2013 10월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 2013학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A형) 1 제 2 교시 5지선다형 1.   log  log  의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④  ⑤   2. 두 행렬         ,          에 대하여 행렬  의 모 든 성분의 합은? [2점] ①   ②   ③   ④  ⑤  3. lim →∞          의 값은? [2점] ①   ②  ③   ④   ⑤  4.    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 2 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 개의 꼭짓점으로 이루어진 그래프  의 각 꼭짓점 사이의 연 결 관계를 나타내는 행렬  이 다음과 같을 때, 그래프  의 변 의 개수는? (단, ,  는 상수이다.) [3점]                                ①  ②  ③  ④  ⑤  6.        의 전개식에서  의 계수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 서로 배반인 두 사건  ,  에 대하여 P    , P ∩       일 때, P 의 값은? (단,   은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12 8. 다항함수 에 대하여 lim →        일 때, lim →     의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  9. 부등식   log        을 만족시키는 정수  의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 같은 종류의 선물  개를  명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, 명의 학생만 선물을 받는 경우의 수는? (단, 선물끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 함수         의 극댓값이  일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 어떤 무선 수신기에서 수신 가능한 신호의 최소 크기  와 수 신기의 잡음 지수  (dB) 그리고 수신기의 주파수 대역  (Hz) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.   log (단, 는 상수이다.)  잡음 지수가  이고 주파수 대역이  일 때의 수신 가능한 신 호의 최소 크기와 잡음 지수가  이고 주파수 대역이 일 때 의 수신 가능한 신호의 최소 크기가 같을 때,   의 값은? [3 점] ①   ②   ③   ④  ⑤  수학 영역(A형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 그림과 같이 곡선     이 축과 만나는 점을 A , 곡선   log가 축과 만나는 점을 B 라 하자. 또, 직선   가 두 곡선     ,   log와 만나는 점을 각각 C , D 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 사각형 ABDC 가 정사각형일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 점 C 의 좌표 라고 할 때, 선분 CD 의 길이의 기댓값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역(A형) 6 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 수열  은   이고        ≥   을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여       이다.    이라 하면       가 이고,   이므로    나  ≥  이다. 따라서     나  ≥  이다.  위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각  이라 할 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  16. 함수   의 그래프가 그림과 같다.  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. lim →   lim →    ㄴ. lim →  는 존재한다. ㄷ. 함수   는   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 수학 영역(A형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 어느 밭에서 수확한 딸기의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 딸기 중에서 임의추출한 개의 무게를 조사하였더니 평균이  g, 표준편차가  g이었다. 이 결과를 이용하여 이 밭에서 수확 한 딸기 무게의 평균을 신뢰도  %로 추정한 신뢰구간이     이다. 의 값은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률 변수  에 대하여 P ≤  ≤   이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 두 점 A , B 에 대하여 삼각형 OAB 에 내접하는 원 가 있다. 원 의 반지름의 길이를 라 할 때, lim →     의 값은? (단, O 는 원점이다.) [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(A형) 8 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 안에 꼭짓 점 A , C 를 중심으로 하고 선분 AB , CD를 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접 하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 두 꼭짓점 A , C 로부터 두 사분원의 호와 원이 접 하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각 형을 각각 그린다. 이 개의 정사각형 안에 그림 에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 개의 원의 내부를 색칠하여 얻 은 그림을  라 하자. 그림  에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분 원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정 사각형을 각각 그린다. 이 개의 정사각형 안에 그림 에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는  개의 원의 내부를 색칠하 여 얻은 그림을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에서 색칠된 부 분의 넓이를   이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점]   … ①   ②   ③    ④   ⑤   20. 삼차함수     가 있다. 곡선    위의 점 A    에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 B 라 하자. 또, 곡선    위의 점 B 에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 C 라 하자. 두 점 B , C 의 좌표를 각각  , 라 할 때,     을 만족시킨다. 상수 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(A형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A , B 을 지나는 직선과 곡선     (   ) 및  축으로 둘러싸인 부분 중에서 제 사분면에 있는 부분의 넓이를   이라 하자. 또, 직선 AB 와 곡선     및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를  라 하자.          일 때, 상수 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 등차수열 에 대하여    ,    일 때,  의 값 을 구하시오. [3점] 23. ,  에 대한 연립방정식                 이    ,    이외의 해를 갖도록 하는 양수 의 값을 구하 시오. [3점] 수학 영역(A형) 10 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 수열 에 대하여   ∞    일 때, lim →∞     의 값 을 구하시오. [3점] 25. 주머니 속에 ‘대’, ‘한’, ‘민’, ‘국’의 글자가 각각 하나씩 적힌  장의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 장의 카드를 꺼낼 때, 카 드에 적힌 글자가 ‘한’과 ‘국’일 확률은   이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3점] 26. 최고차항의 계수가  인 삼차함수 와 실수 가 다음 조 건을 만족시킬 때,  ′의 값을 구하시오. [4점] (가)      (나)  ′    수학 영역(A형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 양수 에 대하여 log의 가수를 라 하자.   ≤  ≤  일 때, 방정식   log의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오. [4점] 28. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시각  ( ≤  ≤  )에서의 속도가 각각   ,       이다. 두 점 P , Q 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. [4점] 수학 영역(A형) 12 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)  ≤   일 때,       ≤           ≤    이다. (나) 모든 실수 에 대하여   이다.  닫힌 구간     에서 방정식    의 모든 실근의 합 을 구하시오. [4점] 30. 두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킨다. (가)      (나) 수열 은 공차가 인 등차수열이고, 수열 은 공비가 인 등비수열이다.  수열 의 모든 항이 수열 의 항이 되도록 하는 보다 큰 모든 자연수 의 합을 구하시오. [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오. 1 12 2013학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B형) 1 제 2 교시 5지선다형 1. 행렬         에 대하여 역행렬   의 모든 성분의 합은? [2점] ①   ②  ③  ④  ⑤  2. 함수   ln 에 대하여  ′의 값은? (단,  는 자연로그 의 밑이다.) [2점] ①  ②   ③  ④  ⑤  3. sin     일 때, cos  sin  의 값은?  단,      이다. [2점] ①  ②   ③   ④   ⑤  4. 두 사건 , 에 대하여 P    , P    , P∪     일 때, P 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(B형) 2━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 2 12 5. 수열 이   이고,       ≥   을 만족시킬 때, 의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④   ⑤  6. 어떤 무선 수신기에서 수신 가능한 신호의 최소 크기  와 수 신기의 잡음 지수  (dB) 그리고 수신기의 주파수 대역  (Hz) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.   log (단, 는 상수이다.)  잡음 지수가  이고 주파수 대역이  일 때의 수신 가능한 신 호의 최소 크기와 잡음 지수가 이고 주파수 대역이  일 때 의 수신 가능한 신호의 최소 크기가 같을 때,   의 값은? [3 점] ①   ②   ③   ④  ⑤  7. 연속함수 가 모든 실수  에 대하여    cos    를 만족시킬 때,  의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①     ②  ③   ④  ⑤  8. 같은 종류의 구슬 다섯 개를 서로 다른 세 개의 주머니에 나누 어 넣으려고 한다. 각 주머니 안의 구슬이 세 개 이하가 되도록 넣는 방법의 수는? (단, 구슬끼리는 서로 구별하지 않고 빈 주 머니가 있을 수도 있다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 3 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 3 12  P ≤  ≤          9. 연속함수  에 대하여 lim →  ln     일 때, lim →    의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 어느 생수 회사에서 생산하는 생수 병의 무게는 평균 , 표준편차  인 정규분포를 따른다고 한다. 이 생수 회사에서는 생수 병을 한 세트로 하 여 판매한다. 임의로 택한 한 세트의 무게가  이상일 확률을 오른쪽 표 준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 g이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 4━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 4 12 11. 두 실수 , 에 대하여 행렬 를         라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬 이고,  는 영행렬이다.) [3점] < 보 기 > ㄱ.     이면    이다. ㄴ.     를 만족시키는 행렬 의 개수는 이다. ㄷ.     를 만족시키는 행렬 의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 12. 수열  은   이고        ≥   을 만족시킨다. 다음은 일반항 을 구하는 과정이다. 주어진 식에 의하여       이다.    이라 하면       가 이고,   이므로    나  ≥  이다. 따라서     나  ≥  이다.  위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각  이라 할 때, 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 5 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 5 12 [13 ~ 14] 자연수 에 대하여 곡선     과 직선      의 두 교점을 A , B 이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. 13. 선분 AB 의 길이를  이라 할 때, lim →∞     의 값은? [3점] ①   ②   ③  ④  ⑤  14. 곡선     과 직선      으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 이라 할 때,     의 값은? [4점] ①   ln ②  ln ③    ln ④ ln ⑤   ln 수학 영역(B형) 6━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 6 12 15. 그림과 같이 좌표공간에 세 점 A  , B  , C  이 있다. 선분 AB 위의 한 점 P 에서 선분 BC에 내 린 수선의 발을 H 라 할 때, PH  이다. 삼각형 PBH 의  평 면 위로의 정사영의 넓이는? [4점] ①   ②   ③   ④  ⑤   16. 그림과 같이 한 초점이 F 이고 점근선의 방정식이   ,     인 쌍곡선이 있다. 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 에 대하여 선분 PF 의 중점을 M 이라 하자. OM , MF  일 때, 선분 OF의 길이는? (단, O는 원점이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 7 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 7 12 17. 이차함수 와 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 의 이차항의 계수와 의 삼차항의 계수의 곱은 음수이다. (나)       (다) 두 곡선   와   가 만나는 세 점의  좌표 는 각각 , , 이다.  분수방정식       의 서로 다른 실근의 개수는? [4 점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFGH 가 있다. 모서리 AB를   로 내분하는 점을 L, 모서리 HG의 중 점을 M이라 하자. 점 M에서 선분 LD에 내린 수선의 발을 N이라 할 때, 선분 MN의 길이는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역(B형) 8━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 8 12 19. 그림과 같이 정삼각형 ABC의 한 변 CB 위에 점 D를 ∠DAB   가 되도록 정하고, 선분 CD를 지름으로 하는 원 을 평면 ABC 위에 그린다. 이 원 위를 움직이는 점 P에 대하 여 ∠CDP  라 하자. 삼각형 ADP의 넓이가 최대가 되도록 하는  에 대하여 sin cos 의 값은? [4점] ①   ②    ③   ④    ⑤    20. 연속함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가)    (나)       lim →∞               의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역(B형) 9 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 9 12 21. 그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원   ,   ,   ,  가 서로 외접하고 있고, 두 원   ,  의 접점을 A 라 하자. 원   위를 움직이는 점 P 와 원   위를 움직이는 점 Q 에 대하여   AP   AQ  의 최댓값은? [4점] ①   ②  ③   ④   ⑤  단답형 22. C C C  C C C의 값을 구하시오. [3점] 23. 확률변수  가 이항분포 B   을 따르고,  의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오. [3점] 수학 영역(B형) 10━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 10 12 24. 좌표평면에서 두 일차변환 ,  를 나타내는 행렬이 각각        ,        일 때, 합성변환 ∘ 에 의하여 점  가 점  로 옮겨진다.  의 값을 구하시오. [3점] 25. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수   의 그래프는 그림 과 같다. 함수        ( ,  ,  는 상수)에 대 하여 합성함수 ∘가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 의 값을 구하시오. [3점] 26. 함수   log 에 대하여 좌표평면에서 네 점  ,  ,  ,   (단,   )  을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를  라 하자.  ,  ,  가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,    이다. 자연 수 의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(B형) 11 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 11 12 27. 그림과 같이 점 A  을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원과 타원        의 한 교점을 P 라 하자. 점 B  에 대하여 PA PB  일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 28. 수열 이     이고,       ≥   을 만족시킬 때,   ∞    의 값을 구하시오. [4점] 수학 영역(B형) 12━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 12 12 29. 좌표공간에서 중심이 C  이고 반지름의 길이가  인 구가 두 평면 ,  와 접하는 점을 각각 P, Q라 하자. 두 평면 , 의 교선의 방정식이       일 때, 삼각형 CPQ 의 넓 이는  이다.  의 값을 구하시오. [4점] 30. 그림과 같이 AB , AD  인 직사각형 ABCD가 있다. 선분 BC 위의 점 P에 대하여 선분 AP의 수직이등분선이 두 직 선 AB, AD와 만나는 점을 각각 Q, R라 하자. 선분 QR의 길이 의 최솟값이 일 때,  의 값을 구하시오. (단, 점 P 는 점 B 가 아니다.) [4점] ※ 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기) 했는지 확인하시오.