2013 4월 학력평가 수학 문제 해설

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1 12 1. 행렬         에 대하여 행렬 가         을 만족시킬 때 행렬 , 의 모든 성분의 합은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. cos    일 때, sin 의 값은 단?( ,       ) [2 ] 점 ①   ②   ③   ④   ⑤   3. 함수       에 대하여  ′의 값은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 일차변환 를 나타내는 행렬이       일 때, 두 행렬      ,       에 대하여 는 점 ? [3 ] ①     ②     ③     ④    ⑤     2013 4 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(B ) 형 제 교시 2 성명 수험번호 3 수학 영역 형(B ) 2 12 5. 열린 구간  에서 정의된 함수    sin cos 의 극댓값을  , 극솟값을 이라 할 때, 의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③     ④     ⑤     6. 좌표평면에서 행렬       로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선   이 직선    로 옮겨질 때 상수 , 의 값은? [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 그림과 같이 두 함수    ,    의 그래프와 직선   가 만나는 점을 각각 A, B라 하고 직선 ,   가 축과 만나는 점을 C라 하자.            A B C O  BC , OC , AC 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때 상수 , 의 값은? ( , 단   이고, O는 원점이다.) [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(B ) 3 12 8. 삼각방정식 sin  cos       의 서로 다른 실근의 개수는 단?( ,     ) [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수   의 역함수의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시키면 함수   의 그래프가 된다 두 함수 .   ,   의 그래프가 직선   과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때 선분 , AB의 중점의 좌표가  이다. 이때 실수 , 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 함수          sin ≠     가   에서 연속일 때 두 상수 , , 에 대하여 의 값은? [3 ] 점 ①   ②   ③  ④   ⑤  수학 영역 형(B ) 4 12 11. 맥동변광성은 팽창과 수축을 반복하여 광도가 바뀌는 별이다. 맥동변광성의 반지름의 길이가  km, 표면온도가  K 일 때의 절대등급이 이고 이 맥동변광성이 팽창하거나 수축하여 , 반지름의 길이가  km, 표면온도가  K일 때의 절대등급을 라고 하면 이들 사이에는 다음 관계식이 성립한다고 한다.     log   log   어느 맥동변광성의 반지름의 길이가  ×  km, 표면온도가 K일 때의 절대등급이 이었고 이 맥동변광성이 수축하여 , 반지름의 길이가 km, 표면온도가 K일 때의 절대등급이 이었다 이때 . , 의 값은 점 ? [3 ] ①  ×   ②  ×  ③  ×  ④  ×   ⑤  ×  12. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 할 때,             ⋯ 이 성립한다. 다음은           를 구하는 과정이다.    에서    ( ) 가 × 이다.    이라 하면, 수열 은 공비가 인 등비수열이다.  ∴   ( ) 나     ⋯ 따라서  ( ) 다            위의 가 에 알맞은 수를 ( ) , ( ), ( ) 나 다 에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×  × ×  의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(B ) 5 12 [13~14] 함수      에 대하여 번과 번의 두 물음에 13 14 답하시오. 13.   의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  14. 집합              에 대하여   이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 합은 단?( , 는 집합 의 원소의 개수이다 점 .) [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(B ) 6 12 15. 열린 구간   에서 정의된 함수   의 그래프가 그림과 같을 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 , < > ? [4 ] 점 O           보 기 ㄱ. lim →   ㄴ. lim→ sin      ㄷ.  sin  라 할 때, 함수 ∘는 열린 구간   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 16. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 두 선분 BC , CD의 중점을 각각 E , F이라 하고, 두 선분 AE과 AC이 선분 BF과 만나는 두 점을 각각 G , B라 하자 이때 세 삼각형 . , AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 이라 하자. 점 B를 지나고 선분 AB에 수직인 직선과 선분 CD이 만나는 점을 C라 하자 점. C를 지나고 선분 BC에 수직인 직선과 선분 AD이 만나는 점을 D라 하고 점, D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 A라 하자 정사각형 . ABCD에서 두 선분 BC , CD의 중점을 각각 E , F라 하고 두 선분 , AE와 AC가 선분 BF와 만나는 두 점을 각각 G , B이라 하자 이때 세 삼각형 . , AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 라 하자. 점 B을 지나고 선분 AB에 수직인 직선과 선분 CD가 만나는 점을 C이라 하자 점. C을 지나고 선분 BC에 수직인 직선과 선분 AD가 만나는점을 D이라 하고 점, D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 A이라 하자 정사각형 . ABCD에서 두 선분 BC , CD의 중점을 각각 E , F이라 하고 두 선분 , AE과 AC이 선분 BF과 만나는 두 점을 각각 G , B라 하자. 이때 세 삼각형 , AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 세 삼각형 AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 이라 할 때,   ∞ 의 값은? [4 ] 점 B C A D B C D A B D C A E F G E F G G F B E  ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역 형(B ) 7 12 17. 두 이차정사각행렬 , 가     ,     를 만족시킬 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 , < > ? ( , 단  는 단위행렬이다 점 .) [4 ] 보 기 ㄱ. 행렬 가 역행렬을 갖는다. ㄴ.    ㄷ.    ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 18. 그림과 같이 이차함수   의 그래프와 함수   의 그래프가 두 점에서 만난다.           O  방정식       의 실근의 개수는 단?( ,    ,   ) [4 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(B ) 8 12 19. 그림은 다음 조건을 만족시키는 함수   의 그래프의 일부이다. ( ) 가     ≤  ≤  ( ) 나 모든 실수 에 대하여   이다. O             라 할 때, lim →∞         의 값은 점 ? [4 ] ①  ②   ③  ④   ⑤  20. 그림은 함수     ≤      의 그래프이다. O        실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 를       라 할 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 점 , < > ? [4 ] 보 기 ㄱ.     ㄴ. 함수 는 극댓값    을 갖는다. ㄷ. 방정식   의 실근의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 수학 영역 형(B ) 9 12 21. 그림과 같이 두 정점 P, Q 사이의 거리가  m이고 점, Q를 지나고 선분 PQ에 수직인 직선을 이라 하자. 점 A가 점 Q에서 출발하여 직선 을 따라 초속  m의 일정한 속력으로 움직일 때 직선 ,  위의 점 B는 AP   PB   m 을 만족시키며 점 Q쪽으로 움직이고 있다. AQ   m 가 되는 순간 선분 , BQ의 길이m의 시간 초 에 대한 변화율은 점 ( ) ? [4 ] P B Q A   m ①    ②    ③    ④    ⑤    단답형 22. 로그부등식 log  log  의 해가 ＜＜ 일 때,    의 값을 구하시오 점 . [3 ] 23. 공차가 인 등차수열 이       을 만족시킨다 이때 . ,   를 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오 점 . [3 ] 수학 영역 형(B ) 10 12 24. A지점과 B지점 사이의 거리가  km인 직선도로가 있다. A지점에서 출발하여 이 직선도로를 따라 B지점까지 갈 때는 시속  km의 일정한 속력으로 이동하고, B지점에서 같은 도로를 따라 A지점으로 돌아올 때는 갈 때의 속력보다 시속  km 더 빠르게 이동하려고 한다. A지점에서 B지점까지 갈 때 걸린 시간과 B지점에서 A지점으로 돌아올 때 걸린 시간의 차가 분 이상일 때, 의 최댓값을 구하시오 단 속력의 단위는 .( , km시이다 점 .) [3 ] 25. 그림과 같이 좌표평면에서 점 P가 원점 O를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 이동할 때 점, Q는 점  을 출발하여  PQ   을 만족시키며 축을 따라 음의 방향으로 이동한다. ∠OPQ   (＜＜   ) , 일 때 삼각형 OPQ의 내접원의 반지름의 길이를 라 하자. 이때, lim →   의 값을 구하시오 점 . [3 ]  O P  Q    26. 좌표평면에서 두 일차변환 와 를 나타내는 행렬이 각각       ,   cos  sin  sin  cos 일 때 일차변환 , ∘ 에 의하여 점   이 점   로 옮겨진다 이때 두 상수 . , 와 에 대하여   의 값을 구하시오 단.( ,   이고, ＜＜   이다 점 .) [4 ] 수학 영역 형(B ) 11 12 27. 그림과 같이 평면에서 중심이 O이고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 A를 점 O를 중심으로 시계 반대 방향으로 각  (      ) 만큼 회전시킨 원 위의 점을 B, 점 B를 점 O를 중심으로 시계 반대 방향으로   만큼 회전시킨 원 위의 점을 C라 하자. 점 A에서의 접선이 점 B에서의 접선과 만나는 점을 D, 점 C에서의 접선과 만나는 점을 E라 하자. 사각형 OADB의 넓이가 일 때 사각형 , OAEC의 넓이를 구하시오 점 . [4 ] O A B C D E   28. 곡선          (  ) 위의 점에서 그은 접선 중에 서 기울기가 최소인 접선과 축, 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오 점 . [4 ] 수학 영역 형(B ) 12 12 29. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다.  이상의 자연수 에 대하여 변 BC를 등분한 각 분점을 점 B에서 가까운 것부터 차례로 P , P , P , ⋯, P이라 하고, 변 CD를 등분한 각 분점을 점 C에서 가까운 것부터 차례로 Q , Q , Q , ⋯, Q이라 하자.  ≤  ≤  인 자연수 에 대하여 사각형 APQD의 넓이를 라 하자. lim →∞         일 때, 의 값을 구하시오 점 . [4 ] A C D B P P P ⋯ P ⋯ P Q Q Q ⋮ Q ⋮ Q  30. 함수  cos   에 대하여 함수 를   (는     인 상수) 라 하자 함수 . 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 의 값의 합을    라 할 때, 의 값을 구하시오. ( , 단 와 는 서로소인 자연수이다 점 .) [4 ] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입 표기 했는지 확인하시오 ( ) . 1 12 1.  ×     의 값은 점 ? [2 ] ①   ②   ③  ④  ⑤  2. 행렬         에 대하여 행렬   의 모든 성분의 합은 점 ? [2 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. lim →∞      ․    의 값은 점 ? [2 ] ①   ②   ③  ④   ⑤   4. 함수            ≠     가 모든 실수 에서 연속일 때, 상수 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  2013 4 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(A ) 형 제 교시 2 성명 수험번호 3 수학 영역 형(A ) 2 12 5. 등차수열 에 대하여   ,    일 때,    을 만족시키는 자연수 의 최솟값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 수열     이수렴하도록하는모든정수 의값의합은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 지수부등식              의 해가     일 때, 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  8.   log  일 때,       의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤   수학 영역 형(A ) 3 12 9. 로그부등식 log  ≤ log  를 만족시키는 모든 자연수 의 개수는 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킬 때, lim→∞ 의 값은? [3 ] 점 ( ) 가         ⋯               ⋯ ( ) 나   ∞     ①  ②  ③  ④  ⑤  11. 정의역이  ≤  ≤ 인 함수   의 그래프는 그림과 같다.   O           이때, lim→  lim→ 의 값은 점 ? [3 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(A ) 4 12 [12~13] 그림과 같이 두 함수    ,    의 그래프와 직선    가 만나는 점을 각각 A, B 라 하고 직선 ,   가 축과 만나는 점을 C라 하자. 12 13 . 번과 번의 두 물음에 답하시오 ( , 단    이고, O는 원점이다.)            A B C O 12.  BC ,  OC , AC 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때 양수 ,  의 값은? [3 ] 점 ①  ②  ③  ④  ⑤  13. lim →  OB   BC  OA  AC 의 값은 점 ? [3 ] ①   ②   ③   ④   ⑤  수학 영역 형(A ) 5 12 14. 모든 항이 양수인 등비수열 에 대하여    ,    일 때,         의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  15. 맥동변광성은 팽창과 수축을 반복하여 광도가 바뀌는 별이다. 맥동변광성의 반지름의 길이가  km, 표면온도가  K 일 때의 절대등급이 이고 이 맥동변광성이 팽창하거나 수축하여 , 반지름의 길이가  km, 표면온도가  K일 때의 절대등급을 라고 하면 이들 사이에는 다음 관계식이 성립한다고 한다.     log   log   어느 맥동변광성의 반지름의 길이가  ×  km, 표면온도가 K일 때의 절대등급이 이었고 이 맥동변광성이 수축하여 , 반지름의 길이가 km, 표면온도가 K일 때의 절대등급이 이었다 이때 . , 의 값은 점 ? [4 ] ①  ×   ②  ×  ③  ×  ④  ×   ⑤  ×  수학 영역 형(A ) 6 12 16. 두 이차정사각행렬 , 가     ,     를 만족시킬 때 옳은 것만을 보기 에서 있는 대로 고른 것은 , < > ? ( , 단  는 단위행렬이다 점 .) [4 ] 보 기 ㄱ. 행렬 가 역행렬을 갖는다. ㄴ.    ㄷ.    ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , 17. 그림은 어느 고등학교의 수학 동아리에서 만든 두 종류의 수학체험전 입장권이다. 수학동아리에서는 입장권 를 매 입장권 , 를 매로 총 매를 만들어 이를 모두 판매하였다. 이 동아리에서는 입장권 의 한 매당 판매가격의 , 입장권 의 한 매당 판매가격의 를 적립한 총 금액 원을 불우 이웃 돕기 성금으로 내었다. 와 의 값을 구하는 식을 행렬로 나타내면 다음과 같다.                이때 두 상수 , , 의 합 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(A ) 7 12 18. 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD이 있다. 두 선분 BC , CD의 중점을 각각 E , F이라 하고, 두 선분 AE과 AC이 선분 BF과 만나는 두 점을 각각 G , B라 하자 이때 세 삼각형 . , AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 이라 하자. 점 B를 지나고 선분 AB에 수직인 직선과 선분 CD이 만나는 점을 C라 하자 점. C를 지나고 선분 BC에 수직인 직선과 선분 AD이 만나는 점을 D라 하고 점, D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 A라 하자 정사각형 . ABCD에서 두 선분 BC , CD의 중점을 각각 E , F라 하고 두 선분 , AE와 AC가 선분 BF와 만나는 두 점을 각각 G , B이라 하자 이때 세 삼각형 . , AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 라 하자. 점 B을 지나고 선분 AB에 수직인 직선과 선분 CD가 만나는 점을 C이라 하자 점. C을 지나고 선분 BC에 수직인 직선과 선분 AD가 만나는점을 D이라 하고 점, D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 A이라 하자 정사각형 . ABCD에서 두 선분 BC , CD의 중점을 각각 E , F이라 하고 두 선분 , AE과 AC이 선분 BF과 만나는 두 점을 각각 G , B라 하자. 이때 세 삼각형 , AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 세 삼각형 AGB , BEG , CFB의 넓이의 합을 이라 할 때,   ∞ 의 값은? [4 ] 점 B C A D B C D A B D C A E F G E F G G F B E  ①   ②   ③   ④   ⑤   19. 함수   의 역함수의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시키면 함수   의 그래프가 된다 두 함수 .   ,   의 그래프가 직선   과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때 선분 , AB의 중점의 좌표가  이다. 이때 실수 , 의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  수학 영역 형(A ) 8 12 20. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 할 때,             ⋯ 이 성립한다. 다음은           를 구하는 과정이다.    에서    ( ) 가 × 이다.    이라 하면, 수열 은 공비가 인 등비수열이다.  ∴   ( ) 나     ⋯ 따라서  ( ) 다            위의 가 에 알맞은 수를 ( ) , ( ), ( ) 나 다 에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때, ×  × ×  의 값은 점 ? [4 ] ①  ②  ③  ④  ⑤  21. 실수 에 대하여 열린 구간  에서 함수    ≠     의 불연속인 점의 개수를 라 하자. 옳은 것만을 보기 에서 < > 있는 대로 고른 것은? [4 ] 점 보 기 ㄱ.   ㄴ. lim→   lim →    ㄷ. 함수   는   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄱ ㄴ, ③ ㄱ ㄷ, ④ ㄴ ㄷ, ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ , , O            수학 영역 형(A ) 9 12 단답형 22.           일 때 자연수 , 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 23. ,  에 대한 연립일차방정식               가   ,    이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수  의 값의 합을 구하시오 점 . [3 ] 24. 정의역이  ≤  ≤ 인 함수   log    의 최댓값이 일 때 상수 , 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 수학 영역 형(A ) 10 12 25. 다항함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [3 ] 점 ( ) 가 lim→∞       ( ) 나 lim→      ( ) 다 방정식  의 한 근이 이다. 26. 두 실수 , 에 대한 연립방정식        ․     log log    의 해를   ,   라 할 때, 의 값을 구하시오 점 . [4 ] 수학 영역 형(A ) 11 12 27. 다음 순서도에서 인쇄되는 의 값을 구하시오 점 . [4 ] 시작  ←   ←   ←    ←     예 아니오 을 인쇄 끝 28. 두 이차정사각행렬 , 의   성분을 각각  , 라 할 때,    ,             이 성립한다. 두 행렬 , 가        를 만족시킬 때, 행렬  의  성분을 구하시오 점 . [4 ] 수학 영역 형(A ) 12 12 29. 자연수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 이라 하자 세 자연수 . , , 가 다음 조건을 만족시킬 때,  [4 ] 점 ( ) 가      ( ) 나      ( ) 다    30. 그림과 같이 자연수 에 대하여  행에는 개, 행에는  개의 원을 나열하고 각 원 안에는 , 부터 연속된 자연수를 하나씩 다음과 같은 규칙에 따라 써 넣는다. ( ) 가 행의 원 안에는 을 써 넣는다. ( ) 나 행의 모든 원 안에는  행에 써 넣은 수보다 만큼 큰 수부터 차례로 써 넣는다. ( ) 다  행의 원 안에는 행의 마지막에 써 넣은 수보다 만큼 큰 수를 써 넣는다.                   행 행 행 행 행 행 ⋮ ⋮ 행에 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합을  라 할 때,    의 값을 구하시오 점 . [4 ] ※ 확인사항 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입 표기 했는지 확인하시오 ( ) .