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수학가형 문제(2019-07-10 / 2.91MB / 88회)
수학가형 해설(2019-07-10 / 240.6KB / 94회)
수학나형 문제(2019-07-10 / 2.44MB / 120회)
수학나형 해설(2019-07-10 / 199.2KB / 114회)
2020학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학영역 가형 정답 및 풀이 1 01.③ 02.① 03.⑤ 04.① 05.④ 06.⑤ 07.③ 08.② 09.④ 10.② 11.④ 12.④ 13.③ 14.② 15.⑤ 16.④ 17.④ 18.③ 19.① 20.⑤ 21.② 22.30 23.7 24.15 25.60 26.48 27.22 28.40 29.24 30.12 1. 출제의도 : 조합의 수를 구할 수 있는 가? 정답풀이 : C C × 정답 ③ 2. 출제의도 : 로그함수의 도함수를 이용 하여 미분계수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : ln에서 ′ 따라서 ′ 정답 ① 3. 출제의도 : 지수함수의 극한을 구할 수 있는가? 정답풀이 : lim → lim → lim → lim → lim → lim → × × 정답 ⑤ 4. 출제의도 : 배반사건의 덧셈정리를 이 해할 수 있는가? 정답풀이 : ∪ ∩ ∪이고 ∩ ∩ ∅이다. 따라서 P∪ PP ∩ 이므로 P 정답 ① 5. 출제의도 : 정적분의 값을 구할 수 있 는가? 정답풀이 : ln ln ln 정답 ④ 6. 출제의도 : 음함수의 미분법을 이용하 여 접선의 기울기를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 2 의 양변을 에 대하여 미 분하면 ∴ (단, ) 따라서 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는 × × 정답 ⑤ 7. 출제의도 : 자연수의 분할을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 구하는 경우의 수는 를 서로 다른 개의 자연수로 분할하는 경우의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 이다. 정답 ③ 8. 출제의도 : 포물선의 초점의 좌표를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 포물선 , 즉 의 그래프는 포물선 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행 이동한 것이다. 이때 포물선 의 초점의 좌표가 이므로 포물선 의 초 점의 좌표는 이다. 따라서 , 즉 이 므로 정답 ② 9. 출제의도 : 주어진 조건을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 조건 (가)에서 lim → lim → × ′ 따라서 ′ 이다. 또한, 조건 (나)에서 ′× ′ 이므로 ′ 그런데, ′ 이므로 ′ 따라서 log 정답 ④ 10. 출제의도 : 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 부분적분법에 의해 3 ln ln × ln ln 정답 ② 11. 출제의도 : 곡선의 변곡점의 좌표를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 에서 ′ ′′ ″ 에서 ″ 이고 의 좌우에서 ″의 부호가 변하 므로 곡선 의 변곡점의 좌표는 이다. 이때, 이므로 따라서 × 정답 ④ 12. 출제의도 : 삼각함수의 미분법과 삼 각함수의 덧셈정리를 이용하여 주어진 tan의 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : ′ cossin 이므로 ′ cos sin 즉, cos sin 에서 tan 이므로 tan tan tan tan , tan tan tan tan tan 정답 ④ 13. 출제의도 : 쌍곡선의 정의를 이해할 수 있는가? 정답풀이 : AF 라 하면 정사각형의 대각선의 길이는 AF′ 한편, 주축의 길이가 이므로 쌍곡선의 정의에 의해 AF′ AF , AF′ AF 즉, 이므로 따라서 대각선의 길이는 AF′ AF 정답 ③ <다른 풀이> 주어진 쌍곡선의 방정식을 ( 는 양의 상수) 4 라 하자. 쌍곡선의 주축의 길이가 이므로 에서 따라서 이고 F , F′ 이므로 FF′ 이때 사각형 ABF′F는 정사각형이므로 점 A의 좌표는 이때 정사각형 ABF′F의 대각선의 길이는 AF′ ×FF′ … ㉠ 이고, 쌍곡선의 정의에 의해 AF′ AF … ㉡ 이므로 ㉠, ㉡에서 따라서 이므로 정사각형 ABF′F의 대각선의 길이는 ㉡에서 14. 출제의도 : 주어진 조건을 만족하는 확률을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 를 만족하는 경우는 다음 표 와 같다. 2 1 1 3 1, 2 1, 2 4 1, 2, 3 1, 2, 3 5 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 6 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5 즉, 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 ××××× 한편, 한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 경우의 수는 따라서 구하는 확률은 정답 ② 15. 출제의도 : 평면위의 운동에서의 속 력의 최솟값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : , 이므로 시각 에서의 점 P의 속력 는 따라서 일 때 점 P의 속력의 최솟 값은 5 정답 ⑤ 16. 출제의도 : 여러 가지 미분법을 이 용하여 미분계수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : cos 의 양변에 자연로그를 취하면 ln lnlncosln lnlncos 위 등식의 양변을 에 대하여 미분하면 ′ ′ cos sin 위 등식에 를 대입하면 ′ ′ cos sin 이고, ′ 이므로 ′ 정답 ④ 17. 출제의도 : 두 사건이 서로 독립일 조건을 이용하여 빈칸에 알맞은 식이나 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 는 번째 자리에 이하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, 번째 자리를 제외한 개의 자리에 나머지 장 의 카드가 놓여 있는 사건이므로 P × 이다. ∩ 은 번째 자리에 이 하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓 여 있고, 번째 자리에 이하의 자연수 중 번째 자리에 놓인 카드에 적힌 수 가 아닌 자연수가 적힌 카드가 놓여 있 고, 번째와 번째 자리를 제외한 개 의 자리에 나머지 장의 카드가 놓여 있 는 사건이므로 P∩ ×× 이다. 한편, 두 사건 과 이 서로 독립이 기 위해서는 P∩ P P 을 만족시켜야 한다. 즉, × 이므로 , 이때, ⋯ 따라서 두 사건 과 이 서로 독립 이 되도록 하는 의 모든 순서쌍 은 ⋯ 이고, 그 개수는 이다. 이상에서 (가)에 알맞은 식은 이므로 (나)에 알맞은 식은 이므로 (다)에 알맞은 수는 이므로 따라서 ×× × × 6 정답 ④ 18. 출제의도 : 벡터의 합을 이해하고 벡터의 합의 크기가 최댓값을 가질 조건 을 구할 수 있는가? 정답풀이 : OP OQ ≤이어야 하므로 OP QR 를 만족시키는 점을 R라 할 때, OP OQ QR OQ OR ≤ 을 만족시켜야 한다. 이때, 점 P는 직선 을 움직이므로 점 R의 좌표 중 좌표가 가장 큰 점은 직선 를 움직인다. 그런데 점 Q는 호 AB위를 움직이므로 최댓값이 5가 되 는 경우는 그림과 같이 두 가지 경우이 다. O (ii) (i) (i) 두 원 , 이 서로 내접하는 경우이므로 , 이때 이므로 (ii) 원 에서 일 때 이므로 이다. (i), (ii) 에 의하여 모든 실수 의 값의 곱은 이다. 정답 ③ 19. 출제의도 : 중복조합을 이용하여 순 서쌍의 개수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : ( )이라 하면 조건 (가)에서 ≥이고 이므로 이때 ≤ 이므로 라 하면 ≥이고 … ㉠ 이때 ′ ( )이라 하면 ′ ′ ′ … ㉡ 이때 ≥ ′ ≥ ′ ≥ ′ ≥ ≥ 이므로 ㉡을 만족시키는 순서쌍 ′ ′ ′ 의 개수는 H C C C ××× ××× 정답 ① <다른 풀이> ( )이라 하면 조건 (가)에서 ≥이고 7 이므로 … ㉠ 이때 ′ ( )이라 하면 ′ ≥이고 ′ ′ ′ … ㉡ 한편, 등식 ′ ′ ′ ≥ 을 만족시키는 순서쌍 ′ ′ ′의 개수는 H C C (i) 일 때 ㉡에서 ′ ′ ′ 이때 ≤ ≤이므로 파스칼의 삼각형의 성질에 의해 순서쌍 ′ ′ ′의 개수는 H C C (ii) 일 때 ㉡에서 ′ ′ ′ 이때 ≤ ≤이므로 파스칼의 삼각형의 성질에 의해 순서쌍 ′ ′ ′의 개수는 H C C 이와 같은 방법으로 일 때 ㉡에서 ′ ′ ′ 이때 ≤ ≤이므로 파스칼의 삼각형의 성질에 의해 순서쌍 ′ ′ ′의 개수는 H C C 또, 일 때 ㉡에서 ′ ′ ′ , 즉 ′ ′ ′ 이므로 순서쌍 ′ ′ ′의 개수는 H C C 이상에서 구하는 순서쌍의 개수는 C C C ⋯C C C C ××× ××× 20. 출제의도 : 정적분의 여러 가지 성 질들을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판 단 할 수 있는가? 정답풀이 : ㄱ. 조건 (나)에서 ln 양변을 에 대하여 미분하면 ′ ′ ′ …㉠ 이때 이고 이므로 즉, ′ 이므로 함수 는 감소 한다. (참) ㄴ. ㉠에 을 대입하면 ′ 8 또한, 일 때 이고 이므로 ′ 따라서 함수 는 에서 극대이면 서 최댓값을 갖는다. 이때 조건 (나)에 을 대입하면 ln , 즉, 함수 의 최댓값은 1이다. (참) ㄷ. ㉠에서 ′ 이고 에서 ′ 이므로 ′ ′ ′ ′ 그런데, ′ ′ 이므로 (는 상수) 이때 을 대입하면 이므로 즉, (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다. 정답 ⑤ 21. 출제의도 : 곡선의 접선 및 합성함 수의 미분법을 이용하여 주어진 식의 값 을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 함수 ln 에서 ′ ln ′ 에서 ln 이때, 이므로 ln ⋯⋯ ㉠ 한편, 원점에서 곡선 에 그은 접 선을 이라 하고, 접선 과 곡선 의 접점의 좌표를 이 라 하면 접선 의 방정식은 ′ 즉, ln ln 이 직선이 원점을 지나므로 ln ln ln 따라서 ′ ln ㉠의 양변을 에 대하여 미분하면 ′ ln × ln 이므로 ′ ln ln ⋯⋯ ㉡ ㉡의 양변에 를 대입하면 9 ′ 즉, ′ ′ 따라서 ×′ × 정답 ② 22. 출제의도 : 벡터의 곱셈을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 이므로 의 모든 성분의 합은 정답 23. 출제의도 : 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있 는가? 정답풀이 : cos 이므로 csc ×tan sin × cos sin cos 정답 24. 출제의도 : 그래프를 이용하여 로그 가 포함된 부등식의 해를 구할 수 있는 가? 정답풀이 : log log ≤ 에서 log log ≤ log ≤ log 따라서 ≤, , …㉠ 이므로 ㉠을 만족시키는 자연수 는 4, 5, 6 이고 그 합은 정답 15 25. 출제의도 : 조합을 이용하여 함수의 개수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 조건 (나)를 만족시키는 의 값이 될 수 있는 의 세 원소를 이라 하 고, 나머지 두 원소를 라 하자. 의 세 원소 을 택하는 경우의 수는 C × × 중에서 한 개를 택하여 조건 (가) 를 만족시키도록(예를 들어, 을 택하면 이어야 한다.) 대응시키는 경우 의 수는 C × 남아있는 나머지 개의 원소를 중에서 개에 대응시키는 경 우의 수는 C 따라서 구하는 함수의 개수는 10 ×× 정답 26. 출제의도 : 벡터의 크기를 이용하여 점 P가 나타내는 도형의 방정식과 방향 벡터가 주어진 직선의 방정식을 구한 후, 두 직선이 이루는 예각의 크기를 이 용하여 문제를 해결할 수 있는가? 정답풀이 : 좌표평면에서 점 P의 좌표를 라 하자. OP 에서 점 A 가 원 위의 점 이므로 ⋯⋯ ㉠ 원 위의 점 A 에서의 접선의 방정식은 즉, 원점을 지나고 방향벡터가 인 직선 의 방정식은 즉, A O 두 직선 , 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 라 하면 tan tan 이고 이다, 한편, cos 이므로 tan sec cos 에서 tan 이므로 tan 이때, tan tan tantan tan tan × 이므로 ⋯⋯ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 11 이므로 을 ㉡에 대입하면 × 따라서 × 정답 27. 출제의도 : 경우의 수를 구하여 확 률을 구할 수 있는가? 정답풀이 : ( ≤≤)를 순서쌍 으로 나타내면 순서쌍의 개수는 이때 이기 위해서는 또는 , 이어야 한다. (i) 인 순서쌍은 또는 또 는 이므로 그 개수는 × (ii) , 인 순서쌍은 또는 또는 이므로 그 개수는 × (i), (ii)에 의하여 구하는 확률은 따라서 , 이므로 정답 22 28. 출제의도 : 도형의 넓이를 삼각함수 로 나타내고, 극한값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 삼각형 ABP에서 ∠APB 이므로 AP cos 직각삼각형 AOH에서 AH OA cos cos, OH sin 한편, 부채꼴 PAQ의 넓이를 이라 하 면 ×AP × ×cos × cos 삼각형 AOH의 넓이를 라 하면 ×AH×OH cossin 부채꼴 POB에서 12 ∠POB ∠PAB 이고, PR RB 이므로 ∠ROB × 부채꼴 ROB의 넓이를 이라 하면 ×OB × × × 이때, cos cos sin 이므로 lim → OH lim → sin cos cos sin lim → sin × lim → cos lim → cos lim → sin 따라서 이므로 × 정답 29. 출제의도 : 벡터의 연산에서 종점의 위치를 이해하고 벡터의 내적의 최댓값 과 최솟값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 좌표평면에서 곡선 와 점 Q가 나타내 는 곡선은 그림과 같다. O 이때 OP OX OA라 하면 점 A와 OY 가 나타내는 점 Y는 그림의 색칠된 부분에 존재한다. O 따라서 OZ OP OX OY OA OY 를 만족시키는 점 Z가 나타내는 영역 는 그림의 색칠된 부분이다. 13 O 따라서 영역 에 속하는 점 중에서 축 과의 거리가 최소인 점 R 이므로 OR⋅ OZ의 최솟값 은 점 Z가 두 점 , 을 잇는 선분 위 의 점일 때이므로 × OR⋅ OZ의 최댓값 은 점 Z일 때이므로 × × 따라서 이므로 , 즉, 정답 24 30. 출제의도 : 함수의 그래프와 정적분 의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : sin sin 에서 이므로 … ㉠ 이므로 … ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 , 따라서 sin sin이므로 함수 의 주기는 이고, 함수 의 그래프는 직선 (은 정수)에 대하여 대칭이다. 이때 ′ sin coscos cossin 이므로 ′ 에서 cos 또는 sin ± 따라서 함수 의 극댓값은 이거나 보 다 작으므로 함수 의 그래프에서 인 실수 에 대하여 １＜ 이고, (i) 이 홀수일 때 ′ ′ 이므로 ′ ′ (ii) 이 짝수일 때 ′ ′ 이므로 ′ ′ (i), (ii)에서 ⋯ 이므로 이제 ′ 의 값을 구하자. ≤ ≤ 에서 함수 를 14 로 정의하면 함수 는 일대일대응이므로 라 하자. 에서 이므로 따라서 역함수의 미분법에 의해 ′ ′ ′ 이므로 ′ ′ 이때 라 하면 이고, 일 때 ( 이므 로) 일 때 ( 이므 로) 한편, 에서 ′이다. 따라서 ′ sin sin sincos sin sin sincos cos cos cos cos cos cos 이므로 따라서 따라서 이므로 정답 2020학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학영역 나형 정답 및 풀이 1 01. ⑤ 02. ③ 03. ⑤ 04. ② 05. ② 06. ① 07. ② 08. ② 09. ④ 10. ⑤ 11. ③ 12. ① 13. ③ 14. ② 15. ④ 16. ① 17. ② 18. ⑤ 19. ④ 20. ③ 21. ① 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 1. 출제의도 : 유리수 지수를 포함한 수 의 연산을 지수법칙을 이용하여 계산할 수 있는가? 정답풀이 : × × 정답 ⑤ 2. 출제의도 : 수열의 극한값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : lim →∞ lim →∞ 정답 ③ 3. 출제의도 : 집합의 연산을 할 수 있는 가? 정답풀이 : ∉, ∈∪이므로 ∈이어야 한다. 따라서 정답 ⑤ 4 출제의도 : 함숫값과 역함수의 함숫값 을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 주어진 그림으로부터 또, 라 하면 이때, 주어진 그림에서 즉, 따라서, 정답 ② 5. 출제의도 : 충분조건이 되도록 하는 미지수의 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자. 에서 또는 즉, 또는 이므로 ≥ 가 이기 위한 충분조건이므로 ⊂이어야 한다. 즉, ≤이다. 따라서 실수 의 최댓값은 이다. 정답 ② 6. 출제의도 : 확률의 성질을 이해하고 있는가? 정답풀이 : 2 ∪ ∪ ∩ 이고, 두 사건 , ∩는 서로 배반사 건이므로 P∪ PP ∩ 따라서 P P∪P ∩ 정답 ① 7. 출제의도 : 우극한값, 좌극한값을 구 할 수 있는가? 정답풀이 : →일 때, →이므로 lim → 또, →일 때, →이므로 lim → 따라서, lim → lim → 정답 ② 8. 출제의도 : 로그의 성질을 이용하여 주어진 수를 주어진 문자로 나타낼 수 있는가? 정답풀이 : log log 이므로 log log log × log log loglog × 정답 ② 9. 출제의도 : 수열의 귀납적 정의를 이 용하여 특정한 항의 값을 구할 수 있는 가? 정답풀이 : × × 이므로 × × × 따라서 × 정답 ④ 10. 출제의도 : 여사건의 확률을 이용하 여 확률을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 꺼낸 개의 공 중에서 적어도 한 개가 검은 공인 사건을 라 하면 은 모두 흰 공인 사건이다. 따라서, P P 3 C C 정답 ⑤ 11. 출제의도 : 급수와 수열의 극한 사 이의 관계를 이용하여 등비수열의 극한 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 급수 ∞ 가 수렴하므로 lim →∞ 이다. 이라 하면 lim ∞ 이고 이므로 lim →∞ lim →∞ × 즉, 이므로 lim →∞ lim →∞ lim →∞ 정답 ③ 12. 출제의도 : 유리함수와 무리함수의 그래프를 그릴 수 있는가? 정답풀이 : 곡선 의 점근선은 직선 , 직선 이고, 일 때 이므로 그래프는 다음과 같다. 위 그림에서 두 곡선이 서로 다른 두 점 에서 만나려면 ≤이어야 함을 알 수 있다. 따라서 구하는 실수 의 최댓값은 정답 ① 13. 출제의도 : 등차수열에 관련된 문제 를 등차중항을 이용하여 해결할 수 있는 가? 정답풀이 : 에 대한 이차방정식 을 풀면 또는 한편, 세 수 가 등차수열을 이루 므로 ------㉠ 이때, 다음 각 경우로 나눌 수 있다. 4 (ⅰ) 이고 인 경우 이때, 이므로 또, ㉠에서 그러므로 조건을 만족시킨다. (ⅱ) 이고 이때, 이므로 또, ㉠에서 은 자연수가 아니므로 조건을 만족시키 지 못한다. 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 의 값은 이다. 정답 ③ 14. 출제의도 : 이항정리를 이용하여 미 지수의 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 의 전개식에서 의 계 수는 에서 의 계수 1과 의 전개식에서 의 계수를 곱한 것과 에서 의 계수 과 의 전개식에서 의 계수를 곱 한 것의 합과 같다. 의 전개식에서 일반항은 C C C 항은 , 즉, 이므로 의 계수는 C 항은 , 즉, 이므로 의 계수는 C 즉, 의 전개식에서 의 계수는 ×× 따라서 이므로 정답 ② 15. 출제의도 : 함수의 연속을 이해하고 있는가? 정답풀이 : 함수 는 에서만 불연속이고, 함 수 는 에서만 불연속이므로 함 수 가 , 에서만 연속 이면 실수 전체의 집합에서 연속이다. 만일 이면 × lim → × lim → × 이므로 함수 가 에서 불연 속이다. 즉, ≥이다. 이때 에서 함수 의 연속성 을 조사하면 5 lim → lim → × 이므로 함수 가 에서 연속 이려면 × 이어야 한다. 따라서 정답 ④ 16. 출제의도 : 확률을 확률의 정의와 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 구할 수 있는가? 정답풀이 : ××× 에서 ××× × 이므로 는 또는 또는 이다. 따라서, 구하는 확률은 정답 ① 17. 출제의도 : 등비급수의 합을 이용하 여 도형의 넓이에 대한 극한값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 그림 의 점 E에서 변 AB에 내린 수선의 발을 H라 하자. D A B C E F G H P Q ED DC × EH D A EF 라 놓으면 EF F G 이 므로 FG 즉, FH FG 직각삼각형 EFH에서 즉, 에서 이므로 FH 이고 AH 이므로 FA 삼각형 DPE과 삼각형 APF이 닮음 이고 DE , A F 이므로 닮음비는 즉, DP × , AP × EF EG이므로 삼각형 DPE과 삼각형 CQE이 합동 이고 삼각형 APF과 삼각형 BQG이 합동이므로 × ×× × ×× 그림 의 점 E에서 변 DC에 내린 수선의 발을 H이라 하자. 6 D A B C E F G H D C A B H P Q 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 라 놓으면 DH , EH 삼각형 EFH와 삼각형 EDH은 닮음 이므로 즉, 에서 정사각형 ABCD과 정사각형 ABCD의 닮음비는 따라서 lim →∞ 은 첫째항이 이고, 공 비가 인 등비급수이므로 lim →∞ 정답 ② 18. 출제의도 : 조건을 만족시키는 함수 에 대하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판 별할 수 있는가? 정답풀이 : (, , 는 상수) 라 하면 ′ 이때 함수 ≥ 이 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 , ′ 이어야 한다. 즉, , 이므로 ㄱ. ′ ′ (참) ㄴ. ′ 이므로 , 에서 극값을 갖는다. 만일 이면 함수 의 최솟값이 이므로 조건을 만족시키지 않는다. 즉, 이 므로 이다. 이때 이므로 (참) ㄷ. 함수 는 에서 최솟값을 갖고, 최솟값은 7 이므로 에서 즉, 따라서 이므로 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 정답 ⑤ 19. 출제의도 : 독립에 관련된 내용을 추론할 수 있는가? 정답풀이 : 는 번째 자리에 이하의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, 번째 자리를 제외한 개의 자리에 나머지 장 의 카드가 놓여 있는 사건이므로 P 이다. ∩ 은 번째 자리에 이하 의 자연수 중 하나가 적힌 카드가 놓여 있고, 번째 자리에 이하의 자연수 중 번째 자리에 놓인 카드에 적힌 수가 아닌 자연수가 적힌 카드가 놓여 있고, 번째와 번째 자리를 제외한 개의 자 리에 나머지 장의 카드가 놓여 있는 사 건이므로 P∩ × 이다. 한편, 두 사건 과 이 서로 독립이 기 위해서는 P∩ PP 을 만족시켜야 한다. 그러므로 × 이때, ≠이므로 또, 이므로 의 값은 ⋯ 따라서, 두 사건 과 이 서로 독립 이 되도록 하는 의 모든 순서쌍 은 ⋯ 이므로 그 개수는 이다. 이때, (가)에 알맞은 식은 이므로 또, (나)에 알맞은 식은 이므로 8 × 또, 따라서, ×× × × 정답 ④ 20. 출제의도 : 함수의 극한의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 다항함수를 찾을 수 있는가? 정답풀이 : (ⅰ) 일 때, lim →∞ , lim → 를 만족시키려면 (는 상수) 의 꼴이어야 한다. 이때 lim → lim → 이므로 즉, 이므로 (ⅱ) 일 때, lim →∞ , lim → 를 만족시키려면 (는 상수) 의 꼴이어야 한다. 이때 lim → lim → 이므로 즉, 이므로 (ⅲ) ≥일 때, lim →∞ , lim → 를 만족시키려면 (는 상수) 의 꼴이어야 한다. 이때 lim → lim → 이므로 즉, 이므로 (ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 구하는 의 최댓 값은 정답 ③ 21. 출제의도 : 조건을 만족시키는 함수 를 추론하여 문제를 해결할 수 있는 가? 정답풀이 : 조건 (나)에서 모든 실수 에 대하여 이므로 ≤ ≤에서의 함수 의 그래 9 프는 ≤ ≤에서의 함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프와 같다. 또한 모든 실수 에 대 하여 이므로 ≤ ≤에 서의 함수 의 그래프는 ≤ ≤에서의 함수 의 그래 프를 축의 방향으로 만큼 평행이동 시 킨 그래프와 같다. 이와 마찬가지로 정 수 에 대하여 ≤ ≤에서의 함수 의 그래프는 ≤ ≤에 서의 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행 이동시킨 그래프 와 같다. 한편, 에서 이고 에서 이므로 즉, 함수 의 치역은 실수 전체의 집합에서 함수 ∘가 상수함수이려면 을 만족시켜야 한다. 즉, 연속인 세 정수에 대하여 함수 의 값이 같은 경우는 다음과 같다. (i) ∘ 가 되는 경우 ≤ 이고 ≤ 는 정수) 즉, ≤≤ 는 정수) 이면 이므로 조건을 만족 시키는 자연수 은 존재하지 않는다. 이면 ≤≤이므로 조건을 만 족시키는 자연수 은 에서 ≥ 이므로 ≤≤이면 ≤≤ 는 정수)이므로 조건을 만족시키는 이하 의 자연수 은 , , 이면 이므로 조건을 만족 시키는 이하의 자연수 은 존재하지 않는다. (ii) ∘ 이 되는 경우 ≤이고 ≤ 는 정 수) 즉, ≤≤에서 는 정수) ≤ ≤에서 ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ 즉, 조건을 만족시키는 이하의 자연 수 의 개수는 , , , , , , , 의 (i), (ii)에서 조건을 만족시키는 이하의 자연수 의 개수는 × 정답 ① 22. 출제의도 : 조합의 수를 조합의 성 질을 이용하여 계산할 수 있는가? 정답풀이 : C C C × × 정답 23. 출제의도 : 유리함수의 그래프의 성 10 질을 이용하여 미지수를 구할 수 있는 가? 정답풀이 : 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행 이동시킨 그래프는 함수 즉, 함수 의 그래프 와 같다. 이 그래프가 점 를 지나므로 정답 24. 출제의도 : 등비수열의 합을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 등비수열 의 공비를 라 하면 에서 이므로 따라서 × 정답 25. 출제의도 : 미분을 이용하여 가속도 를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 점 P의 시각 에서의 위치가 이므로 시각 에서의 속도를 라 하면 또, 시각 에서의 가속도를 라 하면 따라서, 에서의 가속도는 × 정답 26. 출제의도 : 집합의 연산, 두 집합 사 이의 포함관계를 이용하여 주어진 조건 을 만족시키는 집합의 개수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 이므로 또는 즉, 이므로 ∅이므로 ⊂ 이므로 집합 는 집합 의 원소의 개수가 2인 부분 집합이다. 즉, 조건을 만족시키는 집합 의 개수는 집합 의 원소 , , , 중 2개 의 원소를 택하는 경우의 수 C × 과 같다. 따라서 조건을 만족시키는 집합 의 개 수는 정답 6 27. 출제의도 : 도함수를 이용하여 부등 식이 항상 성립하도록 하는 실수 의 최 댓값을 구할 수 있는가? 11 정답풀이 : 라 하면 이고, 닫힌 구간 에서 ≥ 이므로 ≥이어야 한다. 이때 ′ 이므로 닫힌 구간 에서 함수 의 증가, 감소를 조사하면 함수 는 에서 극소이면서 최소임을 알 수 있다. 즉, 닫힌 구간 에서 함수 의 최솟값은 이므로 닫힌 구간 에서 ≥ 이려면 ≥ 즉, ≤이어야 한다. 따라서 구하는 의 최댓값은 정답 28. 출제의도 : 등비수열의 일반항과 등 비수열의 합을 이용하여 특정 항의 값을 구할 수 있는가? 정답풀이 : 등비수열 의 공비를 (는 정수)라 하면 첫째항이 이므로 , 이므로 조건 (가)에서 ≤ 즉, ≤ 에서 이므로 또는 ----㉠ ≤에서 ≤이므로 ≤ ≤ ----㉡ ㉠, ㉡에서 ≤ 또는 ≤ 는 정수이므로 또는 i 인 경우 조건 (나)에서 × 에서 , 이때 를 만족시키는 의 값은 존재하지 않는다. ii 인 경우 조건 (나)에서 × 에서 즉, 이므로 , ii에 의하여 , 이므로 × 정답 29. 출제의도 : 중복조합의 수를 이용하 12 여 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 조건 (가)에 의하여 ≤ , ≤ 이고, 조건 (나)에 의하여 ≤ 이므로 ≤ ≤ ≤ ≤ 이때 ′, ′이라 하면 ≤ ≤ ′ ≤ ′ ≤ ⋯⋯㉠ 이고 주어진 조건을 만족시키는 음이 아 닌 정수 , , 의 모든 순서쌍 의 개수는 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수 , ′, ′의 모든 순 서쌍 ′ ′의 개수와 같다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 , , , ⋯, 의 개에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 H C C ×× ×× 정답 30. 출제의도 : 조건을 만족시키는 유리 함수와 삼차함수를 구할 수 있는가? 정답풀이 : 일 때, 함수 는 이 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 것이다. 그러므로 의 부호에 따라 나누면 다 음과 같다. (ⅰ) 즉, 일 때, O 이때, 직선 가 일 때는 곡선 와 만나지 않는다. 또, 가 충분히 크면 삼차함수 의 그래프와는 직선 와 한 점에서 13 만난다. 그러므로 조건을 만족시키지 못한다. (ⅱ) 즉, 일 때, 이 경우에도 직선 가 이고 충 분히 크면 직선 와 삼차함수 의 그래프와 한 점에서만 만난 다. 그러므로 조건을 만족시키지 못한다. (ⅲ) 즉, 일 때, 조건을 만족시키려면 유리함수 의 그래프의 점근선은 이어야 한다. 즉, 또, 삼차함수 의 그래프는 두 직 선 , 에 접하고 ≤이 어야 한다. O 이때, 삼차함수 의 최고차항이 이 므로 로 놓으면 ′ 이때, ′ 에서 또는 이때, 함수 는 에서 극솟 값 을 가져야 하므로 그러므로 따라서, ≥ 이므로 ∘ 정답
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