2019 9월 모의평가 수학 문제 해설 - 2019.9.4.

 

수학 가형 문제(2019-09-05 / 421.2KB / 93회)

 

수학 가형 해설(2019-09-05 / 201.8KB / 99회)

 

수학 나형 문제(2019-09-05 / 437.3KB / 126회)

 

수학 나형 해설(2019-09-05 / 174.1KB / 119회)

 

 1 12 5지선다형 1. 두 벡터     ,     에 대하여 벡터      의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 좌표공간의 두 점 A  , B  에 대하여 선분 AB 를   로 외분하는 점이 축 위에 있을 때, 의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 다음 조건을 만족시키는 두 자리의 자연수의 개수는? [3점] (가) 의 배수이다. (나) 십의 자리의 수는 의 약수이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  2020학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 2 2 12 5. 두 사건  ,  에 대하여 P     , P     , P∩     일 때, P   의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 곡선   cossin 위의 점     에서의 접선의 기울기는? [3점] ①     ②  ③     ④  ⑤    7. 다항식     의 전개식에서 의 계수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3 3 12 8. 함수     ln 에 대하여 lim →    의 값은? [3점] ①    ②     ③    ④     ⑤     9.      인  에 대하여 cos     일 때, csc의 값은? [3점] ①    ②    ③    ④   ⑤   10. 부터 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 개의 수를 선택한다. 선택된 개의 수의 곱을 , 선택되지 않은 개의 수의 곱을 라 할 때, 와 가 모두 짝수일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4 4 12 11. 함수     의 극댓값과 극솟값을 각각 , 라 할 때, ×의 값은? [3점] ①  ②  ③    ④     ⑤     12. 확률변수  가 평균이 , 표준편차가   인 정규분포를 따르고 P ≤      일 때, 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 의 값을 구한 것은? [3점] ①   ②   ③  ④   ⑤    P ≤ ≤          5 5 12 13. 양수 에 대하여 두 곡선     ,     가 점 P에서 만나고, 점 P에서 두 곡선에 접하는 두 직선이 서로 수직일 때, 의 값은? [3점] ①   ②    ③    ④    ⑤    14. 그림과 같이 양수 에 대하여 함수       의 그래프와 축 및 두 직선      ,       로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형인 입체도형의 부피가   일 때, 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6 6 12 15. 함수    의 그래프 위의 좌표가 양수인 점 A 와 함수   ln의 그래프 위의 점 B 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) OA   OB (나) ∠AOB  ° 직선 OA 의 기울기는? (단, O는 원점이다.) [4점] ①  ② ln  ③ ln  ④ ln  ⑤    16. 좌표공간에 네 점 A  , B  , C  , D      가 있다. 선분 CD 를   로 내분하는 점을 E 라 할 때, 선분 AE 의 평면 ABC 위로의 정사영의 길이는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7 7 12 17. 두 함수 , 는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 에 대하여     이다. (나)      ′       의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 빨간색 공 개, 파란색 공 개, 노란색 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내는 시행을 하여, 다음 규칙에 따라 세 사람 A , B , C 가 점수를 얻는다. (단, 한 번 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣지 않는다.) ∙ 빨간색 공이 나오면 A 는 점, B 는 점, C 는 점을 얻는다. ∙ 파란색 공이 나오면 A 는 점, B 는 점, C 는 점을 얻는다. ∙ 노란색 공이 나오면 A 는 점, B 는 점, C 는 점을 얻는다. 이 시행을 계속하여 얻은 점수의 합이 처음으로 점 이상인 사람이 나오면 시행을 멈춘다. 다음은 얻은 점수의 합이 점 이상인 사람이 A뿐일 확률을 구하는 과정이다. 꺼낸 빨간색 공의 개수를  , 파란색 공의 개수를  , 노란색 공의 개수를  라 할 때, 얻은 점수의 합이 점 이상인 사람이 A뿐이기 위해서는  ,  ,  가 다음 조건을 만족시켜야 한다.    ,      ,      , ≥ 이 조건을 만족시키는 순서쌍   는   ,   ,    이다. (ⅰ)     인 경우의 확률은 (가) 이다. (ⅱ)     인 경우의 확률은 (가) 이다. (ⅲ)     인 경우는 번째 시행에서 빨간색 공이 나와야 하므로 그 확률은 (나) 이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은 × (가)  (나) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각  , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   8 8 12 19. 좌표평면 위에 두 점 A , B 이 있다. 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 의 호 AB 위를 움직이는 점 X와 함수      ≤≤의 그래프 위를 움직이는 점 Y에 대하여  OP  OY  OX 를 만족시키는 점 P가 나타내는 영역을  라 하자. 점 O로부터 영역  에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,  의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가   인 부채꼴 OAB 가 있다. 호 AB 위의 점 P에서 선분 OA 에 내린 수선의 발을 H , 점 P에서 호 AB 에 접하는 직선과 직선 OA 의 교점을 Q 라 하자. 점 Q 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 QA인 원과 선분 PQ 의 교점을 R 라 하자. ∠POA   일 때, 삼각형 OHP의 넓이를 , 부채꼴 QRA 의 넓이를 라 하자. lim →  ×   의 값은? (단,       ) [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤   9 9 12 21. 좌표평면에서 두 점 A , B 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 직사각형의 넓이의 최댓값은? [4점] 직사각형 위를 움직이는 점 P 에 대하여 PAPB의 값은 점 P 의 좌표가  일 때 최대이고       일 때 최소이다. ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 확률변수  가 이항분포 B    을 따르고 V   일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 23. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각   에서의 위치  가         ,      이다. 시각   에서의 점 P의 속도가     일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 상수이다.) [3점] 10 10 12 24. 정의역이          인 함수   tan의 역함수를 라 할 때, × ′의 값을 구하시오. [3점] 25. 어느 고등학교에서 인 미디어 방송을 시청한 경험이 있는 학생의 비율을 알아보기 위하여 이 고등학교 학생 중 명을 임의추출하여 조사한 결과 %가 시청한 경험이 있다고 답하였다. 이 결과를 이용하여 구한 이 고등학교 학생 전체의 인 미디어 방송을 시청한 경험이 있는 학생의 비율 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이 ≤≤이다.   일 때, 의 값을 구하시오. (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P  ≤    로 계산한다.) [3점] 26. 함수   sin 의 그래프가 오직 하나의 변곡점을 가지도록 하는 실수 의 최댓값을 구하시오. [4점] 11 11 12 27. 초점이 F인 포물선    위에 서로 다른 두 점 A , B 가 있다. 두 점 A , B 의 좌표는 보다 큰 자연수이고 삼각형 AFB 의 무게중심의 좌표가 일 때,  AF ×  BF 의 최댓값을 구하시오. [4점] 28. 연필 자루와 볼펜 자루를 다음 조건을 만족시키도록 여학생 명과 남학생 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.) [4점] (가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고, 남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다. (나) 여학생은 연필을 자루 이상 받고, 볼펜을 받지 못하는 여학생이 있을 수 있다. (다) 남학생은 볼펜을 자루 이상 받고, 연필을 받지 못하는 남학생이 있을 수 있다. 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 12 12 29. 좌표공간에서 원점 O 와 점 A  에 대하여 평면     위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  OP 는  이하의 자연수이다. (나)  OA⋅ AP    AP⋅ OP 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,  의 값을 구하시오. [4점] 30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 모든 실수 에 대하여 ′    sin 을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [4점] 1 12 5지선다형 1.  ÷   의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. 자연수 전체의 집합의 두 부분집합     ,     에 대하여 ∩   이 되도록 하는 모든 의 값의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 그림은 두 함수    → ,    →  를 나타낸 것이다. ∘의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 실수 에 대한 두 조건  , 가 다음과 같다.   ≤  ,      가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2020학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지 제 2 교시 1 2 2 12 5. 다음 조건을 만족시키는 두 자리의 자연수의 개수는? [3점] (가) 의 배수이다. (나) 십의 자리의 수는 의 약수이다. ①  ②  ③  ④  ⑤  6.    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 등차수열 에 대하여     ,     일 때,  을 만족시키는 자연수 의 최솟값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3 3 12 8. 두 사건  ,  에 대하여 P     , P∪     일 때, P   의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. 정의역이     인 함수     의 그래프가 오직 하나의 사분면을 지나도록 하는 실수 의 최댓값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 모든 항이 양수인 수열 이 모든 자연수 에 대하여 부등식        를 만족시킬 때, lim →∞   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 4 12 11. 이 아닌 실수 에 대하여 함수      의 그래프가 점  를 지나고 두 점근선의 교점의 좌표가  일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12.                의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  5 5 12 13. 확률변수  가 평균이 , 표준편차가   인 정규분포를 따르고 P ≤      일 때, 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 의 값을 구한 것은? [3점] ①   ②   ③  ④   ⑤   14. 다음 조건을 만족시키는 좌표평면 위의 점   중에서 임의로 서로 다른 두 점을 선택할 때, 선택된 두 점 사이의 거리가 보다 클 확률은? [4점] (가) , 는 자연수이다. (나) ≤≤ , ≤≤ ①   ②   ③   ④   ⑤    P ≤ ≤          6 6 12 15. 함수    에 대하여 두 곡선   ,   로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 다항함수 가 lim →∞     , lim →        를 만족시킨다. ≤ 일 때, 의 최댓값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7 7 12 17. 함수      의 극댓값이 이고   일 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 중심이 O , 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 °인 부채꼴 OAB 가 있다. 선분 OA의 중점을 C , 선분 OB 의 중점을 D 라 하자. 점 C 를 지나고 선분 OB 와 평행한 직선이 호 AB 와 만나는 점을 E , 점 D 를 지나고 선분 OA 와 평행한 직선이 호 AB 와 만나는 점을 F라 하자. 선분 CE 와 선분 DF가 만나는 점을 G , 선분 OE 와 선분 DG 가 만나는 점을 H , 선분 OF와 선분 CG 가 만나는 점을 I라 하자. 사각형 OIGH 를 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에 중심이 C , 반지름의 길이가  CI, 중심각의 크기가 °인 부채꼴 CJI와 중심이 D , 반지름의 길이가  DH , 중심각의 크기가 °인 부채꼴 DHK 를 그린다. 두 부채꼴 CJI, DHK에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①    ②    ③    ④    ⑤    8 8 12 19. 함수     에 대하여 lim →∞             의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  20. 빨간색 공 개, 파란색 공 개, 노란색 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내는 시행을 하여, 다음 규칙에 따라 세 사람 A , B , C 가 점수를 얻는다. (단, 한 번 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣지 않는다.) ∙ 빨간색 공이 나오면 A 는 점, B 는 점, C 는 점을 얻는다. ∙ 파란색 공이 나오면 A 는 점, B 는 점, C 는 점을 얻는다. ∙ 노란색 공이 나오면 A 는 점, B 는 점, C 는 점을 얻는다. 이 시행을 계속하여 얻은 점수의 합이 처음으로 점 이상인 사람이 나오면 시행을 멈춘다. 다음은 얻은 점수의 합이 점 이상인 사람이 A뿐일 확률을 구하는 과정이다. 꺼낸 빨간색 공의 개수를  , 파란색 공의 개수를  , 노란색 공의 개수를  라 할 때, 얻은 점수의 합이 점 이상인 사람이 A뿐이기 위해서는  ,  ,  가 다음 조건을 만족시켜야 한다.    ,      ,      , ≥ 이 조건을 만족시키는 순서쌍   는   ,   ,    이다. (ⅰ)     인 경우의 확률은 (가) 이다. (ⅱ)     인 경우의 확률은 (가) 이다. (ⅲ)     인 경우는 번째 시행에서 빨간색 공이 나와야 하므로 그 확률은 (나) 이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은 × (가)  (나) 이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각  , 라 할 때, 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9 9 12 21. 함수     에 대하여 함수 를   ′ 라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, , 는 상수이다.) [4점] <보 기> ㄱ. 함수 가 이면 ′  이다. ㄴ. 함수 가   에서 극값 을 가지면     이다. ㄷ.   이면 방정식   은 열린 구간  에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. C 의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수 가   에서 연속이고 lim →    , lim →    를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [3점] 10 10 12 24. 수열 이 모든 자연수 에 대하여      을 만족시킨다.   일 때,  의 값을 구하시오. [3점] 25. 어느 음식점을 방문한 고객의 주문 대기 시간은 평균이 분, 표준편차가 분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 음식점을 방문한 고객 중 명을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 이 음식점을 방문한 고객의 주문 대기 시간의 평균 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간을 구하면 ≤≤이다.   일 때, 의 값을 구하시오. (단,  가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P  ≤   로 계산한다.) [3점] 26. 이 자연수일 때, 에 대한 이차방정식       의 두 근을  ,  이라 하자.            의 값을 구하시오. [4점] 11 11 12 27. 곡선     과 직선   가 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 의 값의 곱을 구하시오. [4점] 28. 네 양수 ,  ,  ,  가 다음 조건을 만족시킬 때,  의 값을 구하시오. [4점] (가)       (나) log   loglog 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 12 12 29. 연필 자루와 볼펜 자루를 다음 조건을 만족시키도록 여학생 명과 남학생 명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 연필끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.) [4점] (가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고, 남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다. (나) 여학생은 연필을 자루 이상 받고, 볼펜을 받지 못하는 여학생이 있을 수 있다. (다) 남학생은 볼펜을 자루 이상 받고, 연필을 받지 못하는 남학생이 있을 수 있다. 30. 최고차항의 계수가 인 사차함수 에 대하여 네 개의 수 , , , 가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선    위의 점  에서의 접선과 점  에서의 접선이 점  에서 만난다.  일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.) [4점]