2012 4월 학력평가 수학 문제 해설

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수리가형문제(2017-09-30 / 443.6KB / 73회)

수리나형문제(2017-09-30 / 212.2KB / 75회)

1 12 ◦ 자신이 선택한 유형(‘ ’ /‘ ’ ) 가 형 나 형의 문제지인지 확인하시오. ◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오. ◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고 또 수험번호와 답을 , 정확히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함되면 그 도 답란에 반드시 ‘0’ ‘0’ 표시하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고 , 하시오 배점은 점 점 또는 점입니다 . 2 , 3 4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1.    ×     의 값은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여    를 만족시키는 행렬  는 점 ? [2 ] ①       ②       ③       ④       ⑤       3. lim→∞        의 값은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 행렬       가 역행렬을 갖지 않도록 하는 모든 실수 의 값의 곱은? 점[3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2012 4 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 ( ) 나 형 제 교시 2 성명 수험번호 3 1 2 수리 영역 나 형 2 12 5. 지수부등식          의 해가      일 때,  의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 무한등비급수   ∞        이 수렴하도록 하는 자연수 의 개수는? [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 두 상수 , 에 대하여 lim →    일 때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 모든 자연수 에 대하여 두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킬 때, lim→∞ 의 값은 점 ? [3 ] ( ) 가     ⋯  ( ) 나    ( ) 다 무한급수   ∞ 이 수렴한다. ①  ②   ③   ④  ⑤   3 나 형 수리 영역 3 12 9. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수   의 그래프의 일부가 그림과 같을 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 , < > ? [4 ]     O      보 기 ㄱ. lim→    ㄴ. lim →    ㄷ. 함수 은   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 10. 두 양수 , 에 대하여 세 수 , , 는 이 순서대로 등차수열을 이루고 세 수 ,   , ,    는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 이때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수리 영역 나 형 4 12 11. 점근선의 방정식이   인 지수함수    의 그래프를 축에 대하여 대칭이동시킨 함수   의 그래프가 그림과 같다.   O   O       함수   의 그래프가 점  을 지날 때 두 상수 , , 에 대하여 의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③   ④  ⑤   12. 해발고도 m인 곳에서의 기압을 hPa, 평균해수면으로부터 해발고도 m까지의 기층의 평균기온을 C라 할 때 다음 , 식이 성립한다고 한다.   log    ( , 단 은 평균해수면의 기압이다.) 어느 지역에서 평균해수면의 기압이 hPa이고 평균해수면 , 으로부터 해발고도 m까지의 기층의 평균기온이 C일 때, 해발고도 m인 곳에서의 기압hPa은 점 ? [3 ] ①    ②    ③    ④    ⑤    5 나 형 수리 영역 5 12 13. 이차함수 와 다항함수 가 lim→∞  를 만족시킬 때, lim →∞   의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③   ④  ⑤   14. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 ,  에 대하여 옳은 것만을 < > ? [4 ] 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 보 기 ㄱ. 행렬  의 역행렬이 존재하면        이다. ㄴ. 행렬  의 역행렬이 존재하면 행렬  의 역행렬도 존재한다. ㄷ. 행렬  의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬  의 역행렬도 존재하지 않는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 6 수리 영역 나 형 6 12 15. 모든 항이 양수인 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을  이라 할 때,            ≥  이 성립한다 다음은 수열 . 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식에   을 대입하면   이므로   가 이다.                         ( ≥ )이고       이므로 나 ⋅     가 ⋅ ( ≥ ) . 이다 한편,            이므로         ⋮ 따라서   다 위의 가 나 에 알맞은 수를 각각 ( ), ( ) ,  라 하고 다 에 알맞은 , ( ) 식을 이라 할 때, 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 수열 은 첫째항이 , 공비가    인 등비수열이다. 모든 자연수 에 대하여 좌표평면 위의 점 P 의 좌표를  , 점 Q의 좌표를  이라 하자. 삼각형 PQQ의 넓이를 이라 할 때,    의 값은 점 ? [4 ] ①     ②     ③     ④     ⑤     7 나 형 수리 영역 7 12 17. 첫째항이 , 공차가 인 등차수열 에 대하여 부등식 ≥    ≥  을 만족시키는 의 최솟값을 이라 할 때 옳은 것만을 보기 , < > 에서 있는 대로 고른 것은 점 ? [4 ] 보 기 ㄱ.      ㄴ. 수열 은 공차가   인 등차수열이다. ㄷ.       ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 18. 다음 순서도에서 인쇄되는  의 값은 점 ? [4 ] 시작  ←   ←   ←    ←         ?  를 인쇄 끝 예 아니오 ①   ②   ③   ④   ⑤   8 수리 영역 나 형 8 12 19. 함수   lim  →∞                  에 대하여      lim →   의 값은 점 ? [4 ] ①    ②  ③  ④  ⑤   20. 한 변의 길이가 인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다 이 세 선분을 각각 가장 . 긴 대각선으로 하는 개의 정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 이라 하고 그림 , 의 넓이를 이라 하자. 그림 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 개의 모양의 그림을 라 하고, 그림 의 넓이를 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 그려서 얻은  개의 모양의 그림을 이라 하고 그림 , 의 넓이를 이라 할 때,   ∞ 의 값은? [4 ] 점    ①    ②    ③    ④    ⑤    9 나 형 수리 영역 9 12 21. 초콜릿이 개 들어 있는 상자 의 개수를 , 초콜릿이 개 들어 있는 상자  의 개수를 라 하자. ,  두 종류의 모든 상자 개수의 합이 이고 모든 초콜릿 개수의 합이 , 일 때 등식 ,                가 성립한다 이때 두 상수 . , , 에 대하여 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. , 에 대한 연립일차방정식               가   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오. 점[3 ] 23. 함수            ≠      이   에서 연속일 때, 상수 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 10 수리 영역 나 형 10 12 24. 수열 이   이고 모든 자연수 , 에 대하여           을 만족시킬 때,  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 25. 로그부등식 loglog ≤ 를 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오 점 . [3 ] 26. 두 실수 , 에 대한 연립방정식       log log   의 해를   ,    라 할 때,    의 값을 구하시오 점 . [3 ] 11 나 형 수리 영역 11 12 27. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이       일 때,     의 값을 구하시오 점 . [4 ] 28. 수열 에서   sin   일 때,     의 값을 구하시오. [4 ] 점 12 수리 영역 나 형 12 12 29. 양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때 다음 조건을 만족시키는 , 의 값은    이다. ( ) 가         ( ) 나            이때, 의 값을 구하시오 단. ( , , 은 서로소인 자연수이다.) [4 ] 점 30. 수열 이 다음 조건을 만족시킬 때,    의 값을 구하시오 점 . [4 ] ( ) 가    ( ) 나 의 계차수열 에 대하여    이다. ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입 표기 했는지 확인하시오 ( ) .  1 12 ◦ 자신이 선택한 유형(‘ ’ /‘ ’ ) 가 형 나 형의 문제지인지 확인하시오. ◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확히 기입하시오. ◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 쓰고 또 수험번호와 답을 , 정확히 표시하시오. ◦ 단답형 답의 숫자에 이 포함되면 그 도 답란에 반드시 ‘0’ ‘0’ 표시하시오. ◦ 문항에 따라 배점이 다르니 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고 , 하시오 배점은 점 점 또는 점입니다 . 2 , 3 4 . ◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오. 1.    ×     의 값은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 행렬         ,         에 대하여    를 만족시키는 행렬  는 점 ? [2 ] ①       ②       ③       ④       ⑤       3. cos      일 때, cos의 값은?  단,        [2 ] 점 ①   ②   ③   ④   ⑤   4. 다항함수 가 lim →∞       , lim →       을 만족시킬 때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2012 4 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수리 영역 ( ) 가 형 제 교시 2 성명 수험번호 3 1 2 수리 영역 가 형 2 12 5. 곡선   ln   위의 점    에서의 접선의 기울기는 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 일차변환 와 두 행렬       ,       에 대하여        가 성립한다 일차변환 . 의 역변환  가 존재할 때,   는 점 ? [3 ] ①     ②    ③     ④     ⑤    7. 이차함수   의 그래프가 그림과 같다.     O       일 때 부등식 ,   ≤ 을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8. 모든 자연수 에 대하여 두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킬 때, lim →∞ 의 값은 점 ? [3 ] ( ) 가     ⋯  ( ) 나    ( ) 다 무한급수   ∞ 이 수렴한다. ①  ②   ③   ④  ⑤   3 가 형 수리 영역 3 12 9. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수   의 그래프의 일부가 그림과 같을 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 , < > ? [4 ]      O       보 기 ㄱ. lim  →     ㄴ. lim →    ㄷ. 함수   ․ sin 는 열린 구간  에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 10. 세 집합        ,     ,     에 대하여  ⊂  ⊂  일 때, 의 최솟값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수리 영역 가 형 4 12 11. 점근선의 방정식이   인 지수함수    의 그래프를 축에 대하여 대칭이동시킨 함수   의 그래프가 그림과 같다.   O   O       함수   의 그래프가 점  을 지날 때 두 상수 , , 에 대하여 의 값은 점 ? [3 ] ①   ②  ③   ④  ⑤   12. 해발고도 m인 곳에서의 기압을 hPa, 평균해수면으로부터 해발고도 m까지의 기층의 평균기온을 C라 할 때 다음 , 식이 성립한다고 한다.   log    ( , 단 은 평균해수면의 기압이다.) 어느 지역에서 평균해수면의 기압이 hPa이고 평균해수면 , 으로부터 해발고도 m까지의 기층의 평균기온이 C일 때, 해발고도 m인 곳에서의 기압hPa은 점 ? [3 ] ①    ②    ③    ④    ⑤    5 가 형 수리 영역 5 12 13. 삼차함수   의 도함수    ′의 그래프가 그림과 같다.   O      ′  ′  ′ 이고 함수 의 극댓값이 , 극솟값이 일 때, 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 ,  에 대하여 옳은 것만을 < > ? [4 ] 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 보 기 ㄱ. 행렬  의 역행렬이 존재하면        이다. ㄴ. 행렬  의 역행렬이 존재하면 행렬  의 역행렬도 존재한다. ㄷ. 행렬  의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬  의 역행렬도 존재하지 않는다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 6 수리 영역 가 형 6 12 15. 모든 항이 양수인 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을  이라 할 때,            ≥  이 성립한다 다음은 수열 . 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식에   을 대입하면   이므로   가 이다.                         ( ≥ )이고       이므로 나 ⋅     가 ⋅ ( ≥ ) . 이다 한편,            이므로         ⋮ 따라서   다 위의 가 나 에 알맞은 수를 각각 ( ), ( ) ,  라 하고 다 에 알맞은 , ( ) 식을 이라 할 때, 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 정적분    sinsin 의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③  ④   ⑤  7 가 형 수리 영역 7 12 17. 그림은 어느 여행 상품의 여행 코스와 코스별 거리 소요시간이 , 나타난 안내문의 일부이다. 갑이 승마 코스에서 이동한 평균속력은 뗏목 래프팅 코스에서 이동한 평균속력보다 kmh 더 빨랐고 코끼리 트래킹 코스에서 , 이동한 평균속력은 kmh이었다 또한 갑이 승마 코스와 코끼리 . 트래킹 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간의 합은 뗏목 래프팅 코스에서 이동하는 데 걸린 소요시간과 같았다. 이때 갑이 승마 뗏목 래프팅 코끼리 트래킹 코스에서 , , , 이동하는 데 걸린 소요시간의 총합은 단 코스를 변경하는 데 걸린 시간은 ? ( , 무시한다.) 점[4 ] ① 시간 ② 시간 분 ③ 시간 분 ④ 시간 분 ⑤ 시간 18. 음이 아닌 모든 정수 에 대하여 좌표평면 위의 점    이 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가   ,      cos  sin   sin   cos          ( ) 나         일 때 상수 , 의 값은? 점[4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8 수리 영역 가 형 8 12 19. 함수     에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은 점 ? [4 ] 보 기 ㄱ.     ㄴ.   에서   이다. ㄷ.                  ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 20. 한 변의 길이가 인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다 이 세 선분을 각각 가장 . 긴 대각선으로 하는 개의 정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 이라 하고 그림 , 의 넓이를 이라 하자. 그림 에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 개의 모양의 그림을 라 하고, 그림 의 넓이를 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 그려서 얻은  개의 모양의 그림을 이라 하고 그림 , 의 넓이를 이라 할 때,   ∞ 의 값은? [4 ] 점    ①    ②    ③    ④    ⑤    9 가 형 수리 영역 9 12 21. 함수  ln 에 대하여 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은 점 ? [4 ] 보 기 ㄱ. 모든 실수 에 대하여  ′   ′이다. ㄴ. 의 도함수  ′의 최댓값은  이다. ㄷ. 임의의 두 실수  , 에 대하여   ≤    이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 단답형 22. , 에 대한 연립일차방정식               가   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오. 점[3 ] 23. 무리방정식        의 모든 실근의 곱을 라 할 때,  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 10 수리 영역 가 형 10 12 24. 수열 이   이고 모든 자연수 , 에 대하여           을 만족시킬 때,  의 값을 구하시오 점 . [3 ] 25. 좌표평면에서두점  ,  를각각두점  ,  로 옮기는 일차변환에 의하여 점  이 옮겨지는 점을   라 할 때, 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 26. 그림과 같이 중심이 O이고 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 두 점 P, Q가 ∠POB  ∠BOQ,  AP   BQ를 만족시킨다. ∠BOQ  라 할 때,  cos의 값을 구하시오.  단,        [4 ] 점 A P O B Q 11 가 형 수리 영역 11 12 27. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이       일 때,     의 값을 구하시오 점 . [3 ] 28. 함수     의 역함수 에 대하여 lim→∞          의 값을 라 할 때, 의 값을 구하시오 점 . [4 ] 12 수리 영역 가 형 12 12 29. 양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때 다음 조건을 만족시키는 , 의 값은    이다. ( ) 가         ( ) 나            이때, 의 값을 구하시오 단. ( , , 은 서로소인 자연수이다.) [4 ] 점 30. 좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가   이고 반지름의 길이가 인 부채꼴 OAB가 있다 점. P가 점 A 에서 출발하여 호 AB 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, 축 위의 점 Q는  PQ   를 만족시키면서 축 위를 움직인다. O A  B  Q P  ∠POA    가 되는 순간 점, Q의 좌표의 시간 초 에 대한 ( ) 변화율을 라 할 때, 의 값을 구하시오 점 . [4 ] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입 표기 했는지 확인하시오 ( ) .