2011 3월 학력평가 수학 문제 해설

정답해설(2017-09-30 / 419.0KB / 77회)

수리가형문제(2017-09-30 / 340.4KB / 85회)

수리나형문제(2017-09-30 / 282.6KB / 83회)

1 8 ◦ 자신이 선택한 유형 가 형 나 형 의 문제지인지 확인하시오 (‘ ’ /‘ ’ ) . ◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오. ◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고 또 수험 번호와 , 답을 정확히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함되면 그 ‘0’ , ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 , 참고하시오 배점은 점 점 또는 점입니다 . 2 , 3 4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1.      의 값은 점 ? [2 ] ①   ②   ③  ④  ⑤   2. 두 행렬         ,         에 대하여   를 만 족시키는 행렬  의 모든 성분의 합은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →       의 값은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.  ≤   일 때 방정식 ,   의 모든 실근의 합 은 점 ? [3 ] ①  ②    ③  ④    ⑤  5. 삼차부등식      의 해가    ,   일 때 상수 , 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2011 3 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 제 교시 2 수리 영역 ‘가’형 성명 수험 번호 3 1 2 수리 영역 ‘가’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 8 6. 함수      의 역함수를 라 할 때 곡선 ,    위의 점     에서의 접선의 기울기는 점 ? [3 ] ①    ②   ③  ④  ⑤  7. 그림과 같이 지름의 길이가 인 원이 있다 원의 둘레를 . 등 분하여 각 등분점을 시계 방향으로 차례로  ,  , ⋯,  이라 할 때 다음 중 ,   ⋅  ⋅  의 값과 같은 것은 점 ? [3 ] ①   ②   ③    ④    ⑤     8. 연속함수  가 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 모든 실수 에 대하여    ( ) 나     ≤        ≤  ≤  이때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 양의 정수  에 대하여   의 지표를  , 가수를   이 라 할 때 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 ,  의 개수는 점 ? [3 ] ( ) 가    ( ) 나      ․   ①  ②  ③  ④  ⑤  ‘가’형 수리 영역 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 8 10. 두 행렬             ,            에 대하여  의 역행렬이 존재하지 않고,  의 역행렬도 존재하 지 않을 때 두 실수 , , 의 곱  의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③   ④   ⑤  11. 두 이차정사각행렬   에 대하여    ,    가 성립할 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 , < > ? ( , 단  는 단위행렬이다 점 .) [4 ] < > 보 기 ㄱ.      ㄴ.              (    ⋯ ) ㄷ.     ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 12. 에 대한 분수방정식            의 실근이 존재하 지 않도록 하는 정수  의 개수는 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  13. 액체의 끓는 온도  (° )와 증기압력  ( ) 사이에        (   는 상수이고    ) 인 관계가 성립한다 표는 어떤 액체의 끓는 온도에 대한 증기 . 압력을 나타낸 것이다. 끓는 온도(° )    증기압력( )    이 표를 이용하여 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것 < > 은 단 ? ( ,   로 계산한다 점 .) [4 ] < > 보 기 ㄱ.       ㄴ.   ㄷ.     ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 4 수리 영역 ‘가’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 8 14. 그림과 같이 지수함수     와     의 그래프는 직선    와 각각 서로 다른 두 점에서 만난다.     의 그래프,     의 그래프와 직선   의 교점을 각각 , 라 하고 직선   와 직선  의 교점을  라 하자.    이면 두 점 와  가 일치할 때 옳은 것만을 보기 에 , < > 서 있는 대로 고른 것은 단 ? ( ,    ) [4 ] 점 < > 보 기 ㄱ.    이면 두 점 와  가 일치한다. ㄴ.     이면   이다. ㄷ.      을 만족시키는 실수  의 값의 개수는  이다. ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 15. 그림과 같이     이고 ∠  °인 삼각형 의 내접원과 세 변 , ,  의 접점을 각각  ,  , 이라 하자 또 삼각형 . , 의 내접원과 세 변  ,  ,  의 접점을 각각  ,  , 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 세 점  ,  , 을 꼭짓점으로 하는 삼각형  의 넓이를  이라 할 때,   ∞    를 만족시키는 두 유리수   의 합  의 값 은 점 ? [4 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 닫힌구간 ,  에서 정의된 두 함수  ,   의 그래프가 그림과 같을 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 , < > 고른 것은 점 ? [4 ] < > 보 기 ㄱ. lim →     ㄴ. 함수  는   에서 연속이다. ㄷ. 함수 ∘ 는 열린구간  에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , ‘가’형 수리 영역 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 8 17. 다음은 자연수  에 대하여 등식            ⋯⋯(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. < > 증명 (1)  일 때,        이므로 이 성립한다 (*) . (2)  일 때 이 성립한다고 가정하고 , (*) ,  일 때 이 성립함을 보이자 (*) .                       ( ) 가  ( ) 나 그러므로  일 때도 이 성립한다 (*) . 따라서 에 의하여 모든 자연수 (1), (2) 에 대하여 (*) 이 성립한다. 위의 가 에 알맞은 식을 ( )  , ( ) 나 에 알맞은 식을  라 할 때,   의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 곡선       에 기울기가  인 접선을 두 개 그었을 때 두 접점을 , ,  라 하자 옳은 것만을 보기 에서 있는 대 . < > 로 고른 것은 단 ? ( , ,  는 서로 다른 점이다 점 .) [4 ] < > 보 기 ㄱ. 두 점 , 의 좌표의 합은 이다. ㄴ.    ㄷ. 두 접선 사이의 거리와   가 같아지는 실수  이 존재 한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 19. 자연수 에 대하여 다음과 같이 제행에  과  사이의 유리 수 중에서 분모는   이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부 터 차례로 나열하였다. 제행   제행   ,   제행   ,   ,   ,   　　⋮　　　　　　 ⋮ 제행의 마지막 수를  , 제행의 모든 수의 합을  이라 할 때 lim →∞      의 값은 점 ? [4 ] ①　   ②　   ③　 ④　 ⑤　 6 수리 영역 ‘가’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 8 20. 그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 사분원  에 대하여 각  를 이등분하는 직선이 사분원과 만나 는 점을  라 하자 두 점 . ,  는 점  에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향 시계 반대 방향으로 매 , 초   의 일정한 속력으로 움직인다 두 점 . ,  가 점  에서 출발하여  초    가 되는 순간 선분 ,  를 한 변으로 하고 사분원  에 내접하는 직사각형의 넓이를  라 하 자 출발한 지 .  초가 되는 순간 넓이 ,  의 시간 초 에 대한 ( ) 변화율은 점 ? [4 ] ①    ②    ③     ④     ⑤    21. 좌표평면 위의 원점  와 점   이 있다 모든 자연수 .  에 대하여 점    은 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 동경 이 나타내는 각의 크기는   이다. ( ) 나                          의 값은 점 ? [4 ] ①     ②     ③       ④       ⑤       단답형 22.   ×     를 만족시키는 자연수  의 값을 구하시오. [3 ] 점 23. 방정식        의 실근을 라 할 때,  의 값을 구 하시오 점 . [3 ] ‘가’형 수리 영역 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 8 24.     일 때,       의 최댓값을  이라 하자.  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 25. 그림과 같이 좌표평면 위의 원점을 지나는 서로 다른 두 직선 ,  이 이루는 예각의 크기를  라 하자 반지름의 길이가 . ,  인 두 원  ,  가 제사분면 위에서 두 직선 ,  에 동시에 접하고     일 때,   의 값을 구하시오 점 . [3 ] 26. 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수  가 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 모든 실수 ,  에 대하여    ( ) 나    ,  ′   이때,  ′의 값을 구하시오 점 . [3 ] 27. 그림과 같이 길이가  인 선분  를 지름으로 하는 반원이 있다 선분 .  의 중점 와 반원 위를 움직이는 점  에 대하 여 부채꼴  에 내접하는 원을  , 현  와 호  로 둘 러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을  라 하자. ∠   라 하고 두 원  ,  의 반지름의 길이 를 각각  ,    라 할 때, lim →               이다.     의 값을 구하시오 단 . ( , ,  는 서로소인 자연수이다 점 .) [4 ] 8 수리 영역 ‘가’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 8 28.  에 대한 방정식      (    ⋯ )의 양의 실근의 개수를  이라 할 때,         의 값을 구하 시오 점 . [4 ] 29. 그림과 같은 그래프가 있다 이 그래프의 꼭짓점 .  에서 꼭짓 점  로 가는 경로 중에서 세 꼭짓점 , ,  를 모두 지나는 것의 개수를 구하시오 점 . [4 ] 30. 차 정사각행렬  의    성분  를   ( , 단  ≤  ≤ ,  ≤  ≤ ) 이라 하자.  이하의 자연수  에 대하여 를 행렬  의   성분이라 할 때,  lim →∞         의 값을 구하시 오 단 . ( ,  은 자연수이다 점 .) [4 ] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입 표기 ( ) 했는지 확인하시오. 1 8 ◦ 자신이 선택한 유형 가 형 나 형 의 문제지인지 확인하시오 (‘ ’ /‘ ’ ) . ◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오. ◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고 또 수험 번호와 , 답을 정확히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함되면 그 ‘0’ , ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 , 참고하시오 배점은 점 점 또는 점입니다 . 2 , 3 4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1.      의 값은 점 ? [2 ] ①   ②   ③  ④  ⑤   2. 두 행렬         ,         에 대하여   를 만 족시키는 행렬  의 모든 성분의 합은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞        의 값은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  4.        일 때,      의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  5. 그래프의 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 때 그 행 , 렬의 모든 성분의 합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2011 3 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 제 교시 2 수리 영역 ‘나’형 성명 수험 번호 3 1 2 수리 영역 ‘나’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 8 6.  보다 큰 세 실수 , ,  에 대하여             가 성립할 때 실수 ,  의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③  ④  ⑤  7. ,  에 대한 연립방정식                가    ,   이외 의 해를 갖도록 하는 모든 상수  의 값의 합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 모든 양의 실수  에 대하여 부등식          을 만족시키는 세 양의 실수 ,  ,  사이의 대소관계로 옳은 것은 단 ? ( , ≠ , ≠ ) [3 ] 점 ①      ②      ③      ④      ⑤      9. 양의 정수  에 대하여   의 지표를  , 가수를   이 라 할 때 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 ,  의 개수는 점 ? [3 ] ( ) 가    ( ) 나      ․   ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 두 행렬             ,            에 대하여  의 역행렬이 존재하지 않고,  의 역행렬도 존재하 지 않을 때 두 실수 , , 의 곱  의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③   ④   ⑤  ‘나’형 수리 영역 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 8 11. 두 이차정사각행렬   에 대하여    ,    가 성립할 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 , < > ? ( , 단  는 단위행렬이다 점 .) [4 ] < > 보 기 ㄱ.      ㄴ.              (    ⋯ ) ㄷ.     ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 12. 첫째항이  인 무한등비수열  에 대하여   ∞   일 때,   ∞       의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   13. 액체의 끓는 온도  (° )와 증기압력  ( ) 사이에        (   는 상수이고    ) 인 관계가 성립한다 표는 어떤 액체의 끓는 온도에 대한 증기 . 압력을 나타낸 것이다. 끓는 온도(° )    증기압력( )    이 표를 이용하여 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것 < > 은 단 ? ( ,   로 계산한다 점 .) [4 ] < > 보 기 ㄱ.       ㄴ.   ㄷ.     ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 4 수리 영역 ‘나’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 8 14. 그림과 같이 지수함수     와     의 그래프는 직선    와 각각 서로 다른 두 점에서 만난다.     의 그래프,     의 그래프와 직선   의 교점을 각각 , 라 하고 직선   와 직선  의 교점을  라 하자.    이면 두 점 와  가 일치할 때 옳은 것만을 보기 에 , < > 서 있는 대로 고른 것은 단 ? ( ,    ) [4 ] 점 < > 보 기 ㄱ.    이면 두 점 와  가 일치한다. ㄴ.     이면   이다. ㄷ.      을 만족시키는 실수  의 값의 개수는  이다. ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 15. 그림과 같이     이고 ∠  °인 삼각형 의 내접원과 세 변 , ,  의 접점을 각각  ,  , 이라 하자 또 삼각형 . , 의 내접원과 세 변  ,  ,  의 접점을 각각  ,  , 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 세 점  ,  , 을 꼭짓점으로 하는 삼각형  의 넓이를  이라 할 때,   ∞    를 만족시키는 두 유리수   의 합  의 값 은 점 ? [4 ] ①   ②   ③   ④   ⑤  ‘나’형 수리 영역 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 8 16. 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점     과 점    이 있다 모든 자연수 .  에 대하여 직선    위 의 점  과 축 위의 점  이 다음 식을 만족시킨다.        ,        삼각형  의 넓이를  이라 할 때, lim →∞       이 되도 록 하는 양의 정수   의 순서쌍  의 개수는 단 ? ( ,  는 원점이다 점 .) [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  17. 다음은 자연수  에 대하여 등식            ⋯⋯(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. < > 증명 (1)  일 때,        이므로 이 성립한다 (*) . (2)  일 때 이 성립한다고 가정하고 , (*) ,  일 때 이 성립함을 보이자 (*) .                       ( ) 가  ( ) 나 그러므로  일 때도 이 성립한다 (*) . 따라서 에 의하여 모든 자연수 (1), (2) 에 대하여 (*) 이 성립한다. 위의 가 에 알맞은 식을 ( )  , ( ) 나 에 알맞은 식을  라 할 때,   의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 두 수열   ,    은 첫째항이 모두  이고    ,         ⋯  을 만족시킨다 수열 .   을          ≥   이라 할 때,     의 값은 점 ? [4 ] ①    ②    ③    ④    ⑤    19. 자연수 에 대하여 다음과 같이 제행에  과  사이의 유리 수 중에서 분모는   이고 분자는 홀수인 모든 수를 작은 것부 터 차례로 나열하였다. 제행   제행   ,   제행   ,   ,   ,   　　⋮　　　　　　 ⋮ 제행의 마지막 수를  , 제행의 모든 수의 합을  이라 할 때 lim →∞      의 값은 점 ? [4 ] ①　   ②　   ③　 ④　 ⑤　 6 수리 영역 ‘나’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 8 20. 어느 공원에는 아래 그림과 같이  지점에서 출발하여  지 점으로 돌아오는 제산책로,  지점에서 출발하여  지점으로 이어지는 제산책로,  지점에서 출발하여  지점으로 이어지 는 제산책로가 있고 각 산책로의 거리는 ,   이다. 이 산책로들을 따라 다음과 같은 규칙으로 산책한 거리가   일 때,  지점에서 출발하여  지점에 도착하는 방법의 수를  ,  지점에서 출발하여  지점에 도착하는 방법의 수를  이라 하자. ( ) 가 각 산책로에서는 화살표 방향으로만 진행해야 한다. ( ) . 나 같은 산책로를 반복할 수 있다 ( ) 다 지나지 않는 산책로가 있을 수 있다.     의 값은 단 ? ( , 은 자연수이다 점 .) [4 ] ①　 ②　 ③　 ④　 ⑤　 21. 좌표평면 위의 원점  와 점   이 있다 모든 자연수 .  에 대하여 점    은 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 동경 이 나타내는 각의 크기는   이다. ( ) 나                          의 값은 점 ? [4 ] ①     ②     ③       ④       ⑤       단답형 22.   ×     를 만족시키는 자연수  의 값을 구하시오. [3 ] 점 23. 수열  이 첫째항과 공비가 모두 인 등비수열일 때,     의 값을 구하시오 점 . [3 ] 24. 수열  의 계차수열  에 대하여 lim →∞  ,        일 때, 의 값을 구하시오 점 . [3 ] ‘나’형 수리 영역 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 8 25. 수열   의 첫째항부터 제  항까지의 합  이     (    ⋯ ) 일 때,        의 값을 구하시오 점 . [3 ] 26. 자연수  에 대하여  부터  까지의 자연수의 총합을  ,  부터  까지의 자연수 중에서  의 배수를 제외한 자연수의 총 합을 이라 할 때, lim →∞       이다 이때 서로소인 자연수 . ,   의 합  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 27. 수열 이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 은 자연수이다. ( ) 나          의 값을 구하시오 점 . [4 ] 28.  에 대한 방정식      (    ⋯ )의 양의 실근의 개수를  이라 할 때,         의 값을 구하 시오 점 . [4 ] 8 수리 영역 ‘나’형 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 8 29. 그림과 같은 그래프가 있다 이 그래프의 꼭짓점 .  에서 꼭짓 점  로 가는 경로 중에서 세 꼭짓점 , ,  를 모두 지나는 것의 개수를 구하시오 점 . [4 ] 30. 차 정사각행렬  의    성분  를   ( , 단  ≤  ≤ ,  ≤  ≤ ) 이라 하자.  이하의 자연수  에 대하여 를 행렬  의   성분이라 할 때,  lim →∞         의 값을 구하시 오 단 . ( ,  은 자연수이다 점 .) [4 ] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입 표기 ( ) 했는지 확인하시오.