2012 수능 수학 문제 해설 (11시행)

 

수학가형문제(2017-09-17 / 377.9KB / 183회)

 

수학가형해설(2017-09-17 / 671.1KB / 217회)

 

수학나형문제(2017-09-17 / 432.6KB / 163회)

 

수학나형해설(2017-09-17 / 159.4KB / 172회)

 

1 12 2012학년도 대학수학능력시험 문제지 수리 영역(나 형) 5지선다형 1. 행렬         의 역행렬   의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →∞      의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  3. 함수    에 대하여 lim →    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 어느 학교 학생회가 축제 기간에 운영하는 먹거리 장터에서 수학 동아리가 다음과 같은 차림표를 마련하였다. 유클리드 생수 병과 피타고라스 김밥 줄을 살 때, 지불해야 할 금액은? [3점] ① 원 ② 원 ③ 원 ④ 원 ⑤ 원 제 2 교시 1 홀수형 2 수리 영역(나 형) 홀수형 2 12 5. 수열 이  이고, 모든 자연수 에 대하여       을 만족시킬 때,  의 값은? [3점] ①   ②  ③   ④  ⑤   6. 확률변수  의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.   계 P        E 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  7. 누에나방 암컷은 페로몬을 분비하여 수컷을 유인한다. 누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도 는 다음 식을 만족시킨다고 한다. log     log    (단,  와  는 양의 상수이다.) 누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 이고, 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는   이다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  홀수형 수리 영역(나 형) 3 3 12 8. 다항식   의 전개식에서  의 계수가 일 때,  의 계수는? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 함수        에 대하여  ′의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4 수리 영역(나 형) 홀수형 4 12 10. 두 사건 와  는 서로 독립이고, P∪    , P      일 때, P∩ 의 값은? (단,  은  의 여사건이다.) [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   11. 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여      의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  홀수형 수리 영역(나 형) 5 5 12 12. 그림과 같이 직선    위에 두 점 A 과 P 이 있다. 점 P 를 지나고 직선   에 수직인 직선이 축과 만나는 점을 Q 라 할 때, lim →∞ AP  AQ 의 값은? [3점] ①  ②   ③  ④   ⑤  13. 주머니 A 에는     의 숫자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 들어 있고, 주머니 B 에는      의 숫자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 들어 있다. 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 의 배수이면 주머니 A 에서 임의로 카드를 한 장 꺼내고, 의 배수가 아니면 주머니 B 에서 임의로 카드를 한 장 꺼낸다. 주머니에서 꺼낸 카드에 적힌 수가 짝수일 때, 그 카드가 주머니 A에서 꺼낸 카드일 확률은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤  6 수리 영역(나 형) 홀수형 6 12 14. 반지름의 길이가 인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가   인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에서 색칠된 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①      ②      ③      ④    ⑤      15. 두 이차정사각행렬 ,  가    ,   를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.    ㄴ.     ㄷ.     ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 홀수형 수리 영역(나 형) 7 7 12  P ≤ ≤        16. 어느 공장에서 생산되는 제품의 길이  는 평균이 이고, 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. P≤ ≤   일 때, 이 공장에서 생산된 제품 중에서 임의추출한 제품 개의 길이의 표본평균이  이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 는 상수이고, 길이의 단위는 cm이다.) [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  17. 첫째항이 인 수열 에 대하여        라 할 때,        ≥ 이 성립한다. 다음은 수열 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 에 대하여     이므로       …… ㉠ 이다.  이상의 자연수 에 대하여      …… ㉡ 이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터     (가) 를 얻는다. 양변을 로 나누면            이다.     이라 하면,    (나) (≥ ) 이므로   (다) (≥ ) 이다. ⋮ 위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 , , 이라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  (가) 8 수리 영역(나 형) 홀수형 8 12 18. 함수   의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. lim →    ㄴ. lim →   ㄷ. 함수 는   에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 19. 이차함수 는  이고,                 를 만족시킨다. 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  홀수형 수리 영역(나 형) 9 9 12 20. 양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 하자. 두 부등식 ≤ , ≤  를 만족시키는 자연수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  21. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 모든 실수 에 대하여  를 만족시킨다. 방정식   의 서로 다른 실근의 개수가 일 때, 의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10 수리 영역(나 형) 홀수형 10 12 단답형 22. lim →      의 값을 구하시오. [3점] 23. 방정식 log   log 를 만족시키는 의 값을 구하시오. [3점] 24.   의 값을 구하시오. [3점] 25. 세 수 ,  , 는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수  ,  , 은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다.   의 값을 구하시오. [3점] 홀수형 수리 영역(나 형) 11 11 12 26. 곡선     위의 점  에서의 접선의 방정식이   이다. 의 값을 구하시오. 단, , 는 상수이다. [4점] 27. 구간  에서 정의된 연속확률변수  의 확률밀도함수가 이다.  의 평균이   이고,     일 때, 상수 의 값을 구하시오. [4점] 28. 좌표평면에서 자연수 에 대하여 점 P 의 좌표를   , 점 Q 의 좌표를  이라 하자. 사각형 PQ Q P  의 넓이를  이라 할 때,     ∞        이다.   의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 12 수리 영역(나 형) 홀수형 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 이차정사각행렬 가 다음 조건을 만족시킨다. (단,  는 단위행렬이고,  는 영행렬이다.) (가)     (나)                     을 만족시키는 실수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. [4점] 30. 자연수 , 에 대하여 곡선      과 곡선    이 직선    (≥ )와 만나는 점을 각각 P, Q 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 , 의 모든 순서쌍  의 개수를 구하시오. 예를 들어,    ,   는 다음 조건을 만족시킨다. [4점] (가) ≤ ≤  , ≤  ≤  (나) ≥인 어떤 실수 에 대하여  PQ ≤ 이다. 1 12 2012학년도 대학수학능력시험 문제지 수리 영역(가 형) 5지선다형 1. 행렬         의 역행렬   의 모든 성분의 합은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  2. lim →    의 값은? [2점] ①  ②  ③  ④   ⑤   3. 확률변수  가 이항분포 B 를 따르고  의 평균이 일 때,  의 분산은? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤  4. 두 집합   ∣    ≤ ,       ≤ 에 대하여 ∪    ≤일 때, 상수 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  제 2 교시 1 홀수형 2 수리 영역(가 형) 홀수형 2 12 5. 흰색 깃발 개, 파란색 깃발 개를 일렬로 모두 나열할 때, 양 끝에 흰색 깃발이 놓이는 경우의 수는? (단, 같은 색 깃발끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  6. 좌표평면에서 행렬       (  )로 나타내어지는 일차변환에 의하여 세 점 A , B , C 이 옮겨진 점을 각각 A′, B′, C′ 이라 하자. 삼각형 ABC 의 내부와 삼각형 A′B′C′ 의 내부의 공통부분의 넓이가   일 때, 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   7. 누에나방 암컷은 페로몬을 분비하여 수컷을 유인한다. 누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도 는 다음 식을 만족시킨다고 한다. log     log    (단,  와  는 양의 상수이다.) 누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 이고, 분비한 후 초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는   이다. 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  홀수형 수리 영역(가 형) 3 3 12 8. 삼각형 ABC 에서  AB   , ∠B °, ∠C ° 이다. 점 P 가  PB   PC    를 만족시킬 때,  PA   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  9. 어느 회사에서 생산하는 음료수 병에 들어 있는 칼슘 함유량은 모평균이 , 모표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 음료수 병을 임의추출하여 칼슘 함유량을 측정한 결과 표본평균이 이었다. 이 회사에서 생산한 음료수 병에 들어 있는 칼슘 함유량의 모평균 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간이  ≤ ≤ 일 때, 의 값은? (단,  가 표준정규분포를 따를 때 P ≤ ≤   이고, 칼슘 함유량의 단위는 mg이다.) [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  10. 좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 회전변환 에 의하여 점  이 제사분면 위의 점    로 옮겨진다. 회전변환 를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 라 할 때,    의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④   ⑤   4 수리 영역(가 형) 홀수형 4 12 11. 한 변의 길이가 인 마름모 ABCD 에 대하여 대각선 BD 를 장축으로 하고, 대각선 AC 를 단축으로 하는 타원의 두 초점 사이의 거리가  이다. 마름모 ABCD 의 넓이는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  12. 이차함수   와 삼차함수   의 그래프가 그림과 같다.     이고, 함수 가   에서 극솟값 를 가질 때, 방정식       의 서로 다른 실근의 개수는? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤  홀수형 수리 영역(가 형) 5 5 12 13. 상자 A에는 빨간 공 개와 검은 공 개가 들어 있고, 상자 B 는 비어 있다. 상자 A 에서 임의로 개의 공을 꺼내어 빨간 공이 나오면 [실행 ]을, 빨간 공이 나오지 않으면 [실행 ]를 할 때, 상자 B 에 있는 빨간 공의 개수가 일 확률은? [3점] [실행 ] 꺼낸 공을 상자 B 에 넣는다. [실행 ] 꺼낸 공을 상자 B 에 넣고, 상자 A 에서 임의로 개의 공을 더 꺼내어 상자 B 에 넣는다. ①   ②   ③   ④   ⑤   14. 반지름의 길이가 인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가   인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 그림  에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  라 하자. 그림  에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림  을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을  이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림  에서 색칠된 부분의 넓이를  이라 할 때, lim →∞  의 값은? [4점] ①      ②      ③      ④    ⑤      6 수리 영역(가 형) 홀수형 6 12 15. 두 이차정사각행렬 ,  가    ,   를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.    ㄴ.     ㄷ.     ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 16. 그림에서 두 곡선    ,    과 축으로 둘러싸인 부분  의 넓이를 , 두 곡선    ,   과 직선   로 둘러싸인 부분  의 넓이를 라 할 때, 의 값은? [4점] ①   ②  ③  ④   ⑤  홀수형 수리 영역(가 형) 7 7 12 17. 첫째항이 인 수열 에 대하여        라 할 때,        ≥ 이 성립한다. 다음은 수열 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 에 대하여     이므로       …… ㉠ 이다.  이상의 자연수 에 대하여     …… ㉡ 이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터     (가) 를 얻는다. 양변을 로 나누면            이다.     이라 하면,    (나) (≥ ) 이므로   (다) (≥ ) 이다. ⋮ 위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 , , 이라 할 때,   의 값은? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤  18. 정의역이   ≤≤인 함수   cos에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. ′  이면 tan     이다. ㄴ. 함수 가   에서 극댓값을 가지는 가 구간      에 있다. ㄷ. 구간        에서 방정식   의 서로 다른 실근의 개수는 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ (가) 8 수리 영역(가 형) 홀수형 8 12 19. 실수 에 대하여 점  를 지나고 기울기가 인 직선이 곡선     과 만나는 점의 개수를 이라 하자. 함수 이 구간 ∞ 에서 연속이 되게 하는 실수 의 최댓값은? [4점] ①  ②    ③   ④   ⑤  20. 좌표평면에서 직선        가 축과 이루는 예각의 크기를  , 직선   가 직선    와 이루는 예각의 크기를  라 하자. sin sin 의 값이 최대가 되도록 하는 의 값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   홀수형 수리 영역(가 형) 9 9 12 21. 좌표공간에서 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다. (나) 삼각형 ABC 의  평면 위로의 정사영의 넓이는 이다. 삼각형 ABC 의 평면    위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? [4점] ①   ②   ③   ④   ⑤   단답형 22. 자연수 에 대하여 H  C 일 때, H 의 값을 구하시오. [3점] 23. 방정식 coscos  을 만족시키는 에 대하여 tan 의 값을 구하시오. [3점] 10 수리 영역(가 형) 홀수형 10 12 24. 좌표공간에 점 A  가 있고, 평면 위에 타원     이 있다. 타원 위의 점 P 에 대하여 AP의 최댓값을 구하시오. [3점] 25. 세 수 ,  , 는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수  ,  , 은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다.    의 값을 구하시오. [3점] 26. 포물선   의 초점과 포물선 위의 점  에서의 접선 사이의 거리를 라 하자.  ≥ 을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오. [4점] 홀수형 수리 영역(가 형) 11 11 12 27. 그림과 같이 중심이 O 이고 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 Q , 점 Q 에서 선분 OP 에 내린 수선의 발을 R , 점 O 에서 선분 AP 에 내린 수선의 발을 S라 하자. ∠PAQ   (      ) 일 때, 삼각형 AOS 의 넓이를 , 삼각형 PRQ 의 넓이를 라 하자. lim →           일 때,   의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점] 28. 함수     에 대하여 함수  를      라 하자. 미분가능한 함수 가 모든 실수 에 대하여       를 만족시킨다.  ′  일 때, 의 값을 구하시오. [4점] 12 수리 영역(가 형) 홀수형 12 12 * 확인 사항 ◦답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오. 29. 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가 이고 높이가 인 원뿔이 평면  위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 O, 원뿔의 꼭짓점을 A라 하자. 중심이 B 이고 반지름의 길이가 인 구  가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 구 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 A, B의 평면  위로의 정사영이 각각 A′, B′ 일 때, ∠A′OB′  °이다. 직선 AB 와 평면 가 이루는 예각의 크기를  라 할 때, tan  이다. 의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′ 은 일치한다.) [4점] 30. 자연수 , 에 대하여 곡선      과 곡선    이 직선    (≥ )와 만나는 점을 각각 P, Q 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 , 의 모든 순서쌍  의 개수를 구하시오. 예를 들어,    ,   는 다음 조건을 만족시킨다. [4점] (가) ≤ ≤  , ≤  ≤  (나) ≥인 어떤 실수 에 대하여  PQ ≤ 이다.