중 한 점을 C 라 하자. 점 C 를 중심으로 하고 점 A 와 점 B 를 지나는 원의 외부와 원 O 의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림   에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 O 의 반원을 이등분한 개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 개의 원 안에 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   라 하자. 그림   에서 새로 생긴 개의 원의 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 개의 원 안에 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 수리 영역(나 형) 홀수형 6 12 15. 삼차함수   의 그래프 위의 점  에서의 접선의 방정식이   이다. 의 값은? (단, , 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 두 이차정사각행렬 ,  가    ,      를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.     ㄴ.    ㄷ.      (단,  는 영행렬이다.) ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(나 형) 7 7 12 17. 수열 은  이고,    ․           ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여   ․              ≥ 이다. 따라서  이상의 자연수 에 대하여   가     이므로       가 이다.     이라 하면      가 ≥ 이고,  이므로  나 ≥ 이다. 그러므로       ×  나  ≥ 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 함수          ≥ 이   에서 미분가능할 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 수리 영역(나 형) 홀수형 8 12 19. 수열 에 대하여     ∞       일 때, lim →∞   의 값은? [4점] ①   ②  ③   ④   ⑤   20. 두 함수      ≥      ,     ≥      에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. lim →   ㄴ. 함수  은   에서 연속이다. ㄷ. 함수  은   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(나 형) 9 9 12 21. 삼차함수   에 대하여 함수      가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 의 최솟값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. lim →    의 값을 구하시오. [3점] 23. 등차수열 에 대하여   ,    일 때,   을 만족시키는 의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 수리 영역(나 형) 홀수형 10 12 24. 함수   에 대하여 lim →    의 값을 구하시오. [3점] 25. 어느 회사에서 생산된 모니터의 수명은 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 모니터 중 임의추출한 대의 수명의 표본평균이   , 표본표준편차가 이었다. 이 결과를 이용하여 이 회사에서 생산된 모니터의 수명의 평균을 신뢰도 %로 추정한 신뢰구간이      이다. 의 값을 구하시오. (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P≤ ≤   이다.) [3점] 26.  ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여       이 어떤 자연수의 제곱근이 되도록 하는 의 개수를 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(나 형) 11 11 12 27. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 세 점 P P  P 의 좌표는 각각  ,  ,  이다. (나) 선분 PP  의 중점과 선분 P P  의 중점은 같다. 예를 들어, 점 P 의 좌표는  이다. 점 P 의 좌표가  일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 최고차항의 계수가 인 이차함수 가   이고,        를 만족시킨다. 곡선   와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 수리 영역(나 형) 홀수형 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 다음 좌석표에서 행 열 좌석을 제외한 개의 좌석에 여학생 명과 남학생 명을 명씩 임의로 배정할 때, 적어도 명의 남학생이 서로 이웃하게 배정될 확률은 이다.  의 값을 구하시오. (단, 명이 같은 행의 바로 옆이나 같은 열의 바로 앞뒤에 있을 때 이웃한 것으로 본다.) [4점] 30. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역     ≤≤log  에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를  이라 하자. (가) 좌표와 좌표는 서로 같다. (나) 좌표와 좌표는 모두 정수이다. 예를 들어,   ,  이다.       의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 1 12 2013학년도 대학수학능력시험 문제지 수리 영역(가 형) 5지선다형 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. sin    일 때, sin 의 값은? (단,       이다.) [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤   3. 좌표공간에서 두 점 A  , B  에 대하여 선분 AB 를  로 내분하는 점의 좌표가   이다. 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 무리방정식    의 모든 실근의 곱은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 홀수형 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 수리 영역(가 형) 홀수형 2 12 5. 그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 A지점에서 출발하여 C 지점을 지나지 않고, D 지점도 지나지 않으면서 B 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 쌍곡선    위의 점  에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수직이다. 의 값은? (단, , 는 양수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 화재가 발생한 화재실의 온도는 시간에 따라 변한다. 어떤 화재실의 초기 온도를  ℃, 화재가 발생한 지 분 후의 온도를  ℃라고 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.     log (단, 는 상수이다.) 초기 온도가 ℃인 이 화재실에서 화재가 발생한 지   분 후의 온도는 ℃이었고, 화재가 발생한 지 분 후의 온도는 ℃이었다. 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(가 형) 3 3 12 8. 어느 학교 전체 학생의 %는 버스로, 나머지 %는 걸어서 등교하였다. 버스로 등교한 학생의   이 지각하였고, 걸어서 등교한 학생의   이 지각하였다. 이 학교 전체 학생 중 임의로 선택한 명의 학생이 지각하였을 때, 이 학생이 버스로 등교하였을 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 좌표평면에서 원점을 중심으로   만큼 회전하는 회전변환을  , 직선   에 대한 대칭변환을  라 하자. 합성변환  ∘∘ 에 의하여 직선   이 직선   으로 옮겨질 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.) [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   10. A 지점에서 출발하여 거리가 km 떨어진 B 지점까지 이동한 후 같은 길을 따라 A 지점으로 돌아오려고 한다. 처음 km는 일정한 속력으로 걷다가 나머지 km는 처음 걷는 속력의 배의 속력으로 이동하고, 돌아올 때는 처음 걷는 속력보다 시속 km 더 빠르게 이동하려고 한다. 왕복하는 데에 걸리는 총 시간이 시간 분 이하가 되도록 할 때, 처음 걷는 속력의 최솟값은? (단, 속력의 단위는 km시 이다.) [3점] ①   ②   ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 수리 영역(가 형) 홀수형 4 12 11. 흰 공 개, 검은 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 개의 공의 색이 서로 다르면 개의 동전을 번 던지고, 꺼낸 개의 공의 색이 서로 같으면 개의 동전을 번 던진다. 이 시행에서 동전의 앞면이 번 나올 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   12. 연속함수 가        를 만족시킬 때,   의 값은? [3점] ①  ②   ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(가 형) 5 5 12  P≤ ≤        13. 확률변수  가 정규분포 N   을 따르고 다음 조건을 만족시킨다. (가) P ≥   P ≤  (나) E    P ≤ 의 값을 오른쪽 표를 이용하여 구한 것은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 O 가 있다. 원 O 의 중심을 지나고 선분 AB 와 수직인 직선이 원과 만나는 개의 점 중 한 점을 C 라 하자. 점 C 를 중심으로 하고 점 A 와 점 B 를 지나는 원의 외부와 원 O 의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 그림   에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 O 의 반원을 이등분한 개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 개의 원 안에 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   라 하자. 그림   에서 새로 생긴 개의 원의 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 개의 원 안에 그림   을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을   이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림   에 색칠되어 있는 부분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 수리 영역(가 형) 홀수형 6 12 15. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수   의 그래프는 그림과 같고, 삼차함수 는 최고차항의 계수가 이고,   이다. 합성함수 ∘가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 두 이차정사각행렬 ,  가    ,      를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.     ㄴ.    ㄷ.      (단,  는 영행렬이다.) ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(가 형) 7 7 12 17. 수열 은  이고,    ․           ≥ 을 만족시킨다. 다음은 일반항  을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여   ․              ≥ 이다. 따라서  이상의 자연수 에 대하여   가     이므로       가 이다.     이라 하면      가 ≥ 이고,  이므로  나 ≥ 이다. 그러므로       ×  나  ≥ 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 자연수 에 대하여 포물선      의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 P, Q 라 하자. PF 이고  FQ   이라 할 때,         의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 수리 영역(가 형) 홀수형 8 12 19. 삼차함수 는   을 만족시킨다. 함수 를      라 할 때, 함수   의 그래프가 그림과 같다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. 방정식   은 서로 다른 개의 실근을 갖는다. ㄴ. ′   ㄷ.        을 만족시키는 자연수 의 개수는 이다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 20. 좌표공간에서 정사면체 ABCD의 한 면 ABC 는 평면    위에 있고, 꼭짓점 D는 평면    위에 있다. 삼각형 ABC 의 무게중심의 좌표가   일 때, 정사면체 ABCD의 한 모서리의 길이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(가 형) 9 9 12 21. 함수        과 실수 에 대하여 곡선    위의 점  에서 축까지의 거리와 축까지의 거리 중 크지 않은 값을 라 하자. 함수 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 의 최댓값은? [4점] ①   ②    ③   ④  ⑤  단답형 22. 함수   ln에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수   cos    sin의 최댓값은 이다.   의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 수리 영역(가 형) 홀수형 10 12 24. 일차변환     →  를 나타내는 행렬을 라 하자. 행렬  으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점  이 옮겨지는 점의 좌표가  일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 25. 표준편차 가 알려진 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 인 표본을 임의추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이  이었다. 같은 표본을 이용하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수를 구하시오. (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P≤ ≤   , P≤ ≤   로 계산한다.) [3점] 26. 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 의 꼭짓점 A 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,  PA⋅ PB  의 최댓값은    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 수리 영역(가 형) 11 11 12 27. 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P 을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 세 점 P P  P 의 좌표는 각각  ,  ,  이다. (나) 선분 PP  의 중점과 선분 P P  의 중점은 같다. 예를 들어, 점 P 의 좌표는  이다. 점 P 의 좌표가  일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 AB ,  AD 인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다. 선분 AB 위의 점 E 와 선분 DC 위의 점 F를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 B 의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이를 접었다.  AE  일 때, 두 평면 AEFD 와 EFCB 가 이루는 각의 크기가  이다. cos 의 값을 구하시오. (단,       이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 수리 영역(가 형) 홀수형 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 삼각형 ABC 에서  AB  이고 ∠A   , ∠B   이다. 변 AB 위의 점 D 를 ∠ACD  ∠BCD 가 되도록 잡는다. lim  →    CD  일 때,  의 값을 구하시오. (단,       이다.) [4점] 30. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역     ≤≤log  에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를  이라 하자. (가) 좌표와 좌표는 서로 같다. (나) 좌표와 좌표는 모두 정수이다. 예를 들어,   ,  이다.       의 값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.