수학 가형 문제(2019-10-16 / 688.0KB / 123회)
수학 가형 해설(2019-10-16 / 636.4KB / 135회)
수학 나형 문제(2019-10-16 / 580.1KB / 149회)
수학 나형 해설(2019-10-16 / 447.1KB / 88회)
1 12 5 지 선 다 형 1. 두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 2. lim → ln 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 좌표공간의 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심이 G 일 때, 의 값은? [2점] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 두 사건 와 가 서로 독립이고 P , P∩ 일 때, P의 값은? (단, 은 의 여사건이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 2019학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(가형) 1 제2 교시 2 수학 영역(가형) 고 3 2 12 5. 직선 가 쌍곡선 의 한 점근선일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, 는 양수이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 에 대한 방정식 × 이 오직 하나의 실근 를 가질 때, 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 7. 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가 sin , cos 이다. 시각 에서 점 P 의 속력은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(가형) 3 3 12 8. 이고 cos cos 일 때, sin 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 9. 모든 실수 에 대하여 인 연속함수 에 대하여 일 때, 곡선 과 축 및 두 직선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 한 개의 주사위와 개의 동전을 동시에 던질 때, 주사위를 던져서 나온 눈의 수와 개의 동전 중 앞면이 나온 동전의 개수가 같을 확률은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수학 영역(가형) 고 3 4 12 11. 그림과 같이 점 F 가 초점인 포물선 위의 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 포물선 와 만나는 점을 Q 라 하자. OP PF 이고 PQ 일 때, 선분 PF 의 길이는? (단, O 는 원점이고, 는 양수이다.) [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 12. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 , 에 대하여 함수 를 ∘라 하자. lim → , lim → 일 때, ′ 의 값은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(가형) 5 5 12 13. 어느 도시의 시민 한 명이 년 동안 병원을 이용한 횟수는 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 시민 중에서 임의추출한 명의 년 동안 병원을 이용한 횟수의 표본평균이 이상이고 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 곡선 log 와 직선 가 만나는 점 중 한 점을 A라 하고, 점 A 를 지나고 기울기가 인 직선이 곡선 와 만나는 점을 B 라 하자. 삼각형 OAB 의 넓이가 일 때, 상수 의 값은? (단, 이고, O 는 원점이다.) [4점] ① ② ③ ④ ⑤ P ≤ Z≤ 6 수학 영역(가형) 고 3 6 12 15. 주머니에 부터 까지의 자연수가 하나씩 적힌 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 개의 공에 적힌 수를 , , ( )라 하자. 가 짝수일 때, 가 홀수일 확률은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 16. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 과 점 B 를 중심으로 하고 원 위의 점 P 를 지나는 원 가 있다. 원 의 중심 O 에서 원 에 그은 두 접선의 접점을 각각 Q, R 라 하자. ∠PAB 일 때, 사각형 ORBQ 의 넓이를 라 하자. lim → 의 값은? (단, ) [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(가형) 7 7 12 17. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 일 때, (나) 인 임의의 두 실수 , 에 대하여 일 때, ′ 의 값은? (단, 는 상수이다.) [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 숫자 , , , , 이 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 다음은 이 장의 카드를 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 카드에 적혀 있는 수의 곱이 모두 의 배수가 되도록 나열하는 경우의 수를 구하는 과정이다. 이웃한 두 카드에 적힌 수의 곱이 의 배수가 되지 않는 경우는 , 가 적힌 두 카드가 서로 이웃하는 경우와 , 이 적힌 두 카드가 서로 이웃하는 경우이다. (ⅰ) , 가 적힌 두 카드가 서로 이웃하는 경우 이 두 카드를 한 묶음으로 생각하고, 두 카드의 자리를 바꾸는 것을 고려하면 , 가 적힌 두 카드가 이웃하도록 장의 카드를 나열하는 경우의 수는 가 이다. (ⅱ) , 이 적힌 두 카드가 서로 이웃하는 경우 (ⅰ)과 마찬가지로 경우의 수는 가 이다. (ⅲ) (ⅰ)과 (ⅱ)가 동시에 일어나는 경우 , , 이 적힌 세 카드를 한 묶음으로 생각하고, 세 카드 중 이 적힌 카드가 가운데에 위치하도록 장의 카드를 나열하는 경우의 수는 나 이다. 장의 카드를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 이므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는 다 이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때, 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 8 수학 영역(가형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 선분 AB 의 중점을 M, 선분 CD 를 로 내분하는 점을 N 이라 하자. 선분 AC 위에 MP P N 의 값이 최소가 되도록 점 P 를 잡고, 선분 AD 위에 MQ QN의 값이 최소가 되도록 점 Q 를 잡는다. 삼각형 MPQ 의 평면 BCD 위로의 정사영의 넓이는? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 20. 함수 의 최솟값을 이라 할 때, 의 값은? [4점] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(가형) 9 9 12 21. 정수 에 대하여 점 에서 곡선 에 그은 접선의 개수를 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] < 보 기 > ㄱ. 일 때, 이다. ㄴ. 인 정수 의 개수가 인 정수 가 존재한다. ㄷ. 를 만족시키는 정수 의 값은 또는 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 단 답 형 22. H 의 값을 구하시오. [3점] 23. 함수 sin cos에 대하여 ′ 의 값을 구하시오. [3점] 10 수학 영역(가형) 고 3 10 12 24. 이항분포 B 을 따르는 확률변수 에 대하여 V 일 때, E 의 값을 구하시오. [3점] 25. 점 A 에서 타원 에 그은 두 접선의 접점을 각각 B, C 라 할 때, 삼각형 ABC 의 넓이를 구하시오. [3점] 26. 어느 영화를 관람한 사람 중에서 명을 임의추출하여 조사한 결과, 이 영화를 재관람한 사람은 명이었다. 이 결과를 이용하여, 이 영화를 관람한 사람 전체 중 이 영화를 재관람한 사람의 비율 에 대한 신뢰도 의 신뢰구간을 구하면 ≤ ≤ 이다. 의 값을 구하시오. (단, 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P≤ 로 계산한다.) [4점] 고 3 수학 영역(가형) 11 11 12 27. 그림과 같이 선분 AB 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에서의 접선과 직선 AB 가 만나는 점을 Q 라 하자. 점 Q 가 선분 AB 를 로 외분하는 점이고, B Q 일 때, AP⋅ AQ 의 값을 구하시오. [4점] 28. [그림 1]과 같이 빗변의 길이가 인 직각이등변삼각형 모양의 조각 개와 한 변의 길이가 인 정사각형 모양의 조각 개가 있다. 직각이등변삼각형 모양의 조각 중 ○, ☆, ◎가 그려진 조각은 각각 개, 개, 개가 있고, 정사각형 모양의 조각에는 ◇가 그려져 있다. [그림 1] [그림 1]의 조각을 모두 사용하여 [그림 2]의 한 변의 길이가 인 정사각형 개로 이루어진 도형을 빈틈없이 채우려고 한다. [그림 3]은 도형을 빈틈없이 채운 한 예이다. [그림 2] [그림 3] [그림 1]의 조각을 모두 사용하여 [그림 2]의 도형을 빈틈없이 채우는 경우의 수를 구하시오. (단, ◎가 그려진 조각은 서로 구별하지 않고, 각 조각은 뒤집지 않는다.) [4점] 12 수학 영역(가형) 고 3 12 12 29. 좌표공간의 세 점 A , B , C 에 대하여 두 점 P, Q가 AP , CQ , BC⋅ CQ 을 만족시킨다. PQ의 최댓값을 구하시오. [4점] 30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 , 가 모든 실수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) sin (나) 일 때, 의 값을 구하시오. [4점] * 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입 (표기)했는지 확인하시오. 1 12 5 지 선 다 형 1. log log 의 값은 점 ? [2 ] ① ② ③ ④ ⑤ 2. 실수 에 대하여 명제 ‘ 이면 이다.’ , 가 참일 때 상수 의 값은 점 ? [2 ] ① ② ③ ④ ⑤ 3. 다섯 개의 문자 , , , , 를 일렬로 나열하는 경우의 수는 점 ? [2 ] ① ② ③ ④ ⑤ 4. 두 사건 , 는 서로 배반이고 P , P , 일 때 P ∩ 의 값은 단 ? ( , 은 의 여사건이다.) [3 ] 점 ① ② ③ ④ ⑤ 2019 10 3 학년도 월 고 전국연합학력평가 문제지 수학 영역(나형) 1 제2교시 2 수학 영역(나형) 고 3 2 12 5. 함수 의 정의역과 치역이 서로 같을 때 상수 , 의 값은? 점 [3 ] ① ② ③ ④ ⑤ 6. 의 값은? [3 ] 점 ① ② ③ ④ ⑤ 7. 같은 종류의 공 개를 남김없이 서로 다른 개의 상자에 나누어 넣으려고 한다 각 상자에 공이 . 개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수는? 점[3 ] ① ② ③ ④ ⑤ 8. ≤ , ≤ 인 두 자연수 , 에 대하여 × 의 값이 자연수일 때, 의 최댓값은? 점 [3 ] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(나형) 3 3 12 9. 두 수열 , 에 대하여 이차방정식 의 두 근이 , 일 때, lim →∞ 의 값은 점 ? [3 ] ① ② ③ ④ ⑤ 10. 좌표평면에서 연립부등식 ≥ 이 나타내는 영역을 라 하자 자연수 . 에 대하여 직선 과 영역 가 만나는 점 중 좌표가 정수인 모든 점들의 좌표와 좌표의 합을 이라 하자. 의 값은? 점[3 ] ① ② ③ ④ ⑤ 4 수학 영역(나형) 고 3 4 12 11. 확률변수 가 정규분포 N 을 따를 때 등식 , P ≤ P ≥ 을 만족시키는 상수 에 대하여 P ≤ ≤ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3 ] 점 ① ② ③ ④ ⑤ 12. 이차함수 의 그래프와 직선 가 그림과 같다. 열린 구간 에서 부등식 ′≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는 단 ? ( , ′ ) [3 ] 점 ① ② ③ ④ ⑤ P ≤ ≤ 고 3 수학 영역(나형) 5 5 12 13. 그림은 모든 실수 에 대하여 인 연속함수 의 그래프와 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 함수 의 그래프이다. 의 값은 점 ? [3 ] ① ② ③ ④ ⑤ 14. 최고차항의 계수가 인 이차함수 와 함수 ≤ 함수 에 대하여 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 함수 의 그래프가 한 점에서만 불연속이 되도록 하는 모든 실수 의 값의 곱은 점 ? [4 ] ① ② ③ ④ ⑤ 6 수학 영역(나형) 고 3 6 12 15. A, B, C 세 사람이 한 개의 주사위를 각각 번씩 던진 후 다음 규칙에 따라 승자를 정한다. ( ) 가 의 눈이 나온 횟수가 세 사람 모두 다르면, 의 눈이 가장 많이 나온 사람이 승자가 된다. ( ) 나 의 눈이 나온 횟수가 두 사람만 같다면 횟수가 다른 , 나머지 한 사람이 승자가 된다. ( ) 다 의 눈이 나온 횟수가 세 사람 모두 같다면 모두 , 승자가 된다. A 와 B 가 각각 주사위를 번씩 던진 후, A 는 의 눈이 번, B 는 의 눈이 번 나왔다. C 가 주사위를 번째 던졌을 때 처음으로 의 눈이 나왔다. A 또는 C 가 승자가 될 확률은? [4 ] 점 ① ② ③ ④ ⑤ 16. 삼차함수 에 대하여 방정식 ′ 의 두 실근 , 는 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 ( ) 두 점 나 , 사이의 거리는 이다. 함수 의 극댓값과 극솟값의 차는 점 ? [4 ] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(나형) 7 7 12 17. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 이 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 은 에 대한 이차식이다. ( ) 나 ( ) 다 은 에서 최댓값 을 갖는다. 보다 작은 자연수 에 대하여 을 만족시키는 의 최솟값을 , 최댓값을 라 할 때, 의 값은 점 ? [4 ] ① ② ③ ④ ⑤ 18. 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 개의 공을 꺼내어 적힌 수를 더하는 시행을 반복한다 꺼낸 공은 다시 넣지 않으며 첫 번째 꺼낸 . , 공에 적힌 수가 짝수이거나 꺼낸 공에 적힌 수를 차례로 더하다가 그 합이 짝수가 되면 이 시행을 멈추기로 한다. 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수를 확률변수 라 하자. 다음은 E를 구하는 과정이다 단 모든 공의 크기와 재질은 . ( , 서로 같다.) 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때 꺼낸 공에 적힌 , 모든 수의 합이 짝수가 되려면 그 이후 시행에서 홀수가 적힌 공이 한 번 더 나와야 한다 이. 때 짝수가 적힌 공은 개이므로 확률변수 가 가질 수 있는 값 중 가장 큰 값을 이라 하면 가 이다. ( ) ⅰ 인 경우 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 짝수이므로 P ( ) ⅱ 인 경우 첫 번째와 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 홀수이므로 P P P ( ) ⅲ ( ≤ ≤ )인 경우 첫 번째와 번째 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수이고, ( 두 번째부터 )번째까지 꺼낸 공에 적힌 수가 모두 짝수이므로 P P 나 따라서 E ×P ( ) 위의 가 에 알맞은 수를 라 하고 나 에 알맞은 식을 , ( ) 라 할 때, 의 값은 점 ? [4 ] ① ② ③ ④ ⑤ 8 수학 영역(나형) 고 3 8 12 19. 그림과 같이 AB , BC 이고 ∠ABC °인 삼각형 ABC 가 있다 사각형 . DBEF 이 마름모가 되도록 세 선분 AB, BC, CA 위에 각각 점 D , E , F 을 잡고 마름모 , DBEF 의 내부와 중심이 B 인 부채꼴 BED 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 이라 하자. 그림 에서 사각형 DEEF 가 마름모가 되도록 세 선분 FE , EC, CF 위에 각각 점 D , E , F를 잡고 마름모 , DEEF 의 내부와 중심이 E인 부채꼴 EED 의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 이라 할 때, lim →∞ 의 값은 점 ? [4 ] ⋮ ⋮ ① ② ③ ④ ⑤ 20. 집합 에 대하여 함수 → 가 다음 조건을 만족시킨다. 집합 의 임의의 두 원소 , 에 대하여 ≥ 이면 ≥ 이다. 일 때, 의 최솟값은 점 ? [4 ] ① ② ③ ④ ⑤ 고 3 수학 영역(나형) 9 9 12 21. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 방정식 가 의 실근은 , ( ) . 뿐이다 ( ) 함수 나 의 극솟값은 이다. < > ? [4 ] 보기 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은 점 < > 보 기 ㄱ. ′ ㄴ. ㄷ. 이면 이다. ① ㄱ , ② ㄱ ㄴ , ③ ㄱ ㄷ ④ ㄴ ㄷ , , , ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ 단 답 형 22. 함수 에 대하여 ′의 값을 구하시오. [3 ] 점 23. 이 아닌 두 양수 , 가 log 을 만족시킬 때, log × log 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 10 수학 영역(나형) 고 3 10 12 24. 최고차항의 계수가 인 이차함수 에 대하여 lim → 일 때, 의 값을 구하시오 점 . [3 ] 25. 전체집합 는 이하의 자연수의 부분집합 는 다음 조건을 만족시킨다. 이 집합 의 원소이면, 의 일의 자릿수와 의 일의 자릿수가 같아지는 이 아닌 자연수 이 집합 에 존재한다. , 예를 들면 가 집합 의 원소이면 의 일의 자릿수와 의 일의 자릿수가 같으므로 도 집합 의 원소이다. 공집합이 아닌 집합 의 개수를 구하시오 점 . [3 ] 26. 흰 공 개 검은 공과 파란 공이 각각 , 개씩 빨간 공과 노란 , 공이 각각 개씩 총 개의 공이 들어있는 주머니가 있다 이 . 주머니에서 개의 공을 꺼낼 때 꺼낸 공의 색이 , 종류인 경우의 수를 구하시오 단 같은 색의 공은 구별하지 않는다 . ( , .) [4 ] 점 고 3 수학 영역(나형) 11 11 12 27. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값을 구하시오 점 . [4 ] ( ) 가 lim → ( ) 곡선 나 와 직선 의 교점의 개수는 이다. 28. 식문화 체험의 날에 어느 고등학교 전체 학생을 대상으로 점심과 저녁 식사를 제공하였다 모든 학생들은 매 식사 때마다 . 양식과 한식 중 하나를 반드시 선택하였고 전체 학생의 , %가 점심에 한식을 선택하였다. 점심에 양식을 선택한 학생의 %는 저녁에도 양식을 선택하였고 점심에 한식을 선택한 학생의 , %는 저녁에도 한식을 선택하였다. 이 고등학교 학생 중에서 임의로 선택한 한 명이 저녁에 양식을 선택한 학생일 때 이 학생이 점심에 한식을 선택했을 확률은 , 이다. 의 값을 구하시오 단 . ( , 와 는 서로소인 자연수이다 점 .) [4 ] 12 수학 영역(나형) 고 3 12 12 29. 첫째항이 짝수인 수열 은 모든 자연수 에 대하여 이 홀수인 경우 이 짝수인 경우 . 를 만족시킨다 일 때 수열 , 의 첫째항이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하시오 점 . [4 ] 30. 양수 에 대하여 최고차항의 계수가 인 이차함수 와 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 다음 조건을 만족시킨다. ( ) 가 ( ) 나 lim → , lim → ( ) 다 의 값을 구하시오 점 . [4 ] * 확인 사항 ◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입 ( ) . 표기 했는지 확인하시오