2018 4월 학력평가 수학 문제 해설 - 2018.4.11.

 

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수학나형문제(2018-04-15 / 383.8KB / 132회)

 

수학나형해설(2018-04-15 / 303.6KB / 138회)

 

 1 12 1. lim →     의 값은? [2점] ①   ②   ③  ④   ⑤   2. 반지름의 길이가 , 중심각의 크기가   인 부채꼴의 호의 길이는?  [2점] ①   ②   ③    ④  ⑤    3. 쌍곡선         의 점근선의 방정식이   ,   이다. 양수 의 값은? [2점] ①   ②   ③   ④   ⑤  4. 닫힌 구간    에서 함수      의 최솟값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 제 2 교시  수학 영역(가형) 2 12 5.    cos  의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   6. 곡선     ln의 변곡점의 좌표는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 자연수 의 분할 중  이하의 자연수의 합으로 나타내어지는 분할의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 3 12 8. 곡선      위의 점  에서의 접선의 기울기는?  [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   9. ≤  에서 부등식 sin  의 해가     일 때, cos의 값은? [3점] ①    ②    ③  ④   ⑤   10.         의 전개식에서   의 계수가 일 때, 양수 의 값은?  [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 4 12 11. 함수    sin에 대하여 함수 를  ∘라 할 때, ′의 값은? [3점] ①  ②    ③    ④    ⑤    12. 좌표평면 위에 두 점 F  , F′ (  )을 초점으로 하고 점 A 을 지나는 타원  가 있다. 두 점 A, F′을 지나는 직선이 타원  와 만나는 점 중 점 A가 아닌 점을 B라 하자. 삼각형 ABF의 둘레의 길이가 일 때, 선분 FF′의 길이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(가형) 5 12 13. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 의 도함수  ′가  ′      ln    이다.  일 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 그림과 같이   인 실수 에 대하여 두 곡선   log과    이 서로 다른 두 점 A, B에서 만난다. 점 A가 축 위에 있고 삼각형 OAB의 넓이가   일 때, 선분 AB의 중점은 M 이다. 의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점] O A B   log       ①   ②  ③   ④  ⑤   수학 영역(가형) 6 12 15. 곡선      과 두 직선   ,    및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를  라 하자. 곡선      과 두 직선   ,    및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이가  가 되도록 하는 모든 양수 의 값의 합은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   16. 그림과 같이 곡선      위의 두 점 A   , B     에서의 접선을 각각 , 이라 하자. 두 직선 과 이 이루는 예각의 크기가   일 때, 두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기는? (단,   ) [4점] O           A B ①  ln   ② ln  ③  ln   ④ ln  ⑤  ln  수학 영역(가형) 7 12 17.   인 실수 에 대하여 두 곡선     과    이 만나는 점의 좌표를 라 할 때, lim →  의 값은? [4점] ①     ②   ③  ④  ⑤   18. 그림과 같이 포물선    에 대하여 포물선의 준선 위의 한 점 A가 제사분면에 있다. 점 A에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과 포물선이 만나는 점을 B, 점 B에서 준선에 내린 수선의 발을 H, 준선과 축이 만나는 점을 C라 하자.  AC×  CH 일 때, 삼각형 ABH의 넓이는? [4점] O C       A B H ①  ②    ③    ④  ⑤    수학 영역(가형) 8 12 19. 다음은 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 세 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수를 구하는 과정이다. (단, ≥)  주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우는 ‘(ⅰ) 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우’에서 ‘(ⅱ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우’와 ‘(ⅲ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우’를 제외하면 된다. (ⅰ)의 경우 :  개의 공이 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우의 수는 C이다. (ⅱ)의 경우 :  주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두 연속되는 경우의 수는  이다. (ⅲ)의 경우 :  연속되는 두 수 중 하나가 인 경우의 수는 가 이고, 마찬가지로 연속되는 두 수 중 하나가 인 경우의 수도 가 이다. 또한 연속되는 두 수 중 어느 하나도 과 이 아닌 경우의 수는 나 이다. 따라서 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 두 수만 연속되는 경우의 수는  ×  가  나 이다.  (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 개의 공이 들어 있는 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수는 다 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 , , 이라 할 때,  ×  의 값은? [4점] ①   ②  ③   ④  ⑤   20. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 P, Q를 ∠PAB  , ∠QAB  가 되도록 잡는다. 선분 AB의 중점 O에 대하여 선분 OQ와 선분 AP가 만나는 점을 R라 하자. 호 PQ와 두 선분 QR, RP로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때, lim →  의 값은? (단,       ) [4점] O  P  Q A B R ①   ②   ③  ④   ⑤  수학 영역(가형) 9 12 21.      에서 정의된 미분가능한 함수 가  이고  ′       을 만족시킨다. 함수 의 역함수 가 존재하고 미분가능 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] 보 기 ㄱ. ′    ㄴ.         ㄷ.      ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단답형 22. 방정식 log  을 만족시키는 실수 의 값을 구하시오.  [3점] 23. 함수    에 대하여  ′의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(가형) 10 12 24. 좌표평면에서 곡선   sin   (≤≤) 위의 점 중 좌표가 정수인 점의 개수를 구하시오. [3점] 25. 함수       에 대하여 부등식  ′ 의 해가     일 때,    의 값을 구하시오. [3점] 26. 숫자 , , , , 에서 중복을 허락하여 개를 선택할 때, 짝수가 두 개가 되는 경우의 수를 구하시오. [4점] 수학 영역(가형) 11 12 27. 자연수 에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수      ln   의 최댓값을 이라 하자.      의 값을 구하시오. [4점] 28. 그림과 같이 두 초점이 F  , F′ (  )이고, 주축의 길이가 인 쌍곡선             과 점 A 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원  가 있다. 제사분면에 있는 쌍곡선 위를 움직이는 점 P와 원  위를 움직이는 점 Q에 대하여  PQ  PF′의 최솟값이 일 때,    의 값을 구하시오. (단, 와 는 상수이다.) [4점]              F P Q A   F′ O  수학 영역(가형) 12 12 29. 집합      에서 집합       로의 함수 중에서  (은 정수) 를 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오. [4점] 30. 함수      과 양의 실수 에 대하여 닫힌 구간   에서 함수 의 최댓값을 , 최솟값을 라 할 때, 두 함수 , 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 에 대하여  이다. (나) 양수 에 대하여 닫힌 구간   에 있는 임의의 실수 에 대해서만  가 성립한다. (다)     ×           일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 이 아닌 상수, 와 는 서로소인 자연수이고, lim→∞     이다.) [4점] ※ 확인 사항 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오. 1 12 1. 두 집합      ,     에 대하여 집합 ∩의 모든 원소의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2.     의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. P의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 수열 에 대하여         일 때,       의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 제 2 교시  수학 영역(나형) 2 12 5. 그림은 함수    →  를 나타낸 것이다.               의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 자연수 을 세 개의 자연수로 분할하는 방법의 수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 함수     의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프가 점   를 지날 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 3 12 8. 전체집합       의 부분집합    에 대하여  ⊂ 를 만족시키는  의 부분집합 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수      의 그래프의 점근선은 두 직선   ,   이다. 두 상수 , 에 대하여 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 함수   의 그래프가 그림과 같다.     O         lim → 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 4 12 11. 수열 이   이고 모든 자연수 에 대하여        을 만족시킬 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. log가 정의되도록 하는 정수 의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 5 12 13. 함수            ≠      가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. lim →∞      일 때, lim →∞     의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 6 12 15. 실수 에 대한 세 조건   ≤         ≤   에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은? [4점] 보 기  ㄱ. →  ㄴ. →  ㄷ. →∼ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 자연수 에 대하여 원       과 직선     이 제사분면에서 만나는 점의 좌표를 이라 할 때, lim→∞  의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(나형) 7 12 17. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은? [4점] (가) lim →∞      (나) lim →       ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다. 정사각형 ABCD의 두 대각선의 교점을 B라 하고, 점 B에서 두 변 AD, CD에 내린 수선의 발을 각각 A, C라 하자. 점 B를 지나고 두 변 AB, BC에 동시에 접하는 원을 이라 하고, 원 이 두 변 AB, BC에 접하는 점을 각각 P, Q 이라 할 때, 삼각형 BPQ의 내부에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 정사각형 ABCD의 두 대각선의 교점을 B이라 하고, 점 B에서 두 변 AD, CD에 내린 수선의 발을 각각 A, C이라 하자. 점 B을 지나고 두 변 AB, BC에 동시에 접하는 원을 라 하고, 원 가 두 변 AB, BC에 접하는 점을 각각 P, Q라 할 때, 삼각형 BPQ의 내부에 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에 색칠되어 있는 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] Q Q C C C A A B B D B D A C Q C A A P P P B B     ⋯ ⋯    ①    ②    ③    ④    ⑤    수학 영역(나형) 8 12 19.  이상의 세 실수 , , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)    는 의 네제곱근이다. (나) loglog          이 되도록 하는 실수 의 값은? [4점] ①  ②   ③  ④   ⑤  20. 그림과 같이 자연수 에 대하여 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있고, 네 점 E, F, G , H가 각각 네 변 AB, BC, CD, DA 위에 있다. 선분 HF의 길이는    이고 선분 HF와 선분 EG가 서로 수직일 때, 사각형 EFGH의 넓이를  이라 하자.       의 값은? [4점] A B C D E F G H ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(나형) 9 12 21. 다음 조건을 만족시키는 자연수 , , , 의 모든 순서쌍    의 개수는? [4점] (가)    (나) 좌표평면에서 두 점  ,   는 서로 다른 점이며 두 점 중 어떠한 점도 직선    위에 있지 않다. ①  ②  ③  ④  ⑤  단답형 22. 두 수열 , 에 대하여 lim→∞  , lim→∞    일 때, lim→∞  의 값을 구하시오. [3점] 23.     ∞     의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(나형) 10 12 24. 두 양수 , 에 대하여 세 수   , ,   이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, ×의 값을 구하시오. [3점] 25.   의 전개식에서     의 계수를 구하시오. [3점] 26. 두 함수  ,              ≥  에 대하여 ∘ ∘ 을 만족시키는 상수 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(나형) 11 12 27.  이상의 자연수 에 대하여     과    이 모두 자연수가 되도록 하는 모든 의 값의 합을 구하시오. [4점] 28. 등차수열 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)      (나)      인 자연수 에 대하여         (단,    )  의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(나형) 12 12 29. 전체집합      는  이하의 자연수의 세 부분집합  ,  ,  이   ≥ ,  ⊂   ⊂    을 만족시킨다. 다음은 집합  ,  ,  의 모든 순서쌍        의 개수를 구하는 과정이다.    ( ≤  ≤ , 는 자연수)인 집합  의 개수는 전체집합  의 원소 개 중 서로 다른 개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 C이다. 또한   ⊂   ⊂  이므로 집합  에 속하지 않는 원소는 세 집합    ,    ,   중 어느 한 집합에 속해야 한다. 그러므로    일 때 집합  ,  ,  의 순서쌍        의 개수는 C × 가 이다. 따라서   ≥ ,  ⊂   ⊂  을 만족시키는 순서쌍        의 개수는 이항정리에 의하여      C × 가    나 ×   위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)에 알맞은 수를 라 할 때, 의 값을 구하시오. [4점] 30. 두 실수 , 에 대하여 정의역이   ≥인 함수         이 있다. 실수 에 대하여 정의역이   ≥인 함수        ≥   가 다음 조건을 만족시킨다. (가) lim →∞    (나)   (다) 함수   의 그래프와 직선   는 두 점     ,  에서만 만난다. (단,     )  직선      이 함수   의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 이라 할 때, 함수 이 불연속이 되는 모든 실수 의 값의 합은  이다.  의 값을 구하시오.  [4점] ※ 확인 사항 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.