2011 4월 학력평가 수학 문제 해설

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1 8 ◦ (‘ ’ /‘ ’ ) . ◦ . ◦ , . ◦ ‘0’ ‘0’ . ◦ , . 2 , 3 4 . ◦ . 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.     ×     의 값은 점 ? [2 ] ①   ②  ③   ④  ⑤   3. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 역행렬이 존재하지 않을 때 모든 상수 , 의 값의 합은 점 ? [3 ] ①   ②   ③  ④   ⑤   4. 세 양수  ,  ,  가 이 순서대로 공비가  인 등비수열을 이루고    ,     을 만족시킬 때 공비 ,  의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③   ④  ⑤   2011 4 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 ( ) 나 형 제 교시 2 성명 수험번호 3 수리 영역 나 형 2 8 5. 행렬         에 대하여    ⋯  의 모든 성분의 합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 수열 이    ,           ⋯  을 만족시킬 때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 수열 에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 합 이      일 때,  의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 연립부등식  ≥  ,  ≥  ,   ≤  ,     ≥      을 만족시키는 좌표평면 위의 점    에 대하여  의 최댓값은? [3 ] 점 ①  ②   ③  ④   ⑤  9. 다음은 꼭짓점이  개인 그래프를 행렬로 나타낸 것이다.                                         꼭짓점 에서 다른 한 꼭짓점을 지나 다시 꼭짓점 로 돌아오는 방법의 수를  라 할 때 세 상수 ,  ,  ,  에 대하여  의 값은? [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  나 형 수리 영역 3 8 10.  ,  에 대한 연립일차방정식                      가   ,    이외의 해를 가질 때 모든 상수 ,  의 값의 합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  11. 이차정사각행렬  ,  에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은 단 ? ( ,  는 단위행렬이다 점 .) [4 ] 보 기 ㄱ.    이면    이다. ㄴ.  ,  의 역행렬이 모두 존재하면  의 역행렬이 존재한다. ㄷ.      이고  의 역행렬이 존재하면     이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 12. 이상기체  몰의 부피가  에서  로 변할 때, 엔트로피 변화량    는 다음과 같이 구할 수 있다고 한다.         ( , 단  는 상수이고 부피의 단위는  이다.) 이상기체  몰의 부피가   에서  로  배 변할 때     이고, 이상기체  몰의 부피가  에서  로  배 변할 때     이다. 이때,    의 값은 단 몰은 기체입자수의 단위이고 ? ( ,    으로 계산한다 점 .) [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  13. 자연수  에 대하여     ⋯           ⋯   일 때, lim →∞    의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤  수리 영역 나 형 4 8 14. 그림과 같이 좌표평면에서 자연수  에 대하여 직선      과 원      이 만나는 두 점을 각각  , 이라 하자. 삼각형 의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  ․ 의 값은? ( , 단 는 원점이다 점 .) [4 ]              ①   ②   ③  ④  ⑤  15. 지수방정식       의 두 근을 ,  라 할 때,   의 값은 단 ? ( ,    ) [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 다음은 어느 지역의 방음벽 배수로 도로를 나타낸 평면도이다 , , . 평면도에서 방음벽을  축 방음벽과 수직으로 건설된 배수로를 ,  축 으로 할 때 도로의 중앙선은 곡선 ,         의 일부로 나타내어진다.      를 만족시키는  축 위의 세 점 , ,  를 지나고  축에 수직인 세 직선을 그어 곡선      와 만나는 점을 각각 , , 라 하자.     ,     ,   일 때 상수 ,  의 값은 단 방음벽 배수로 도로의 중앙선의 폭은 무시한다 점 ? ( , , , .) [4 ]        방음벽 도로     호수 배수로   ①   ②   ③   ④   ⑤   나 형 수리 영역 5 8 17. 수열 은   이고,             ⋯     (     ⋯) 을 만족시킨다 다음은 일반항 . 을 구하는 과정이다.  ≥ 인 자연수 에 대하여             ⋯               ⋯      이므로   ( ) 가 × 이다.      ⋯   을 차례로 대입하면           ⋮       이므로   ( ) 나 ( ≥ ) 따라서 주어진 수열 의 일반항은   이고,   ( ) 나 ( ≥ ) 위의 가 에 알맞은 식을 ( ) , ( ) 나 에 알맞은 식을 이라 할 때, × 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 에 외접하는 정사각형 의 네 변  ,  ,  , 의 중점을 각각  ,  ,  , 이라 하자. 점 을 중심으로 하고 선분 을 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 과 점 을 중심으로 하고 선분 을 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 과 원 의 호 로 둘러싸인 도형을  이라 하자.  에 내접하는 원을 라 하고 도형  의 넓이에서 원 의 넓이를 뺀 값을  이라 하자. 원 에 외접하는 정사각형 의 네 변  ,  ,  , 의 중점을 각각  ,  ,  , 라 하자 점. 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 와 점 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 와 원 의 호 로 둘러싸인 도형을  라 하자.  에 내접하는 원을 이라 하고 도형  의 넓이에서 원 의 넓이를 뺀 값을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 호  , 호  , 호 으로 둘러싸인 도형을  이라 하고  에 내접하는 원을 이라 하자 도형 .  의 넓이에서 원 의 넓이를 뺀 값을  이라 할 때,   ∞  의 값은 점 ? [4 ] …                     ①   ②   ③   ④    ⑤  수리 영역 나 형 6 8 19. 그림과 같이 좌표평면에서 곡선    위의 점   가 있다 원점 . 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 원을  , 점 에서의 원  의 접선이  축과 만나는 점을 라 하자 원.  의 넓이를 라 할 때, lim →      의 값은 단 ? ( ,   ) [4 ] 점          ①   ②  ③   ④  ⑤   20. 두 무한수열 , 에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은 점 ? [4 ] 보 기 ㄱ. 수열 에서        일 때,   ∞ 은 발산한다. ㄴ. 두 수열 , 이 각각 수렴하면   ∞      ∞    ∞ 이다. ㄷ. 수열 이   ,             ⋯  을 만족시킬 때,   ∞       이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 21. 두 함수   와    의 그래프가 다음과 같을 때 옳은 , 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 < > ? [4 ]                   보 기 ㄱ. 함수 는    에서 연속이다. ㄴ. 함수  ∘  는    에서 연속이다. ㄷ. 함수   ∘  는    에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 단답형 22. lim → ∞         의 값을 구하시오 점 . [2 ] 나 형 수리 영역 7 8 23. 그림과 같이 좌표평면에서 곡선    위의 점    를 지나고  축에 평행한 직선이 곡선    와 만나는 점을 , 점 를 지나고  축에 평행한 직선이 곡선    와 만나는 점을 라 하자.     일 때,    의 값을 구하시오. ( , 단     ) [3 ] 점                24. 함수             ≠      가    에서 연속일 때, 두 상수  ,  에 대하여  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 25. 다항함수  가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3 ] 점 ( ) 가 lim → ∞       ( ) 나 lim →       26. 다음 조건을 만족시키는 이차정사각행렬  의 개수를 구하시오. [4 ] 점 ( ) 가 행렬  는 역행렬을 갖지 않는다. ( ) 나 행렬  의 성분은 집합   의 원소이다. 수리 영역 나 형 8 8 27. 수열 이          ⋯  을 만족시킬 때 수열 , 의 첫째항부터 제 항까지의 합을  이라 하자 수열 .  에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 값 중에서  의 배수를 값으로 하는 모든 항의 개수를 구하시오 점 . [4 ] 28. 연립방정식      ․     의 해를   ,    라 할 때,  의 최댓값을 구하시오 점 . [4 ] 29. 세 자리 이하의 자연수  에 대하여         일 때,  ≤  을 만족시키는 의 개수를 구하시오. ( , 단 는  보다 크지 않은 최대의 정수이고    ,    로 계산한다 점 .) [4 ] 30. 자연수 에 대하여 연립부등식               ≤  ,               ≥  을 만족시키는 좌표평면 위의 점    가 나타내는 영역의 넓이를 이라 하자 수열 . 의 첫째항부터 제항까지의 합  에 대하여     의 값을 구하시오 점 . [4 ] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입 표기 했는지 확인하시오 ( ) .  1 8 ◦ (‘ ’ /‘ ’ ) . ◦ . ◦ , . ◦ ‘0’ ‘0’ . ◦ , . 2 , 3 4 . ◦ . 1. 두 행렬         ,         에 대하여 행렬  의 모든 성분의 합은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.     ×     의 값은 점 ? [2 ] ①   ②  ③   ④  ⑤   3. lim → ∞        의 값은 점 ? [2 ] ①     ②   ③  ④  ⑤   4. 두 실수  ,  가     를 만족시킬 때,    의 최댓값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2011 4 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 ( ) 가 형 제 교시 2 성명 수험번호 3 수리 영역 가 형 2 8 5. 방정식        의 모든 실근의 곱은 점 ? [3 ] ①    ②    ③    ④   ⑤   6. 수열 이    ,           ⋯  을 만족시킬 때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 수열 에 대하여 첫째항부터 제항까지의 합 이      일 때,  의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 함수         에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은 점 ? [4 ] 보 기 ㄱ. 함수 는    에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. 곡선   의 변곡점의 개수는  이다. ㄷ. 방정식     의 실근의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 가 형 수리 영역 3 8 9. 다음은 꼭짓점이  개인 그래프를 행렬로 나타낸 것이다.                                         꼭짓점 에서 다른 한 꼭짓점을 지나 다시 꼭짓점 로 돌아오는 방법의 수를  라 할 때 세 상수 ,  ,  ,  에 대하여  의 값은? [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  10.  ,  에 대한 연립일차방정식                      가   ,    이외의 해를 가질 때 모든 상수 ,  의 값의 합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  11. 이차정사각행렬  , 에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은 단 ? ( ,  는 단위행렬이다 점 .) [4 ] 보 기 ㄱ.    이면    이다. ㄴ.  ,  의 역행렬이 모두 존재하면 의 역행렬이 존재한다. ㄷ.      이고  의 역행렬이 존재하면     이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 12. 그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가  인 부채꼴  에서 호  를 등분한 각 점 양 끝점도 포함 을 차례로 ( )    ,  ,  ,  , ⋯,  ,    라 하자.   ,   ,   , ⋯,  을 각각 밑변으로 하는 정삼각형 개의 넓이의 합을 이라 할 때, lim → ∞  ․ 의 값은? 점[3 ]             ①     ②     ③     ④     ⑤    수리 영역 가 형 4 8 13. 자연수  에 대하여    ⋯           ⋯   일 때, lim → ∞    의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수  가 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가   ,    ( ) 나  ′  ,  ″    ( , 단     ) 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 < > ? [4 ] 보 기 ㄱ. 함수   의 그래프는 구간  에서 아래로 볼록 하다. ㄴ.      ㄷ.            ·  ≥     ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ 15. 함수 가             ≠      일 때,  ′의 값은 단 ? ( ,     ) 점[3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 다음은 어느 지역의 방음벽 배수로 도로를 나타낸 평면도이다 , , . 평면도에서 방음벽을  축 방음벽과 수직으로 건설된 배수로를 ,  축 으로 할 때 도로의 중앙선은 곡선 ,         의 일부로 나타내어진다.      를 만족시키는  축 위의 세 점 , ,  를 지나고  축에 수직인 세 직선을 그어 곡선      와 만나는 점을 각각 , , 라 하자.     ,     ,   일 때 상수 ,  의 값은 단 방음벽 배수로 도로의 중앙선의 폭은 무시한다 점 ? ( , , , .) [4 ]        방음벽 도로     호수 배수로   ①   ②   ③   ④   ⑤   가 형 수리 영역 5 8 17. 수열 은   이고,             ⋯     (     ⋯) 을 만족시킨다 다음은 일반항 . 을 구하는 과정이다.  ≥ 인 자연수 에 대하여             ⋯               ⋯      이므로   ( ) 가 × 이다.      ⋯   을 차례로 대입하면           ⋮       이므로   ( ) 나 ( ≥ ) 따라서 주어진 수열 의 일반항은   이고,   ( ) 나 ( ≥ ) 위의 가 에 알맞은 식을 ( ) , ( ) 나 에 알맞은 식을 이라 할 때, × 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 에 외접하는 정사각형 의 네 변  ,  ,  , 의 중점을 각각  ,  ,  , 이라 하자. 점 을 중심으로 하고 선분 을 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 과 점 을 중심으로 하고 선분 을 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 과 원 의 호 로 둘러싸인 도형을  이라 하자.  에 내접하는 원을 라 하고 도형  의 넓이에서 원 의 넓이를 뺀 값을  이라 하자. 원 에 외접하는 정사각형 의 네 변  ,  ,  , 의 중점을 각각  ,  ,  , 라 하자 점. 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 와 점 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 부채꼴 의 호 와 원 의 호 로 둘러싸인 도형을  라 하자.  에 내접하는 원을 이라 하고 도형  의 넓이에서 원 의 넓이를 뺀 값을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 호  , 호  , 호 으로 둘러싸인 도형을  이라 하고  에 내접하는 원을 이라 하자 도형 .  의 넓이에서 원 의 넓이를 뺀 값을  이라 할 때,   ∞  의 값은 점 ? [4 ] …                     ①   ②   ③   ④    ⑤  수리 영역 가 형 6 8 19. 그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수    의 그래프가 있다 곡선 .   의 변곡점을    라 하고 원점을 지나는 직선    가 점     에서 곡선   에 접할 때 옳은 것만을 , < > ? ( , 보기 에서 있는 대로 고른 것은 단      ) [4 ] 점              보 기 ㄱ. 곡선   의 변곡점의  좌표는 이다. ㄴ. 함수 는     에서 극댓값을 갖는다. ㄷ.        ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 20. 매개변수 로 나타내어진 함수     ,       단,          에 대하여 이 곡선 위의 점      에서의 접선의 기울기는 점 ? [3 ] ①  ②    ③  ④   ⑤  21. 두 함수   와    의 그래프가 다음과 같을 때 옳은 , 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 < > ? [4 ]                   보 기 ㄱ. 함수 는    에서 연속이다. ㄴ. 함수  ∘  는    에서 연속이다. ㄷ. 함수   ∘  는    에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 단답형 22.  ≤  ≤  일 때,  에 대한 방정식     가 실근을 갖도록 하는 상수 의 최댓값을 구하시오 점 . [3 ] 가 형 수리 영역 7 8 23. 곡선     위의 점   에서의 접선이 곡선     에 접할 때 상수 , 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 24. 함수             ≠      가    에서 연속일 때, 두 상수  ,  에 대하여  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 25. 그림과 같이 길이가  인 선분 를 지름으로 하는 반원 위에   인 점 가 있다. ∠ 의 이등분선이 선분  와 만나는 점을  라 할 때,      이다.     의 값을 구하시오 점 . [3 ]       26.           의 값을 구하시오. 점[4 ] 수리 영역 가 형 8 8 27. 수열 이          ⋯  을 만족시킬 때 수열 , 의 첫째항부터 제 항까지의 합을  이라 하자 수열 .  에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 값 중에서  의 배수를 값으로 하는 모든 항의 개수를 구하시오 점 . [4 ] 28. [ 1] 그림 과 같이 가로의 길이가  , 세로의 길이가  인 직사각형 모양의 종이가 있다 네 모퉁이에서 . 크기가 같은 정사각형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [ 2] 그림 와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다 이 상자의 부피의 . 최댓값을   이라 할 때,    의 값을 구하시오 단 종이의 . ( , 두께는 무시한다.) 점[4 ]     [ 1] 그림 [ 2] 그림 29. 세 자리 이하의 자연수  에 대하여         일 때,  ≤  을 만족시키는 의 개수를 구하시오. ( , 단 는  보다 크지 않은 최대의 정수이고    ,    로 계산한다 점 .) [4 ] 30.  에 대한 방정식        의 양수인 실근이   일 때,    의 값을 구하시오 단. ( ,  ,  은 유리수이다.) 점[4 ] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입 표기 했는지 확인하시오 ( ) .