1. 실수 [eqn: t= root {3} of {50} - root {3} of {20}]에 대하여 [eqn: t ^{3} +30t]의 값은?

2021년도 해경 2차 수학 (유원지)

① [eqn: 10]  ② [eqn: 20]  ③ [eqn: 30]  ④ [eqn: 40]

[정답] ③

[해설] [eqn: root {3} of {50} =a], [eqn: root {3} of {20} =b]라고 두면  [eqn: t=a-b]이고,

[eqn: a ^{3} -b ^{3} =50-20=30],  [eqn: ab= root {3} of {50} `․` root {3} of {20} = root {3} of {1000} = root {3} of {(10) ^{3}} =10]이므로

곱셈 공식 [eqn: a ^{3} -b ^{3} =(a-b) ^{3} +3ab(a-b)]에서

[eqn: 30=t ^{3} +3`․`10`․`t]

[eqn: therefore t^3 +30t=30]

2. 다음 삼각형 [eqn: ABC]에서 선분 [eqn: {bar{BC}} ``=8]이고, [eqn: ANGLE B``=60 DEG], [eqn: ANGLE C``=75 DEG]일 때, 삼각형에 외접하는 원의 반지름의 길이는?

① [eqn: 3 sqrt {2}]  ② [eqn: 3 sqrt {3}]  ③ [eqn: 4 sqrt {2}]  ④ [eqn: 4 sqrt {3}]

[정답] ③

[해설] [eqn: ANGLE A``=45 DEG]가 되므로, 삼각형 [eqn: ABC]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {a} over {sinA} = {8} over {{sqrt {2}} over {2}} =8 sqrt {2} =2R]   [eqn: therefore R=4 sqrt2]

3. 다항식 [eqn: x^2021 -1]을 [eqn: x^2 -x]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(2021)]의 값은?

① [eqn: -2019]  ② [eqn: -2020]  ③ [eqn: 2019]  ④ [eqn: 2020]

[정답] ④

[해설] 나누는 식이 이차식이므로 나머지는 일차식 이하이다.

따라서 [eqn: R(x)=ax+b] ([eqn: a,`b]는 실수)로 두면

[eqn: x ^{2021} -1=(x ^{2} -x)Q(x)+ax+b]로 식을 세울 수 있다.

양변에 [eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: -1=b]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: 0=a+b]   [eqn: therefore a=1]

[eqn: therefore R(x)=x-1]

[eqn: therefore R(2021)=2021-1=2020]

4. 함수 [eqn: f(x)=x^2 -kx] ([eqn: 0<k<1])에 대하여 [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f(x) RIGHT | dx} - int _{0} ^{1} {f(x)dx} = {1} over {81}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]  ② [eqn: 1 over 6]  ③ [eqn: 1 over 9]  ④ [eqn: 1 over 18]

[정답] ①

[해설] [eqn: f(x)=x(x-k)=0]의 두 근이 [eqn: x=0], [eqn: k]이므로,

[eqn: 0<x<k]에서 [eqn: f(x)<0], [eqn: x>k]에서 [eqn: f(x)>0]이다.

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f(x) RIGHT | dx} =- int _{0} ^{k} {f(x)dx} + int _{k} ^{1} {f(x)dx}]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f(x) RIGHT | dx} - int _{0} ^{1} {f(x)dx} =- int _{0} ^{k} {f(x)dx+ int _{k} ^{1} {f(x)dx}} - LEFT { int _{0} ^{k} {f(x)dx+ int _{k} ^{1} {f(x)dx}} RIGHT }]

[eqn: =-2 int _{0} ^{k} {f(x)dx= {1} over {81}}]   [eqn: therefore int _{0} ^{k} {f(x)dx=- {1} over {162}}]

그런데 [eqn: int _{0} ^{k} {f(x)dx} = int _{0} ^{k} {(x ^{2} -kx)dx} = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} kx ^{2} RIGHT ] _{0}^{k} =- {1} over {6} k ^{3} =- {1} over {162}]이므로

[eqn: k ^{3} =27]   [eqn: therefore k=3]

5. [eqn: lim _{x-> 1} {{x ^{2} +ax+b} over {x-1}} =3]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -3]  ② [eqn: -2]  ③ [eqn: -1]  ④ [eqn: 0]

[정답] ③

[해설] [eqn: x -> 1]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이다.

따라서 [eqn: 1+a+b=0]   [eqn: therefore b=-a-1]

이를 주어진 식에 대입하여 극한값을 구하면

[eqn: lim _{x -> 1} {{x ^{2} +ax+b} over {x-1}} = lim _{x -> 1} {{x ^{2} +ax-a-1} over {x-1}} = lim _{x -> 1} {{(x-1)(x+1)+a(x-1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x-> 1} {(x+1+a)} =2+a=3]

[eqn: therefore a=1], [eqn: b=-2]

[eqn: therefore a+b=-1]

6. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT }]에서 [eqn: Y= LEFT { 5,`6,`7,`8,`9 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f`:`X -> Y] 중에서 다음을 모두 만족시키는 [eqn: f]의 개수는?

㉠ [eqn: f(1)+f(2)=12]     ㉡ [eqn: f(1)<f(3)]     ㉢ [eqn: f(2)<f(4)]

① [eqn: 20]  ② [eqn: 25]  ③ [eqn: 30]  ④ [eqn: 35]

[정답] ②

[해설] 조건 ㉠을 만족시키는 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)]의 조합을 먼저 찾는다.

[eqn: (i)] [eqn: f(1)=5], [eqn: f(2)=7]인 경우

[eqn: f(3)=6,`7`,8,`9], [eqn: f(4)=8,`9]가 가능하므로 [eqn: f]의 개수는  [eqn: 4 TIMES 2=8]

[eqn: (ii)] [eqn: f(1)=6], [eqn: f(2)=6]인 경우

[eqn: f(3)=7`,8,`9], [eqn: f(4)=7,`8,`9]가 가능하므로 [eqn: f]의 개수는  [eqn: 3 TIMES 3=9]

[eqn: (iii)] [eqn: f(1)=7], [eqn: f(2)=5]인 경우

[eqn: f(3)=8,`9], [eqn: f(4)=6,`7,`8,`9]가 가능하므로 [eqn: f]의 개수는  [eqn: 2 TIMES 4=8]

[eqn: (i),`(ii),`(iii)]로부터 [eqn: f]의 개수는  [eqn: 8+9+8=25]

7. 두 함수 [eqn: f(x)=3x+a], [eqn: g(x)=ax+b]에 대하여 [eqn: (g CIRC f)(x)=6x+1]일 때,
[eqn: g ^{-1} (1)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

① [eqn: -3]  ② [eqn: -2]  ③ [eqn: 2]  ④ [eqn: 3]

[정답] ③

[해설] [eqn: g(f(x))=g(3x+a)=a(3x+a)+b=3ax+a ^{2} +b=6x+1]에서

[eqn: 3a=6], [eqn: a ^{2} +b=1]   [eqn: therefore a=2], [eqn: b=-3]

[eqn: therefore g(x)=2x-3]

이 때, [eqn: g^-1 (1)=k]라 하면 [eqn: g(k)=1]이므로

[eqn: 2k-3=1]   [eqn: therefore k=2]

8. 곡선 [eqn: y=x^2 -4x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {4} over {3}]  ② [eqn: {16} over {3}]  ③ [eqn: {28} over {3}]  ④ [eqn: {32} over {3}]

[정답] ④

[해설] [eqn: x ^{2} -4x=0]의 두 근이 [eqn: x=0], [eqn: 4]이고 [eqn: 0<x<4]에서 [eqn: f(x)<0]이므로

[eqn: S=- int _{0} ^{4} {(x ^{2} -4x)dx} =- LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} RIGHT ] _{0}^{4} =-( {64} over {3} -32)= {32} over {3}]

9. 같은 종류의 사탕 [eqn: 6]개를 [eqn: 4]명의 사람에게 남김없이 나누어줄 때, 사탕을 한 개도 받지 못하는 사람이 [eqn: 1]명인 경우의 수는?

① [eqn: 40]  ② [eqn: 60]  ③ [eqn: 80]  ④ [eqn: 100]

[정답] ①

[해설] 먼저 사탕을 한 개도 받지 못할 [eqn: 1]명을 고르는 방법의 수는  [eqn: {}_{4} C _{1} =4]

그 다음, 나머지 [eqn: 3]명에게 최소 한 개의 사탕을 나누어주면 된다.

사탕 한 개씩을 기본적으로 지급하고 나머지 [eqn: 3]개를 [eqn: 3]명에게 중복을 허락하여 나누면 되므로

그 방법의 수는  [eqn: {}_{3} H _{3} = _{5} C _{3} =10]     [eqn: therefore 4 times 10=40]

10. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(-1,`3)], [eqn: B(5,`12)]에 대하여 선분 [eqn: AB]를 [eqn: 1`:`2]로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (a,`b)]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 7]  ② [eqn: 8]  ③ [eqn: 9]  ④ [eqn: 10]

[정답] ①

[해설] 내분점 공식을 이용한다.

[eqn: (a,`b)=( {1`․`5+2`․`(-1)} over {1+2} ,` {1`․`12+2`․`3} over {1+2} )=(1,`6)]

[eqn: therefore a+b=7]

11. [eqn: x != 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: (x ^{3} +1)f(x)= {x} over {x-1} - {x ^{2}} over {2}]을 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]  ② [eqn: {1} over {2}]  ③ [eqn: {3} over {4}]  ④ [eqn: 1]

[정답] ①

[해설] 주어진 식의 우변을 정리하면

[eqn: {x} over {x-1} - {x ^{2}} over {2} = {2x-x ^{2} (x-1)} over {2(x-1)} = {-x ^{3} +x ^{2} +2x} over {2(x-1)} = {-x(x+1)(x-2)} over {2(x-1)}]

[eqn: THEREFORE f(x)= {-x(x+1)(x-2)} over {2(x-1)(x ^{3} +1)} = {-x(x+1)(x-2)} over {2(x-1)(x+1)(x ^{2} -x+1)}]

[eqn: f(x)]는 모든 실수에서 연속이므로

[eqn: f(-1)= lim _{x -> -1} {f(x)} = lim _{x -> -1} {{-x(x+1)(x-2)} over {2(x-1)(x+1)(x ^{2} -x+1)}}]

[eqn: = lim _{x-> -1} {{-x(x-2)} over {2(x-1)(x ^{2} -x+1)}} = {-3} over {-12} = {1} over {4}]

12. [eqn: log _{2} 3=a], [eqn: log _{3} 5=b]라 할 때, [eqn: log _{15} 80]을 [eqn: a], [eqn: b]로 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: {2+b} over {a+b}]  ② [eqn: {4+a} over {b+ab}]  ③ [eqn: {4+b} over {a+ab}]  ④ [eqn: {4+ab} over {a+ab}]

[정답] ④

[해설] [eqn: log _{2} 5=log _{2} 3`․`log _{3} 5=ab]이므로

[eqn: log _{15} 80= {log _{2} 80} over {log _{2} 15} = {log _{2} (16`․`5)} over {log _{2} (3`․`5)} = {4+ab} over {a+ab}]

13. 다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=4x ^{3} +x int _{0} ^{1} {f(t)dt}]를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: 5]  ② [eqn: 6]  ③ [eqn: 7]  ④ [eqn: 8]

[정답] ②

[해설] [eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt} =k] ([eqn: k]는 상수) 로 잡으면

[eqn: f(x)=4x ^{3} +kx]가 되며, 이를 [eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt} =k]에 대입하면

[eqn: int _{0} ^{1} {(4t ^{3} +kt)dt} = LEFT [ t ^{4} + {1} over {2} kt ^{2} RIGHT ] _{0}^{1} =1+ {1} over {2} k=k]   [eqn: THEREFORE k=2]

[eqn: therefore f(x)=4x^3 +2x]

[eqn: therefore f(1)=4+2=6]

14. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_1 =2]이고 [eqn: a_{n+1} =2 a_n -1]일 때, [eqn: a_10]의 값은?

① [eqn: 511]  ② [eqn: 513]  ③ [eqn: 1023]  ④ [eqn: 1025]

[정답] ②

[해설] 주어진 점화식을 변형하여 [eqn: a_{n+1} -k=2(a_n -k)]로 두고, 전개하면

[eqn: a_{n+1} =2a_n -k]

이것이 원래의 점화식과 동일하려면  [eqn: k=1]

[eqn: THEREFORE a _{n+1} -1=2(a _{n} -1)]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} -1 RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: a _{1} -1=1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} -1=2 ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE a _{n} =2 ^{n-1} +1]

[eqn: THEREFORE a _{10} =2 ^{9} +1=513]

15. 정규분포 [eqn: N(20,`4 ^{2} )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]와 정규분포 [eqn: N(15,`3 ^{2} )]을 따르는 확률변수 [eqn: Y]에 대하여 [eqn: P(16 leq X leq 28) = P(a leq Y leq 18)]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 3]  ② [eqn: 9]  ③ [eqn: 15]  ④ [eqn: 21]

[정답] ②

[해설] 주어진 확률을 각각 표준화하여 나타내면

[eqn: P(16 LEQ X LEQ 28)=P( {16-20} over {4} leq Z leq {28-20} over {4} ) =P(-1 leq Z leq 2)]

[eqn: P(a LEQ Y LEQ 18)=P( {a-15} over {3} LEQ Z LEQ {18-15} over {3} )=P( {a-15} over {3} LEQ Z LEQ 1)]

이 둘이 같으려면  [eqn: {a-15} over {3} =-2]여야 한다.  (정규분포 그래프의 대칭성 활용)

[eqn: THEREFORE a=9]

16. 실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]를 각각 [eqn: p`:`(x-3)(x+2) geq 0], [eqn: q`:` LEFT | x-8 RIGHT | <a]라 할 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: 1]  ② [eqn: 3]  ③ [eqn: 5]  ④ [eqn: 7]

[정답] ③

[해설] 조건 [eqn: p]가 나타내는 범위는 [eqn: x geq 3], [eqn: x leq -2]이고,

조건 [eqn: q]가 나타내는 범위는 [eqn: 8-a<x<8+a]이다. 이는 [eqn: 8]을 중심으로 양 옆으로 [eqn: a]만큼 벌린, 길이 [eqn: 2a]의 구간이다.

이 때, [eqn: q]의 범위가 [eqn: p]의 범위 안에 포함되어야 하므로 [eqn: q]의 범위는 결국 [eqn: x geq 3]의 범위 안에 들어가야 함을 알 수 있다.

즉 [eqn: q]의 범위의 왼쪽 끝 [eqn: 8-a]가 [eqn: 3]보다 크거나 같으면 되므로

[eqn: 8-a geq 3]   [eqn: therefore a leq 5]

따라서 자연수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

17. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^n -10x^n-1 +x^2 -x+1=0]이 [eqn: n]개의 근 [eqn: alpha _{1} ,` alpha _{2} ,` alpha _{3} ,`...,` alpha _{n}]을 가질 때, [eqn: (10-alpha_1 )(10-alpha_2 )(10-alpha_3 )...(10-alpha_n )]의 값은?

① [eqn: 91]  ② [eqn: 89]  ③ [eqn: 111]  ④ [eqn: 109]

[정답] ①

[해설] 방정식 [eqn: x^n -10x^n-1 +x^2 -x+1=0]의 근이 [eqn: alpha _{1} ,` alpha _{2} ,` alpha _{3} ,`...,` alpha _{n}]이므로,

[eqn: 10- alpha _{1} ,`10- alpha _{2} ,`10- alpha _{3} ,`...,`10- alpha _{n}]을 근으로 갖는 방정식은

[eqn: x^n -10x^n-1 +x^2 -x+1=0]에 [eqn: x] 대신 [eqn: 10-x]를 대입한 방정식이 된다.

그리고 우리는 그 [eqn: n]개의 근의 곱을 구하면 되므로

근과 계수의 관계에 의해, 새로 구한 방정식의 상수항만 관찰하면 된다.

즉 [eqn: (10-x) ^{n} -10(10-x) ^{n-1} +(10-x) ^{2} -(10-x)+1=0]에서

좌변의 식의 상수항을 계산하면

[eqn: 10 ^{n} -10`․`10 ^{n-1} +10 ^{2} -10+1=91]

따라서 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: (10- alpha _{1} )(10- alpha _{2} )(10- alpha _{3} )...(10- alpha _{n} )= {91} over {1} =91]

18. 방정식 [eqn: x ^{3} =3x ^{2} -4+a]가 서로 다른 두 개의 양근과 하나의 음근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값들의 합은?

① [eqn: 4]  ② [eqn: 6]  ③ [eqn: 8]  ④ [eqn: 10]

[정답] ②

[해설] 주어진 식을 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +4=a]로 변형하면,

삼차함수 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +4]와 직선 [eqn: y=a]의 교점이 [eqn: x<0]에서 한 개, [eqn: x>0]에서 두 개가 생기도록 직선 [eqn: y=a]를 그으면 된다.

[eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +4]로 두면 [eqn: f'(x)=3x ^{2} -6x=3x(x-2)]이므로

[eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x=2]에서 극소이며,

[eqn: f(0)=4], [eqn: f(2)=0]이므로 이를 참고하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그리면 아래와 같다.

즉 [eqn: y=a]가 [eqn: y=f(x)]의 극댓값과 극솟값 사이에 위치하게 하면 문제의 조건을 만족하게 됨을 알 수 있으므로,

[eqn: a]의 범위는  [eqn: 0<a<4]

따라서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 1+2+3=6]

19. 다항함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

㉠ 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여  [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)]      ㉡ [eqn: f'(0)=2]

이 때, [eqn: {f'(1)} over {f(1)}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]  ② [eqn: 1]  ③ [eqn: {1} over {4}]  ④ [eqn: 4]

[정답] ②

[해설] ㉠의 식에 [eqn: x=0], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: f(0)=f(0)+f(0)]   [eqn: therefore f(0)=0]

또, 미분계수의 정의에 의해 [eqn: f'(x)]를 구해 보면

[eqn: f prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h} = lim _{h -> 0} {{f(x)+f(h)-f(x)} over {h}}} = lim _{h -> 0} {{f(h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(h)-f(0)} over {h}}]  ([eqn: because f(0)=0])

[eqn: =f'(0)]  (미분계수의 정의)

즉 [eqn: f'(x)=f'(0)=2]이고 [eqn: f(0)=0]이므로

[eqn: f(x)=2x]

[eqn: therefore {f'(1)} over {f(1)} = 2 over 2 = 1]

20. 이차방정식 [eqn: x^2 +5x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: ( sqrt {alpha} + sqrt {beta} ) ^2]을 구하면?

① [eqn: -3]  ② [eqn: -5]  ③ [eqn: -7]  ④ [eqn: -9]

[정답] ④

[해설] [eqn: x ^{2} +5x+4=(x+1)(x+4)=0]에서  [eqn: x=-1], [eqn: -4]

즉 두 근이 [eqn: -1], [eqn: -4]이므로

[eqn: ( sqrt {alpha } + sqrt {beta } ) ^{2} =( sqrt {-1} + sqrt {-4} ) ^{2} =(i+2i) ^{2} =(3i) ^{2} =-9]