2012 7월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 ◦ 자신이 선택한 유형 가 형 (‘ ’ / ‘ ’ 나 형 의 문제지인지 확인하시오 ) . ◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오. ◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고 또 수험 번호와 , 답을 정확히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함되면 그 도 답란에 반드시 ‘0’ ‘0’ 표시하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 , 참고하시오 배점은 점 점 또는 점입니다 . 2 , 3 4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1. 두 행렬  에 대하여                  일 때,  의 모든 성분의 합은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.       의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 지수부등식     ․  의 해가      일 때,  의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 함수             ≠      가   에서 연속일 때 상수 , 의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2012 7 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 (나형) 성명 수험 번호 3 1 제2교시 2 수리 영역 (나형) 고 3 2 12 5. 함수     일 때, lim  →      의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고 두 꼭짓점 사이 , 에 많아야 한 개의 변이 존재하는 다섯 개의 꼭짓점을 갖는 그 래프  의 두 꼭짓점을 잇는 변의 개수를 성분으로 하는 행렬을  이라 할 때 다음은 행렬 ,  을 나타낸 것이다.                              이때 그래프 ,  의 모든 변의 개수는? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 식품의 부패 정도를 수치화한 식품손상지수  와 상대습도  (%), 기온  ( ) ℃ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.     ×   상대습도가 %, 기온이 ℃일 때의 식품손상지수를  , 상대습도가 %, 기온이 ℃일 때의 식품손상지수를 라 할 때,   의 값은 단 ? ( ,   로 계산한다.) [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수리 영역 (나형) 3 3 12 8. 체중이 각각 ㎏, ㎏인 갑과 을이 개월짜리 다이어트 프로그램에 참가하여 동시에 다이어트를 시작하였다 갑은 매일 . 전날에 비해 % , 의 체중이 감소하였고 을은 매일 전날에 비해 % , 의 체중이 감소하였다고 할 때 갑과 을의 체중이 같아지는 때는 다이어트 시작일로부터 며칠 후인가 단 ? ( ,    ,    ,    ,     로 계산한다.) [점] ① 일 ② 일 ③ 일 ④ 일 ⑤ 일 9. 주사위  개와 동전  개를 동시에 던져 나온 주사위의 눈의 수 를  , 동전의 앞면의 개수를  라 할 때,   일 확률은? [ 점] ①   ②   ③   ④   ⑤   10. 실수 전체에서 정의된 연속함수 가    를 만족하고      ≤        ≤  ≤  일 때,   의 값은? [점] ①  ②    ③    ④  ⑤    4 수리 영역 (나형) 고 3 4 12 11. 자연수 에 대하여 두 함수         ,   의 그래프의 두 교점의  좌표를  , 이라 할 때,        의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 함수    ⋯ 에 대하여  ′  ′ 의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수리 영역 (나형) 5 5 12 13. 다항함수 가 lim →          를 만족할 때,  ′의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림과 같이 원점 를 지나고 기울기가  인 직선  과 점    이 있다 점. 를 중심으로 하고  을 반지름 으로 하는 원과 직선  이 만나는 점을 이라 하자. 을 지나고  축에 평행한 직선  이  축과 만나는 점을 이라 하고 직선 ,  위에    가 되는 점 를 잡는다. 점 을 중심으로 하고   를 반지름으로 하는 원과 직선  이 만나는 점을 라 하자. 를 지나고  축에 평행한 직선  가  축과 만나는 점을 라 하고 직선 ,  위에     이 되는 점 을 잡는다 이와 같은 과정을 계속하여 .  번째 얻은 부채꼴 의 호의 길이를   이라 할 때,   ∞        이다.   의 값은?  단,       이고 은 원점이다. [점]              ⋰    ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수리 영역 (나형) 고 3 6 12 15. 두 곡선    ,   와 직선   가 만나는 점 을 각각    ,    라 할 때 옳은 것만을 보기 , < > 에서 있는 대로 고른 것은? [점]              < > 보 기 ㄱ.    ㄴ.      ㄷ.       ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 16. 국가의 정책 수립을 위해 국민  만 명을 대상으로 전화와 인 터넷을 이용한 설문조사를 실시하였다 전화조사 대상자 .  만 명 중 % , 가 조사에 참여하였고 인터넷조사 대상자  만 명 중 % . 가 조사에 참여하였다고 한다 조사에 참여한 대상자 중에서 임의로 한 명 선택하였을 때 이 사람이 인터넷조사에 , 참여하였을 확률은? [점] ①   ②   ③   ④   ⑤   고 3 수리 영역 (나형) 7 7 12 17. 수열 을        ,         으로 정의할 때 다음은 수열 , 의 일반항을 구하는 과정이 다.       이라 놓으면    이므로     가         ⋯ ⋯ ( ) ★ 식 에 ( ) ★      ⋯    ≥ 를 대입하면         ⋮     좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,           ⋯                   ≥  따라서   ,            나  ≥ 이다. 위의 가 나 에 들어갈 식을 각각 ( ), ( )   라 할 때, 의 값은? [점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18. 자연수 에 대하여 함수     의 그래프와 직선   의 교점의  좌표를 각각    (  ) , 이라 할 때 수열 , 에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 < > 것은? [점] < > 보 기 ㄱ.     ㄴ. lim →∞    이면   ∞    이다. ㄷ.   ∞   이 발산하면   ∞ 이 발산한다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 8 수리 영역 (나형) 고 3 8 12 19. 정수 , ,  에 대하여 함수        이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다. ( ) 가 모든 실수 에 대하여        ( ) 나    ′ 이때 함수 ,    의 극솟값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 원       위를 움직이는 제사분면 위의 점  를 지나고 축과 평행한 직선을 그어 원과 만나는 다른 점을 , 축 위의 한 점을 라 하자 삼각형 . 의 넓이를 라 할 때, lim →   의 값은? [점]         ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수리 영역 (나형) 9 9 12 21. 함수     의 역함수를 라 할 때,   의 값은? [점]         ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형(22 ~ 30) 22. 등차수열 이   ,    를 만족할 때, 의 값을 구하시오. [점] 23. 방정식     을 만족시키는 양의 정수 중 짝수인    에 대하여 순서쌍    의 개수를 구하시오. [ 점] 10 수리 영역 (나형) 고 3 10 12 24. 곡선    위의 임의의 점  에서의 접선의 기울기 가  이고 함수 의 극솟값이 일 때 함수 , 의 극댓값을 구하시오. [점] 25. 함수        에 대하여 의 최솟값 이  일 때, 의 값을 구하시오. [점] 26. 모든 항이 양수인 수열 이 lim→∞       를 만족시킬 때, lim→∞   의 값을 구하시오. [점] 고 3 수리 영역 (나형) 11 11 12 27. 다음 두 조건을 모두 만족시키는 다항함수 에 대하여  의 값을 구하시오. [점] ( ) 가 lim →∞        ( ) 나 lim →      28. 양수  에 대하여  의 지표를 라 하자 정수 부분이 . 네 자리인 양수  에 대하여               을 만족시키는 모든 실수  의 곱을  라 할 때, 의 값을 구하시오. [점] 12 수리 영역 (나형) 고 3 12 12 29. 다음은  층 카드탑에 대한 설명이다. Ⅰ. 층 카드탑 두 장의 카드를 맞대어 세운 것 : . Ⅱ. 층 카드탑 : 층 카드탑 두 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 한 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 층 카드탑을 쌓은 것. Ⅲ 층 카드탑 층 카드탑 세 개를 나란히 세우고 그 위에 . 3 : 1 가로로 두 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 층 카드탑을 쌓은 것. Ⅳ. 층 카드탑 : 1층 카드탑 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로  장의 카드를 올려놓은 후 그 위에   층 카드탑을 쌓은 것. 1층 카드탑 2층 카드탑 3층 카드탑 ⋮ ⋮  층 카드탑을 만드는데 필요한 카드의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [점] 30. 좌표평면 위의 두 점  ,  이 있다. 자연수 에 대하여 를 등분한 점을 차례로  ,  , ⋯ , 이라 하고, 점 는  , 점 는 이라 하자 점. 를 지나고 축과 수직인 직선이 함수      의 그래프와 만나 는 점을 라 하자. (  , , , ⋯ , )  를 밑변으로 하고,  를 높이로 하는 직사각형  개의 넓이의 합을 이라 할 때, lim →∞ 의 값을 구하시오. [점] * 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입 표기 했는지 확인 ( ) 하시오. 1 12 ◦ 자신이 선택한 유형 가 형 (‘ ’ / ‘ ’ 나 형 의 문제지인지 확인하시오 ) . ◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오. ◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고 또 수험 번호와 , 답을 정확히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함되면 그 도 답란에 반드시 ‘0’ ‘0’ 표시하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 , 참고하시오 배점은 점 점 또는 점입니다 . 2 , 3 4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1. 두 행렬  에 대하여                  일 때,  의 모든 성분의 합은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.       의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 지수부등식     ․  의 해가      일 때,  의 값은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 무리방정식         의 모든 실근의 곱은? [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2012 7 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 (가형) 성명 수험 번호 3 1 제2교시 2 수리 영역 (가형) 고 3 2 12 5. , , , , ,  여섯 명으로 구성된 어느 수학 동아리에 서 회장과 부회장을 각각 명씩 뽑으려고 한다.  또는 가 회장으로 뽑혔을 때, 가 부회장으로 뽑힐 확률은? [점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 양의 실수를 정의역으로 하는 두 함수   ,    에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 가 있다. 이때,  의 값은? [점] ( ) 가  ′ ′   ( ) 나    ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 식품의 부패 정도를 수치화한 식품손상지수  와 상대습도  (%), 기온  ( ) ℃ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.     ×   상대습도가 %, 기온이 ℃일 때의 식품손상지수를  , 상대습도가 %, 기온이 ℃일 때의 식품손상지수를 라 할 때,   의 값은 단 ? ( ,   로 계산한다.) [점] ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수리 영역 (가형) 3 3 12 8. 체중이 각각 ㎏, ㎏인 갑과 을이 개월짜리 다이어트 프로그램에 참가하여 동시에 다이어트를 시작하였다 갑은 매일 . 전날에 비해 % , 의 체중이 감소하였고 을은 매일 전날에 비해 % , 의 체중이 감소하였다고 할 때 갑과 을의 체중이 같아지는 때는 다이어트 시작일로부터 며칠 후인가 단 ? ( ,    ,    ,    ,     로 계산한다.) [점] ① 일 ② 일 ③ 일 ④ 일 ⑤ 일 9. 구          을  평면으로 자른 단면을 밑면으로 하고 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은 , ? [점] ①    ②    ③  ④    ⑤    10. 그림과 같이 두 직선     ,    위의 두 점 ,  와 교점 를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 가 있다. ∠  ˚ 이고   일 때,   의 값은? [점]               ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수리 영역 (가형) 고 3 4 12 11. 함수   의 그래프가 그림과 같을 때 옳은 것만을 , < > ? ( , 보기 에서 있는 대로 고른 것은 단 는 보다 크지 않 은 최대의 정수이다.) [점]           < > 보 기 ㄱ. lim →   ㄴ. 함수 는    에서 연속이다. ㄷ. 함수  는    에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 12. 곡선    과  축 및  축으로 둘러싸인 도형을  축 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피는? [점] ①   ②   ③   ④   ⑤  고 3 수리 영역 (가형) 5 5 12 13. 다항함수   의 도함수    ′의 그래프가 그림과 같을 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 , < > ? [ 점]             ′ < > 보 기 ㄱ. 구간  에서  의 변곡점은 개이다. ㄴ. 구간   에서  가 극대가 되는  의 개수는 개이 다. ㄷ. 구간   에서  의 최댓값은 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 14. 그림과 같이 원점 를 지나고 기울기가  인 직선  과 점    이 있다 점. 를 중심으로 하고  을 반지름 으로 하는 원과 직선  이 만나는 점을 이라 하자. 을 지나고  축에 평행한 직선  이  축과 만나는 점을 이라 하고 직선 ,  위에    가 되는 점 를 잡는다. 점 을 중심으로 하고   를 반지름으로 하는 원과 직선  이 만나는 점을 라 하자. 를 지나고  축에 평행한 직선  가  축과 만나는 점을 라 하고 직선 ,  위에     이 되는 점 을 잡는다 이와 같은 과정을 계속하여 .  번째 얻은 부채꼴 의 호의 길이를   이라 할 때,   ∞        이다.   의 값은?  단,       이고 은 원점이다. [점]              ⋰    ①  ②  ③  ④  ⑤  6 수리 영역 (가형) 고 3 6 12 15. 이차함수   와 삼차함수   의 그래프가 그림 과 같을 때 부등식 ,     을 만족시키는 모든 정수  의 값의 합은? [점]               ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이 정육각형  에 대하여  ,   이고 직선 ,  위의 점 는     를 만족한 다 원점을 닮음의 중심으로 하는 . 닮음변환 와 원점을 중심으 로  만큼 회전시키는 회전변환 의 합성변환 ∘  에 의하여 점 가 점 로 옮겨질 때 합성변환 , ∘  를 나타내는 행렬 의 모든 성분의 합은?  단,        [점]          ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수리 영역 (가형) 7 7 12 17. 수열 을        ,         으로 정의할 때 다음은 수열 , 의 일반항을 구하는 과정이 다.       이라 놓으면    이므로     가         ⋯ ⋯ ( ) ★ 식 에 ( ) ★      ⋯    ≥ 를 대입하면         ⋮     좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,           ⋯                   ≥  따라서   ,            나  ≥ 이다. 위의 가 나 에 들어갈 식을 각각 ( ), ( )   라 할 때, 의 값은? [점] ①   ②   ③   ④   ⑤   18.  부터  까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다 이 주머니에서 임의로 . 개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수일 확률은 , ? [ 점] ①   ②   ③   ④   ⑤   8 수리 영역 (가형) 고 3 8 12 19. 좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 와 네 점          을 꼭 짓점으로 하는 정사각형 가 있다 원. 의 중심이  축 을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다.  초 후 원의 내부와 정사각형 의 내부가 겹치는 부분의 넓이를  라 하자 원. 의 중심이    을 지나는 순간, 넓이  의 시간 초 에 대한 변화율은 단 ( ) ? ( ,  ≤  ≤ ) [점]             ①   ②   ③   ④   ⑤  20. 그림과 같이   을 초점으로 하는 포물선    와   과 ′  을 초점으로 하는 쌍곡선                   이 제사분면에서 만나는 점을  라 하자.  , ∠′    일 때, 의 값은? [점]     ′                    ①  ②  ③  ④  ⑤  고 3 수리 영역 (가형) 9 9 12 21. 그림과 같이 정사면체 의 모서리  를    로 내분 하는 점을  라 하자 삼각형 .  와 삼각형 가 이루는 각의 크기를  라 할 때,  의 값은?  단,        [ 점]      ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형(22 ~ 30) 22.       의 전개식에서  의 계수를 구하시오. [점] 23. 원        과 축의 두 교점을 초점으로 하 고 원의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오 , . [점] 10 수리 영역 (가형) 고 3 10 12 24. 다항함수 에 대하여 lim →        일 때, lim →    의 값을 구하시오. [점] 25.        를 만족시키는 함수   에 대하여  의 값을 구하시오. [점] 26. 모든 항이 양수인 수열 이 lim→∞       를 만족시킬 때, lim→∞   의 값을 구하시오. [점] 고 3 수리 영역 (가형) 11 11 12 27.  ≤  ≤  일 때 방정식 ,      을 만 족시키는 모든 실근의 합은     이다.  의 값을 구하시오. ( , 단 와 는 서로소인 자연수이다.) [점] 28. 아래와 같은 순서로 두 용기 ,  에 물과 소금을 넣어 소금물을 만들고자 한다. Ⅰ. 용기  ,  에 각각 과 의 물을 넣는다. Ⅱ. 의 소금을 모두 용기 ,  에 나누어 넣되 용기 ,  에 더 많이 넣는다. Ⅲ. 용기  만 가열하여 용기  에 넣은 소금의 양 만큼 물 을 증발시킨다. 이때 용기 , , 의 소금물의 농도를 각각 (%), (%) . 라 하자   일 때 용기 ,  에 넣은 소금의 양() . [ 을 구하시오  점] 12 수리 영역 (가형) 고 3 12 12 29. 다음은  층 카드탑에 대한 설명이다. Ⅰ. 층 카드탑 두 장의 카드를 맞대어 세운 것 : . Ⅱ. 층 카드탑 : 층 카드탑 두 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 한 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 층 카드탑을 쌓은 것. Ⅲ 층 카드탑 층 카드탑 세 개를 나란히 세우고 그 위에 . 3 : 1 가로로 두 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 층 카드탑을 쌓은 것. Ⅳ. 층 카드탑 : 1층 카드탑 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로  장의 카드를 올려놓은 후 그 위에   층 카드탑을 쌓은 것. 1층 카드탑 2층 카드탑 3층 카드탑 ⋮ ⋮  층 카드탑을 만드는데 필요한 카드의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. [점] 30. 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 같은 도 로망이 있다. 집 서점 도서관 철수가 집에서 도로를 따라 최단거리로 약속장소인 도서관으로 가다가 어떤 교차로에서 약속장소가 서점으로 바뀌었다는 연락 을 받고 곧바로 도로를 따라 최단거리로 서점으로 갔다 집에서 . 서점까지 지나 온 길이 같은 경우 하나의 경로로 간주한다. 예를 들어 그림 과 그림 는 연락받은 위치는 다르나 같은 , [ 1] [ 2] , 경로이다. 도서관 집 서점 ✆ 집 서점 도서관 ✆ [ 1] [ 2] 그림 그림 철수가 집에서 서점까지 갈 수 있는 모든 경로의 수를 구하시 오 단 철수가 도서관에 도착한 후에 서점으로 가는 경우도 . ( , 포함한다.) [점] * 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입 표기 했는지 확인 ( ) 하시오.