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고3 수능
2018.11.19 19:24

2019 수능 수학 문제 해설

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 2019학년도 대학수학능력시험 문제 및 정답 1 12 5지선다형 1. 두 벡터     ,     에 대하여 벡터    의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →  ln   의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④   ⑤  3. 좌표공간의 두 점 A  , B  에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 사건  , 에 대하여 와  은 서로 배반사건이고 P    , P ∩     일 때, P 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2019학년도 대학수학능력시험 문제지 제 2 교시 1 홀수형 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 홀수형 2 12 5. 함수    의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프가 함수   log 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프와 직선   에 대하여 대칭일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 초점이 F인 포물선    위의 점 P 에 대하여  PF 일 때, 점 P 의 좌표는? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  7. 곡선     위의 점  에서의 접선의 기울기는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 3 3 12 8. 확률변수  가 이항분포 B    을 따르고 E   V 를 만족시킬 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수        의 역함수를 라 할 때,  ′의 값은? [3점] ①     ②   ③     ④    ⑤    10. 주머니 속에 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 구슬 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬에 적힌 두 자연수가 서로소일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 홀수형 4 12 11. ≤   일 때, 에 대한 이차방정식   cossin   이 실근을 갖지 않도록 하는 모든  의 값의 범위는     이다. 의 값은? [3점] ①    ②  ③    ④    ⑤    12. 네 명의 학생 A , B , C , D 에게 같은 종류의 초콜릿 개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? [3점] (가) 각 학생은 적어도 개의 초콜릿을 받는다. (나) 학생 A 는 학생 B 보다 더 많은 초콜릿을 받는다. ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 5 5 12 13. 좌표공간에서 점   를 지나고 직선       을 포함하는 평면이 축과 만나는 점의 좌표는? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   14. 이차함수   의 그래프와 일차함수   의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식     ≥     을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 홀수형 6 12 15. 어느 회사 직원들의 어느 날의 출근 시간은 평균이 분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 날 출근 시간이 분 이상인 직원들 중에서 %, 분 미만인 직원들 중에서 %가 지하철을 이용하였고, 나머지 직원들은 다른 교통수단을 이용하였다. 이 날 출근한 이 회사 직원들 중 임의로 선택한 명이 지하철을 이용하였을 확률은? (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P ≤ ≤   로 계산한다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16.   에서 정의된 연속함수 가 모든 양수 에 대하여                 을 만족시킬 때,    의 값은? [4점] ①  ln    ②  ln    ③  ln  ④  ln  ⑤  ln    이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 7 7 12 17. 다음은 집합        과 함수    → 에 대하여 합성함수 ∘의 치역의 원소의 개수가 인 함수 의 개수를 구하는 과정이다. 함수 와 함수 ∘의 치역을 각각  와  라 하자.   이면 함수 는 일대일 대응이고, 함수 ∘도 일대일 대응이므로    이다. 또한 ≤ 이면  ⊂ 이므로  ≤ 이다. 그러므로    , 즉    인 경우만 생각하면 된다. (i)   인  의 부분집합  를 선택하는 경우의 수는 (가) 이다. (ii) (i)에서 선택한 집합 에 대하여,  의 원소 중  에 속하지 않는 원소를 라 하자.   이므로 집합  에서 를 선택하는 경우의 수는 (나) 이다. (iii) (i)에서 선택한           와 (ii)에서 선택한 에 대하여, ∈ 이며    이므로             ⋯ (*) 이다. (*)을 만족시키는 경우의 수는 집합  에서 집합 로의 일대일 대응의 개수와 같으므로 (다) 이다. 따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 함수 의 개수는 (가) × (나) × (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각  ,  , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이  AB  , ∠B    인 직각삼각형 ABC 에서 ∠C 를 이등분하는 직선과 선분 AB 의 교점을 D , 중심이 A 이고 반지름의 길이가 AD인 원과 선분 AC 의 교점을 E 라 하자. ∠A   일 때, 부채꼴 ADE 의 넓이를  , 삼각형 BCE 의 넓이를 라 하자. lim →     의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 홀수형 8 12 19. 한 변의 길이가 인 정삼각형 BCD 를 한 면으로 하는 사면체 ABCD 의 꼭짓점 A 에서 평면 BCD 에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 점 H 는 삼각형 BCD 의 내부에 놓여 있다. 삼각형 CDH 의 넓이는 삼각형 BCH 의 넓이의 배, 삼각형 DBH 의 넓이는 삼각형 BCH 의 넓이의 배이고 AH 이다. 선분 BD 의 중점을 M, 점 A 에서 선분 CM에 내린 수선의 발을 Q 라 할 때, 선분 AQ 의 길이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 점      에서 곡선   sin   에 접선을 그어 접점의 좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, 번째 수를  이라 하자. 모든 자연수 에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. tan      ㄴ. tan  tan   ㄷ.         ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 9 9 12 21. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은? [4점] (가) 모든 실수 에 대하여  ′   ′이다. (나)       ,    ①    ②    ③    ④    ⑤    단답형 22.  P   C 의 값을 구하시오. [3점] 23. tan  일 때, sec  의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 홀수형 10 12 24. 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 (≥)에서의 위치  가   cos,     sin 이다. 점 P의 속력이 최대일 때, 점 P의 가속도의 크기를 구하시오. [3점] 25.   cos 의 값을 구하시오. [3점] 26. 어느 지역 주민들의 하루 여가 활동 시간은 평균이 분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역 주민 중 명을 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 분일 때, 모평균 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이 ≤≤이다. 이 지역 주민 중 명을 다시 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 분일 때, 모평균 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이 ≤≤이다.   을 만족시키는 의 값을 구하시오. (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P  ≤     , P  ≤    로 계산한다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 11 11 12 27. 한 개의 주사위를 한 번 던진다. 홀수의 눈이 나오는 사건을  ,  이하의 자연수 에 대하여 의 약수의 눈이 나오는 사건을  라 하자. 두 사건  와  가 서로 독립이 되도록 하는 모든 의 값의 합을 구하시오. [4점] 28. 두 초점이 F , F′ 인 타원       이 있다. 원        위의 점 P 에 대하여 직선 F′P 가 이 타원과 만나는 점 중 좌표가 양수인 점을 Q 라 하자. PQ FQ의 최댓값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 홀수형 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 12 12 29. 좌표평면에서 넓이가 인 삼각형 ABC 의 세 변 AB , BC, CA 위를 움직이는 점을 각각 P , Q , R 라 할 때,  AX     AP AR      AQ 를 만족시키는 점 X 가 나타내는 영역의 넓이가    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 30. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 에 대하여 함수    sin  이   에서 극대 또는 극소이고, ≥인 모든 를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을  ,  ,  ,  ,  , ⋯ 라 할 때, 는 다음 조건을 만족시킨다. (가)   이고      이다. (나)              ′      라 할 때,  의 값을 구하시오. (단,       ) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.  2019학년도 대학수학능력시험 문제 및 정답 1 12 5지선다형 1.   ×   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 두 집합      ,     에 대하여    일 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 그림은 함수    →  를 나타낸 것이다. ∘의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2019학년도 대학수학능력시험 문제지 제 2 교시 1 홀수형 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 2 홀수형 2 12 5. 첫째항이 인 등차수열 에 대하여      일 때,  의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 다항식   의 전개식에서   의 계수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수   의 그래프가 그림과 같다. lim →    lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 3 3 12 8. 두 사건  , 에 대하여  와  은 서로 배반사건이고 P    , P ∩     일 때, P 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 함수    의 극댓값이 일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 연속확률변수 가 갖는 값의 범위는  ≤ ≤ 이고,  의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같을 때, P  ≤ ≤  의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 4 홀수형 4 12 11. 실수 에 대한 두 조건  , 가 다음과 같다.       ,   ≤ ∼가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 어느 마을에서 수확하는 수박의 무게는 평균이 kg, 표준편차가  kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 마을에서 수확한 수박 중에서 개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 이 마을에서 수확하는 수박의 무게의 평균 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간을 구하면 ≤≤이다. 의 값은? (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P  ≤   로 계산한다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 5 5 12 13. 수열 은   이고, 모든 자연수 에 대하여           이 홀수인 경우  이 짝수인 경우 를 만족시킨다.       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 다항함수 가 모든 실수 에 대하여            를 만족시킬 때, ′의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 6 홀수형 6 12 15.  이상의 자연수 에 대하여 log의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 의 값의 합은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 그림과 같이  OA  ,  OB  인 직각삼각형 OAB 이 있다. 중심이 O이고 반지름의 길이가  OA 인 원이 선분 OB 과 만나는 점을 B 라 하자. 삼각형 OAB 의 내부와 부채꼴 OAB 의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 점 B 를 지나고 선분 AB 에 평행한 직선이 선분 OA 과 만나는 점을 A , 중심이 O이고 반지름의 길이가 OA  인 원이 선분 OB 와 만나는 점을 B 이라 하자. 삼각형 OAB 의 내부와 부채꼴 OAB 의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④  ⑤    이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 7 7 12 17. 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여   이다. (나)      함수   의 그래프와 축 및 두 직선    ,   로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 좌표평면의 원점에 점 A가 있다. 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다. 동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 점 A를 축의 양의 방향으로 만큼, 뒷면이 나오면 점 A를 축의 양의 방향으로 만큼 이동시킨다. 위의 시행을 반복하여 점 A 의 좌표 또는 좌표가 처음으로 이 되면 이 시행을 멈춘다. 점 A 의 좌표가 처음으로 이 되었을 때, 점 A 의 좌표가 일 확률은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 8 홀수형 8 12 19. 다음은 집합        과 함수    → 에 대하여 합성함수 ∘의 치역의 원소의 개수가 인 함수 의 개수를 구하는 과정이다. 함수 와 함수 ∘의 치역을 각각  와  라 하자.   이면 함수 는 일대일 대응이고, 함수 ∘도 일대일 대응이므로    이다. 또한 ≤ 이면  ⊂ 이므로  ≤ 이다. 그러므로    , 즉    인 경우만 생각하면 된다. (i)   인  의 부분집합  를 선택하는 경우의 수는 (가) 이다. (ii) (i)에서 선택한 집합 에 대하여,  의 원소 중  에 속하지 않는 원소를 라 하자.   이므로 집합  에서 를 선택하는 경우의 수는 (나) 이다. (iii) (i)에서 선택한           와 (ii)에서 선택한 에 대하여, ∈ 이며    이므로             ⋯ (*) 이다. (*)을 만족시키는 경우의 수는 집합  에서 집합 로의 일대일 대응의 개수와 같으므로 (다) 이다. 따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 함수 의 개수는 (가) × (나) × (다) 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각  ,  , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 함수           의 그래프와 축, 축과의 교점을 각각 A , B 라 하자. 이 그래프의 두 점근선의 교점과 점 B 를 지나는 직선이 이 그래프와 만나는 점 중 B 가 아닌 점을 P , 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 Q 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ.   일 때, 점 P 의 좌표는  이다. ㄴ.     인 실수 에 대하여 직선 AB 의 기울기와 직선 AP의 기울기의 합은 이다. ㄷ. 사각형 PBAQ 의 넓이가 자연수일 때, 직선 BP 의 기울기는 과  사이의 값이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 9 9 12 21. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여   이다. (나)    이 자연수일 때, 의 최솟값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. P  C의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수     에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 10 홀수형 10 12 24. 첫째항이 인 등비수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을  이라 하자.        일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 25.    의 값을 구하시오. [3점] 26. 함수     의 그래프와 함수    의 그래프가 만나도록 하는 실수 의 최댓값을 구하시오. [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 홀수형 11 11 12 27. 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각  ≥에서의 위치 가          (는 상수) 이다. 점 P 의 가속도가 일 때 점 P 의 위치는 이다. 의 값을 구하시오. [4점] 28. 숫자  ,  ,  , 가 하나씩 적혀 있는 흰 공 개와 숫자  ,  , 이 하나씩 적혀 있는 검은 공 개가 있다. 이 개의 공을 임의로 일렬로 나열할 때, 같은 숫자가 적혀 있는 공이 서로 이웃하지 않게 나열될 확률은    이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 12 홀수형 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 12 12 29. 첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 이 다음 조건을 만족시킬 때,   의 값을 구하시오. [4점] (가)          (나)          (다)         30. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 와 최고차항의 계수가 인 이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선    위의 점  에서의 접선과 곡선    위의 점  에서의 접선은 모두 축이다. (나) 점  에서 곡선   에 그은 접선의 개수는 이다. (다) 방정식   는 오직 하나의 실근을 가진다.   인 모든 실수 에 대하여 ≤≤ 를 만족시키는 실수 의 최댓값과 최솟값을 각각 , 라 할 때,    이다.    의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.) [4점] 이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.

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